2016年全國卷Ⅲ理科第20題別解與推廣

劉才華

試題已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

這是2016年全國卷Ⅲ理科第20題，我們首先給出試題的一種新解法.

別解設(shè)直線AB：x=my+t與C：y2=2x相交于A（y212，y1），B（y222，y2），由x=my+t

y2=2x得y2-2my-2t=0……①.

（Ⅰ）若F在線段AB上，則t=12，①式變?yōu)閥2-2my-1=0，則y1y2=-1.

于是R（-12，y1+y22），即R（-12，y1-1y12），即R（-12，y21-12y1），則AR=-（y21+12，y21+12y1）；

Q（-12，y2）即Q（-12，-1y1），F(xiàn)（12，0） ，則FQ=-（1，1y1）.由AR=y21+12FQ得AR∥FQ；

（Ⅱ）因為S△PQF=12PQ=12y1-y2，S△ABF=12t-12y1-y2，由條件得t-12=12，則t=1或t=0（舍），于是①式變?yōu)閥2-2my-2=0.設(shè)AB中點為M（x0，y0），則y0=m，

x20=m2+1，

消去m得x0=y20+1，即AB中點的軌跡方程為y2=x-1.

通過探究我們發(fā)現(xiàn)：試題（Ⅰ）結(jié)論對于一般圓錐曲線都成立，得到圓錐曲線焦點弦的一個共同性質(zhì)，用三個命題給出，并且命題的證明用到了如下引理.

引理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊 .（引理易證，過程從略）.

命題1如圖1，已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，過F作直線交C于A，B兩點，過A，B分別作C的準線x=-p2的垂線，垂足為P，Q兩點.若R是PQ的中點，則AR∥FQ.

圖1圖2證明如圖1，延長射線AR交BQ所在直線于點H，由條件得AP∥BH.由R是PQ的中點得AP=QH.由拋物線的定義得AF=AP，BF=BQ.在△ABH中，由BFFA=BQQH及引理得AR∥FQ.

命題2如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左（右）焦點為F，過F作直線交C于A，B兩點，過A，B分別作C的左（右）準線x=-a2c（x=a2c）的垂線，垂足為P，Q兩點.若R是PQ的中點，則AR∥FQ.

證明如圖2，當F為左焦點時，延長射線AR交BQ所在直線于點H，由條件得AP∥BH.由R是PQ的中點得AP=QH.設(shè)橢圓的離心率為e，由橢圓的第二定義得AF=eAP，BF=eBQ.在△ABH中，由BFFA=BQQH及引理得AR∥FQ.

當F為右焦點時，同理可證.

命題3已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a，b>0）的左（右）焦點為F，過F作直線交C的左（右）支于A，B兩點，過A，B分別作C的左（右）準線x=-a2c（x=a2c）的垂線，垂足為P，Q兩點.若R是PQ的中點，則AR∥FQ.

命題3可以仿照命題2的證明方法證明.