線性規劃問題最優解求法及數據分析

陶志雷

摘 要：在中學數學新課標中，對線性規劃的求解方法及相應結果的分析提出了一定的要求。主要討論兩個變量線性規劃問題的最優解求法，并舉出生活中的例子加深理解。通過對結論中的數據進行分析，反映出各個量在實際問題中的地位和作用。

關鍵詞：數學問題；圖解法；函數

線性規劃的應用在大學數學分支運籌學學習中占據很大的比例，它可以幫助人們有效地進行科學管理。它是運籌學的一個重要部分，也是現代科學管理的重要手段之一。求目標函數在約束條件下的最值問題，統稱為LP問題，使目標函數取得最值的解叫最優解。

本文主要是針對中學數學中線性規劃問題的類型，討論在目前中學現有解題方法圖解法的基礎上，對實例進行分析并用圖解法求出最優解，并在最優解的數據基礎上討論某些變量值改變時相應結果的變化。

圖解法的一般步驟是：（1）建平面直角坐標系；（2）找到可行的區域，作目標函數等值線；（3）移動等值線到可行區域的邊界，知道函數與可行區域的交點就是最優解。

例1.解線性規劃：

maxz=700x+1200y

4x+5y≤2003x+10y≤300x，y3≥0

首先，觀察題目要求，在這個問題中目標函數是z=700x+1200y，要求在約束條件（1）4x+5y≤200；（2）3x+10y≤300下求出最大值。

我們已經知道題目的要求和目的，根據題目的約束條件畫出圖1。

結論分析：（1）如果現在改變例1中的約束條件，將原來約束條件的小于等于全部改為大于等于，這時可行域由原來的封閉區域A變為無窮區域B，此時maxz無最大值解，也就是說z可以取得無窮大。但是如果將目標函數由求最大值改為最小值，約束條件不變，那么（20，24）就是minz的唯一最小值解。

（2）將對應x=20，y=24代入不等式，發現約束條件正好變為等號，說明資源x，y是短缺的，從經濟角度考慮的話，就是可以通過繼續增大x，y，從而增加產出z。

（3）如果第一個約束條件改變為4x+5y≤201，通過畫圖可發現對應最優解變為（20.4，23.88），對應z值增大136，則可認為136是約束條件：（1）對應資源對目標函數的邊際貢獻。于是可以推出當4x+5y≤201時目標函數z的值就相應增加1360。同理，可以找出約束條件（2）的邊際貢獻。

例2.某地需要甲、乙兩種優質桌，每張桌子要木料和油漆兩個步驟才算完工。甲乙分別用1h和2h做成一張桌子，要3h和1h油漆桌子。木工和油漆工工作不多于8h和9h，工廠造一張甲乙桌分別獲利2000元和3000元，現工廠想要獲得最大利潤，每天應生產甲乙桌子各多少張？

注意：在列本題的模型時有一個小小的技巧，就是對單位的處理上，如果將此處的2000元和3000元分別處理為2千元和3千元，那在畫等值線的時候能夠大大地簡化計算。

解：設工廠每天生產甲類桌子x張，乙類桌子y張，則x、y滿足條件：

maxz=2x+3y

x+2y≤83x+y≤9x，y∈N

由于本題中要求，x，y取整數，所以也是整數規劃類型，但是我們也可以將整數約束條件先去掉，做出圖2：

解法（2）：在如上可行域中找出所有的整數解（1，0），（2，0），（3，0），（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），然后比較對應z值大小可以直接求出最大值點位（2，3）。

結論分析：將變量值代入不等式，發現約束條件正好變為等號，說明資源x，y是短缺的，從經濟角度考慮的話，就是可以通過繼續增大x，y，從而增加產出z。但由于此題中的變量要求取整，故對應資源只增加單位1時對整體結果z未必會產生影響。另外，在討論約束條件時，要將x，y當成有相互制約關系的整體變量討論，否則分別討論就容易得出錯誤結論。

參考文獻：

[1]錢頌迪.運籌學[M].清華大學出版社，1990：9-37.

[2]胡運權.運籌學基礎及應用[M].2版.哈爾濱工業大學出版社，1993：13.