也談運用余弦定理解三角形的一類錯誤認識

本刊2014年第11期發表了施元蘭老師的文章“運用余弦定理解三角形的一類錯誤認識”，[1]施老師對文中例3：在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，則c的值是.給出了以下的解法1和解法2.

解法1：由正弦定理可求得cosB=35，然后求出sinB=45，sinA=2sinBcosB=2425，cosA=2cos2B-1=-725，所以sinC=sin（A+B），sinAcosB+cosAsinB=44125，再由正弦定理可求得c=115.

解法2：由正弦定理可求得cosB=35，再由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得52=62+c2-2×6×c×35，5c2-36c+55=0，解得c=5，或c=115.當c=5時，b=5，故c=b，又因為A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，這與cosB=35矛盾，故c=5不合題意，舍去，所以c=115.

施老師在文章末說：由此例可知，“已知a，b和角B，常?？蓪荁應用余弦定理，并將其整理為關于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無實數解或只有負數解，則該三角形無解；若該方程只有一個正數解，則該三角形有一解；若該方程有兩個不等的正數解，則該三角形有兩解，”這樣的觀念是錯誤的，即使該方程有兩個正根，三角形也不一定有兩解，還應該結合條件，利用三角形內角和定理、大邊對大角等進行檢驗，以防增根混入.

實際上，邊邊角問題用余弦定理求解是完全正確的，也不會有增根混入，進而也用不著進行檢驗.鑒于筆者在教學中多次遇到過類似的問題，與學生交流時，發現學生根本沒有過多思考，只是記住了要檢驗.又與其他數學老師交流，幾乎所有的教師都承認對該類題沒有深究.因此，對這類看似很簡單的問題作些探究，有利于透徹理解問題的本質，有利于改進今后的教學.下面從三個方面作點探究，請指正.

1文中例3的題設不是邊邊角問題

參考文獻

[1]施元蘭.運用余弦定理解三角形的一類錯誤認識[J].中學數學雜志，2014（11）：60-61

作者簡介唐良生，男，1963年生，湖南寧遠人，中學高級教師，主要研究方向是課堂教學與解題研究.獲《中學數學教學參考》解題競賽一等獎，發表論文20多篇，還有近20篇論文獲省市一，二等獎.