創意平板折疊桌的優化設計

王二耀，陳培軍，王欣潔，衛慧慧

（太原科技大學應用科學學院，太原　030024）

創意平板折疊桌的優化設計

王二耀，陳培軍，王欣潔，衛慧慧

（太原科技大學應用科學學院，太原030024）

創意平板折疊桌方便、簡單并且極大地節約了空間，越來越受到消費者喜愛，因此對折疊桌的研究具有現實意義。文章利用相對位置不變的性質描述了鋼筋質點運動軌跡，將三維轉二維平面分析得到開槽長度，在此基礎上求出平板折疊桌的桌腿在伸展前后旋轉的角度。其次對桌腿和鋼筋質點進行受力分析，最終以桌腿開槽長度最小，木板取材最少，折疊桌穩固性最好為目標函數約束優化設計并用Matlab編程求解。

質點；相對位置；穩定性；優化；Matlab

0　引 言

如今，伸展與折疊已經成為家具設計行業一個最佳創意理念。折疊桌因其空間占用面積小、并且便于操作而深受消費者的熱捧與喜愛。因此對于既能滿足基本生活需求又能節約空間的家居產品的探究就具有著現實性的重大意義。本文主要針對2014年全國大學生數學建模B題中平板折疊桌進行了最優化設計的研究處理分析。折疊桌的桌腿由若干長木條組成，對稱分為2組，各用鋼筋固定，并且沿桌腿有開槽以保證桌腿滑動的自由度。通過對開槽長度以及桌角邊緣線的動態變化進行研究，在此基礎上考慮折疊桌穩定性來約束優化。本研究旨在為折疊桌的優化設計提供更為周全的優化思路，在簡單的考慮取材少的優化基礎上，要同時保證折疊桌的穩定性和實用性。

1　模型準備

1.1符號說明

在此，給出研究中需要用到的符號說明，具體如表1所示。

表1　符號說明Tab.1 Symbol description

1）假設鋼筋為理想的不可發生形變的剛體，同時忽略鋼筋的直徑大小及重力；

2）假設所有木條緊密排列，沒有間隙并且是光滑的；

3）折疊桌高度對稱且只考慮等分的木條數為偶數的情形；

4）假設折疊桌未變形前鋼筋位于凹槽的一端，展開后位于凹槽的另一端以保證桌子成型后的最佳穩固性。

2　模型建立

2.1研究思路

對于折疊桌的最優化設計，首先需要確定圓形折疊桌彎折處的木條鉸鏈的位置情況。如圖1所示，為了保證折疊后桌面呈現圓形，必須使鉸鏈彎折點分布在桌面圓周上，這樣就需要確定最外側的木條鉸鏈彎折點。找到那些相對位置不變的點的關系以及關鍵節點之間的相對運動軌跡，從而描述折疊桌的動態變化過程。該動態變化過程可如圖2所示。通過鋼筋質點相對桌面彎折點的運動軌跡、每根木條與鋼筋相交位置的運動軌跡、每根木條在折疊過程中轉動的角度等方面的分析，建立折疊桌的動態變化模型，進而求出開槽長度，以及做出對桌腳邊緣線的數學描述。關鍵在于對折疊桌的穩定性進行受力分析，并以此為基礎求出受力表達式。折疊獲得最優化在于木條長度最短，開槽長度最小，承受力最大，因此將這3部分組合即可得到最優化設計的目標方程。

圖1　折疊桌成品展示Fig.1 Folding table display

圖2　折疊桌腳邊緣線動態變化Fig.2 Dynamic changes of folding table base edge lines

2.2折疊桌的開槽長度

在模型運用中，選取調節系數z=2，本文視土地綜合承載力和區域經濟發展同等重要，給待定權重賦值為ξ=ζ=0.5。因此，根據式(2)～式(3)分別測算北京、天津、河北、京津冀城市群土地綜合承載力與區域經濟發展的協調度、整體效應、耦合協調發展度(見表6)。

轉動過程的與鋼筋質點G的相對位置示意如圖3所示。

圖3　相對位置示意圖Fig.3 A schematic view of the relative position

由此可得第i根木條相對于鋼筋的運動軌跡即為開槽的長度，記為lSi， 則

將第i根木條轉動的角度記為θi，由圖3可得：

而在△OP1Pi中利用余弦定理

即可求出∠PiOP1，故可得：

2.3折疊桌取材長度

折疊桌的構成材料主要是長木板，長木板在折疊桌成型后取材最小表示為折疊桌的桌腿長度最短。

在折疊桌的最優化設計分析中，因為折疊桌的高度對稱，在此僅以長木條的一半以及平板的四分之一去研究問題，即：

其中，ri表示構成桌面的第i根木條的一半；li表示第i根桌腿的長度。

2.4折疊桌穩定性分析

結構的穩定性是指結構在載荷作用下維持其平衡形式的能力。要使得折疊桌具有良好穩定性，就必須分析折疊桌桌腿以及鋼筋質點的受力關系。折疊桌折疊后，就可以直觀看到在所有的桌腿中處于最外側的4根桌腿承受著來自桌子和桌子上所放物品的重力之和G，而除此之外的桌腿承擔著沿桌腿方向的拉力并且通過力的傳遞最后還是由最外側的桌腿來承擔所有的重力。受力分析如圖4所示。

圖4　受力分析Fig.4 Mechanical analysis

2.5建立目標函數

折疊桌的最優化設計要使得長方形材料的取材長度最小、木條的開槽長度最小和桌子的穩定性最好，即桌腿能夠承受的壓力最大，在此簡化為第1根桌腿承受的來自桌子及重物的壓力。綜合以上約束條件可以得到：

目標函數：

約束條件：

3　模型求解

編寫Matlab程序，設置值L=70，h=3，W=2.5，R= 40，r1=5，求出對于桌高70 cm，規格直徑80 cm的情形，確定最優設計加工參數平板長度至少為162 cm，即尺寸為162 cm、80 cm、3 cm的平板通過切割可以折疊成所需尺寸的圓桌。具體設計參數如下：以平板左下角長度方向為x軸，寬度方向為y軸建立坐標系，則桌腿上4個鋼筋固定點的坐標為（38，0），（38，80），（124，0），（124，80），每根桌腳長度、木條的開槽長度、桌腿旋轉角度如表2～表4所示。由于對稱性，這里只顯示一半的加工參數，其他值由此推算。

表2　桌腿的長度（單位：厘米）Tab.2 Length of legs（Units：cm）

表3　木條的開槽長度（單位：厘米）Tab.3 Slot length of wood（Units：cm）

4　結束語

本文在折疊桌最優化設計的目標函數中加入開槽長度以及穩定性的分析，使得折疊桌的設計更趨于合理化，這一設計理論與實際相結合，通過MATLAB將該方案部署實施編程，后期只需要輸入已知參數智能程序就可以得到相應設計參數。在家具設計行業將這一方案運用實際，那么所設計的折疊桌就不僅僅滿足客戶任意設定的折疊桌高度和桌面形狀，而且仍可以具有優質的承重能力，也更加符合桌子該有的實用性。

［1］韓佳成，EMBRICQS R V.平板折疊邊桌［J］.設計，2012（8）：24.

［2］蘇金明，阮沈勇.MATLAB實用教程［M］.北京：電子工業出版社，2005.

［3］劉金春.結構力學［M］.武漢：華中科技大學出版社，2008.

［4］王沫然.MATLAB與科學計算［M］.北京：電子工業出版社，2003.

［5］侍冰雪，朱家明，朱韶東，等.創意平板折疊桌優化設計方案［J］.浙江科技學院學報，2014，26（6）：429-435.

The optimization design of flat pembroke table of innovative idea

WANG Eryao，CHEN Peijun，WANG Xinjie，WEI Huihui
（College of Applied Science，Taiyuan University Of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Flat pembroke table of innovative idea is simple and has saved space immensely，and it becomes more and more popular，therefore it has practical significance to the pembroke table research.The article makes use of the invariant character of relative location to describe the trajectory of reinforced bar particle.Revolution of 3-D to two-dimensional flat surface gets the slotting length，asking table angle border to count space coordinate out and then getting the table angle border line on the basis of equation changes.And table leg and reinforced bar particle are analysed by the force.Therefore，the paper proposes target function constraint optimization design in which centering on result stability，the length is minimal，and materials are drawn with slotting to be short most.Furthermore，the paper gives out the solution with Matlab.

particle；relative location；stability；maiorization；Matlab

TP312

A

2095-2163（2016）03-0068-04

2016-04-23

國家級UIT項目（G2015269）。

王二耀（1994-），女，本科生，主要研究方向：數學與應用數學；陳培軍（1978-），男，博士，副教授，主要研究方向：圖像處理、組合優化、智能計算；王欣潔（1981-），女，碩士，講師，主要研究方向：數值計算、最優化方法；衛慧慧（1994-），女，本科生，主要研究方向：信息與計算。