微積分思想和方法在大學物理教學中應用

譚敏

【摘 要】要提高大學物理教學效果，就必須引導學生用數學語言和數學方法來解決物理問題。其中，微積分思想和方法貫穿整個大學物理教學。本文就微積分思想和方法在物理概念和物理理論的應用進行闡述。

【關鍵詞】微積分思想；方法；大學物理；教學

大學物理作為高等院校理工科專業的必修課，在培養學生的科學思維方法和分析解決問題能力等方面發揮著積極的作用。但剛開始接觸大學物理的學生普遍反應在該課程學習的過程中存在一定的困難。其實，無論是中學還是大學，物理這門自然科學的框架和系統性是不會變的。只不過物理這門課程的研究對象從中學的恒量問題變成了變量問題，由特殊問題變換到普通、一般問題，同時研究的工具也發生了變化，中學只需要初等數學就能解決問題，而大學則需要高等數學知識。

筆者從多年的教學實踐中發現，要提高大學物理的教學效果，必須引導學生用數學語言、數學方法研究物理問題，幫助學生從中學慣用的概念和方法中跳出來，將微積分思想和方法與物理問題相結合。微積分思想和方法在力學、電磁學和熱學中都有應用，可分為微分問題和積分問題兩大類。本文從微積分思想和方法與物理的結合以及微積分思想和方法在解決物理問題中的應用這兩方面來探討微積分思想方法在物理教學中的應用。

一、用微積分思想闡述物理概念和物理理論

1、瞬時速度和瞬時加速度

從中學開始學生接觸力學，對于一維運動很熟悉，譬如勻速直線運動、勻變速直線運動。在勻變速直線運動規律中，學生對公式非常熟悉，以至于在大學物理學習過程中遇到求位置坐標的問題會毫不猶豫的想到這個公式。源于學生對公式的死記硬背，知其然不知其所以然。其實，只要應用微積分思想就可以知道該公式的來源并能理解應用該公式的前提是加速度為常量。

質點運動學中平均速度，當時取極限得瞬時速度，此為微分，描述某一時刻質點速度的大小和方向。若已知質點的運動學方程，則可求出質點任意時刻的速度大小和方向。若將微分式整理得，，根據初始條件兩邊同時積分可得， 。當簡化為一維問題是，就可得到學生在中學所熟知的勻變速直線運動規律。因此，若已知速度 和初始條件，則可通過積分求出任意時刻的位置坐標，并通過求導可以得到任意時刻的加速度。此即為質點運動學中的兩類基本問題。

利用微積分知識進行物理理論的推導，不僅可以讓學生更加理解數學公式，也能讓學生欣賞到物理學之美，并能對所遇到的問題做出正確的判斷和合乎邏輯的推理[1]。

2、功

在中學學生就接觸到恒力做功的問題。物體在外力的方向上運動的距離，則這個力對物體所做的功；若外力方向與物體位移方向之間存在夾角時，則力對物體所做的功可表示為，用矢量的方法來表示外力做功，則，此表達式僅適用于恒力做功的情況。若作用在物體上的力為變力，或者物體做曲線運動，此時該如何計算力做功呢？這就要用到高等數學中的微元思想。

微元思想是有限與無限，近似與精確的辯證統一，而這種統一已經得到了數學家們的嚴格證明。在物理學中微元思想已成為解決問題的一種重要數學方法。所謂微元思想就是將研究對象進行無限細分，使之適用于理想情況，即微分，得到近似值，然后將無限多個微元無限累積，即積分，得到精確值。簡單來說就是“化整為零”，再“積零為整”這樣一個過程。

當作用于物體上的力不是恒力，或物體做曲線運動時，必須將運動軌跡分割為許許多多個小段，每一小段視為直線，同時作用于每一小段上的力近似為恒力。因此，每一小段上力做功即為恒力做功，稱之為元功。整個過程中力所做的功為所有元功累積之和，即。

3、質點動量定理

牛頓第二定律，用微分形式表示出來即，通過推導可得，兩邊同時乘以，得到質點動量定理的微分形式，根據初始條件兩邊同時積分得：，等式左邊的積分表達式成為沖量，描述這一段時間內外力 的累積效應，等式右邊對應的是質點動量的增量，此即為質點動量定理。同樣這也能解兩類問題。其一，若已知動量，通過對時間求導，則可求得合外力，此為微分問題。其二，若已知合外力和初始條件，通過求積分，可以得出質點動量的改變量，此為積分問題。

通過微積分來推導物理定理，過程十分簡潔，物理含義也十分清晰，可以提高學生對物理量和物理定理關系的認識，提升學生的物理思維能力。

4、安培定律

在磁感應強度為B的勻強磁場中，長度為L，電流強度為I的直導線所受的安培力，其中為載流直導線與磁場之間夾角。安培力的方向可以由左手定則判定。這一結論是學生在中學學習到的。當磁感應強度非均勻，長度為L的彎曲載流導線通有電流I時，要求載流導線所受到的安培力，則上述結論就不再適用了。要解決該問題也必須用到高等數學中的微元思想。

將長度為L的彎曲載流導線分割為無限多個電流元矢量，（此為“化整為零”）近似認為電流元所在位置處的磁感應強度 均勻，則電流元所受到的安培力大小為，其中為電流元矢量與磁感應強度之間夾角，安培力的方向可以由左手定則判定。若用矢量方式表達為，安培力的方向可以通過右手螺旋法則判定。整個彎曲載流導線在磁場中所受安培力通過求積分可得（此為“積零為整”），這便是著名的安培定律。

二、舉例用微積分思想解決物理問題

在解決物理問題時必須將微積分轉變為一種思維方法[2]。解題時首先建立合適的坐標系，取微元，再依據物理理論列出微分表達式或積分表達式，最終求解。

如圖所示，一勻細棒長為，質量。在棒的延長線距棒端為處有一質量為的質點。求質點在勻細棒的引力場中的勢能。此題不能用萬有引力勢能公式直接求解，必須通過微元的思想來解決。首先以端點為坐標原點建立一維坐標系（如圖1所示），取無限遠處為勢能零點，在距離坐標原點為處取長度為的質量元，其質量為，對質點的萬有引力勢能為

對于不能由已知規律或公式求解的物理問題，可以采用微元思想轉變為特殊問題。采用微元思想解題是首選應該建立合適的坐標系，然后選取恰當的微元，再根據已有的理論對微元求積分則可解決問題。

三、結語

大學物理是用數學語言和數學工具來描述物理規律，但又不同于數學，每一個數學符號在物理里都有其物理含義。微積分思想和方法是最為重要的數學工具，教師在教學過程中引導學生使用該數學工具來學習、欣賞物理學之美。

參考文獻：

[1] 曹劍英.微積分在大學物理教學中的應用研究[J].赤峰學院學報（自然科學版），2013，29（5）：13-14.

[2] 滕琴，徐玲，吳珞.關于微積分和矢量法在大學物理教學中的應用[J].上海第二工業大學學報，2014，31（3）：223-227.