高考數學全國卷（二）試題難度趨勢分析

張定強　閆佳潔

【摘要】高考試題難度已成為基礎教育工作者非常關心的議題之一.以2011—2016年度高考數學全國卷（二）為研究對象，用綜合難度模型法、層次分析法和問卷調查法，分選擇題、填空題、解答題探析試題的難度變化趨勢，以把握新課程高考數學的現狀，析理命題變化的規律，更好地從事高中數學教與學.

【關鍵詞】高考數學；綜合難度模型；層次分析法；試題難度

1引言

高考是銜接基礎教育與高等教育的橋梁，是選拔人才的重要途徑.高考作為實施新一輪基礎教育課程改革的重要環節，已然成為教育工作者研究的重要問題.本論文以近六年高考數學全國卷（二）為對象，研究高考數學試題難度的變化趨勢，以把握新課程高考數學的現狀和命題的發展趨勢，總結歸納其規律，從而更好地進行高中數學的教與學.

2研究方法

本文采用綜合難度模型法、層次分析法、問卷調查法，在具體分析時，按照選擇題、填空題、解答題三種題型分類討論，得出一些規律，并加以分析討論.

一般情況下，評價數學試題難度是從學生得分率和試題本身難度的角度進行.學生得分率受學習水平、考試環境、心理素質等因素影響，準確刻畫難度有困難；試題本身難度是學者根據影響試題難度的要素建立的評價模型，常見的是鮑建生在文[1]中提出的綜合難度模型，分五個難度因素，每個因素分別有若干個水平層次來確定其難度，運算公式如下，具體計算在文三部分.

其中，di（i=1，2，3，4，5）依次表示“探究”、“背景”、“運算”、“推理”、“知識含量”五個難度因素上的計算值，dij為第i個難度因素的第j個水平的權重（依水平分別取1，2，3…）；nij則表示這組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數，n為該組題目的總數.

要計算某年某類試題的難度，就需要明晰五個難度因素上的權重，為此我們采用層次分析法建立權重模型.首先建立綜合難度模型層級結構，其次是構造判斷矩陣，然后求出該判斷矩陣的唯一最大正特征根對應的特征向量，最后進行一致性檢驗從而求出五個因素上的權重向量.在此需要建立比例標度值，對判斷矩陣進行一致性檢驗，由于此難度模型是5階，其隨機一致性指標RI實際經驗值是112[2].如何得到層次分析法的比較判斷矩陣，我們對蘭州市的100名高中數學教師進行了兩個因素的相對重要性方面的問卷調查，根據統計結果，將探究、背景、運算、推理和知識含量五個因素按照重要性排序，依次是知識含量、探究、背景、推理及運算，建立了比較判斷矩陣，其最大特征值為λ≈5.3845，得權重向量如下表1所示：

3.1選擇題

高考數學選擇題屬于客觀性試題，即有備選答案.下面依據鮑建生的綜合難度模型將選擇題按探究、背景、運算、推理和知識含量因素及等級水平進行統計，如表1.

通過上面的統計數據，得到了選擇題每個等級水平的折線圖；

1選擇題探究因素折線圖圖12選擇題背景因素折線圖由圖11可知，在探究因素方面，近六年高考數學全國卷（二）選擇題中，考查學生理解水平的題目總體較多，雖然在2012年后，考查理解水平的題目有所下降，但還是高于識記和探究.

由圖12可知，在背景因素方面，題目幾乎都無背景，為“純粹”的數學題，個別題目以個人生活、公共常識和科學情境為背景，2013年之后，背景題目開始出現，這與新課標倡導注重發展學生的應用意識相關，背景題目的增加會成為一種要求和趨勢.

由圖13可知，在運算因素方面，總體數值運算居多，不涉及運算的題目在0—3道之間， 2016年，選擇題中有一半的題目都是簡單符號運算，總體來說，近六年高考數學選擇題對學生的運算要求較低.

3選擇題運算因素折線圖圖14選擇題推理因素折線圖由圖14可知，在推理因素方面，涉及簡單推理的選擇題較多，六年中基本保持在每年8道左右，無推理題目自2013年開始，每年都保持在2道，題目難度變化趨勢穩定.

5選擇題知識含量折線圖由圖15可知，在知識含量方面，含兩個以上知識點的題目很少，每年都在2—3道之間，考查單個知識點的題目只有在2013年較多，達到了7道，考查兩個知識點以上在2—3道的范圍內，總體來看，考查兩個知識點的題目較多.

用式（1）對題目的難度值進行加權計算，2011-2016年選擇題的各個因素平均難度值為：

3.2填空題

高考數學填空題與選擇題同屬于客觀性試題，但填空題沒有備選答案.將填空題按探究、背景、運算、推理和知識含量因素的等級水平進行統計，如表3.

3.3解答題

與選擇題和填空題一樣，將解答題按探究、背景、運算、推理和知識含量的等級水平進行統計，如表5.

4結論與啟示

本文對2011年到2016年的高考數學全國卷（二）試題分選擇題、填空題、解答題作出了統計分析，可析出如下一些變化.

（1）高考數學試題中的選擇題難度呈現出較穩定的難度趨勢.從探究因素看，重在考查學生的理解能力；從背景因素看，基本上為“純粹”數學題，但課改后，背景題目逐漸出現，成增長趨勢；從運算因素看，對學生的運算要求較低，一般都是數值運算；從推理因素看，大部分題目涉及簡單推理，保持在8道左右；從知識含量來看，選擇題一般考查一到兩個知識點.從綜合難度值看，基本在185附近浮動，2013年最低，然后又逐漸升高；可以看出實施新課標高考的第一年選擇題難度最低，然后又開始逐漸增加并趨于穩定.

（2）高考數學試題中填空題的考查水平總體保持較穩定的狀態.從探究因素看，考查理解層次的題目較多；從背景因素看，前五年題目無背景，2016年出現了一道以個人生活為背景的題目，預計其后要增加；從運算因素看，以簡單符號運算和復雜符號運算居多，相對于選擇題，填空題的運算要求相對高一些；從推理因素看，填空題的難度并沒有呈現出明顯的趨勢，各個層次的題目隨機出現，但復雜推理的題目每年都有一道；從知識含量來看，對知識點的考查比較穩定.從綜合難度值來看，基本在18附近浮動，綜合難度值整體呈現出穩定趨勢.

（3）綜合題仍是難度最大的題型，呈現出先上升后下降再上升再下降的趨勢.解答題在探究因素上呈現出很穩定的趨勢，理解層次的均為2道，其余都是探究層次的題目；從背景因素看，解答題每年都有一道生活類題目，其余均無實際背景；從運算因素看，幾乎都是要求復雜符號運算，個別題目要求簡單符號運算，可以說解答題對學生運算水平要求較高；從推理因素看，要求復雜推理的居多，簡單推理的較少，總體呈現出要求降低的趨勢；從知識含量看，解答題均考查兩個及兩個以上知識點，知識點交叉多、難度大.從綜合難度值來看，基本在25附近浮動，綜合難度值比選擇題、填空題高出許多.

本文通過對2011年—2016年高考數學全國卷（二）進行分析，得出了高考數學全國卷（二）試題的整體變化特點，但仍需進一步地研究和探討，為高中數學教與學的發展做出貢獻.從上面三類試題的難度情況看，基本上穩定變化，因此在教學中，教師們要針對不同類型試題特點進行研究，從中挖掘試題中所蘊藏的數學精神、思想和方法，基于教材、學情分析數學問題的探究、背景、運算、推理和知識含量等因素，提升學生分析問題和解決問題的能力.同時在客觀分析試題的綜合難度時還要重視對學生答題時的得分率分析，采用主客觀相結合的方法剖析試題的教育教學價值，使之更好地服務于學生的數學進步.當然創新教學方法，在將教學的數學問題置于難度分析的視野下時，因材施教，有梯度地整合數學問題所涉及的難度要素，分層次教學，讓每個學生在學習的過程中感覺到學習的快樂與力量，全面提升數學教學質量.

參考文獻

[1]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（09）∶48-52.

[2]張炳江.層次分析法及其應用案例[M].北京：電子工業出版社，2014.