找分界點思想在一類導數題中的應用

臧華

尋找分界點是解決分類討論問題的關鍵所在.對于找分界點，就是先對所需分類的參數所代表的數的分界點，都先求出來，然后逐一分類寫出.筆者通過幾道近幾年的高考題和競賽題為例，談談它的應用.

例1（2014年新課標Ⅱ卷理21）已知函數f（x）=ex-e-x-2x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設g（x）=f（2x）-4bf（x），當x>0時，g（x）>0，求b的最大值.

分析本題是一道典型的導數分類討論題，通常的做法是先求導確定g（x）的單調性，利用g（x）的單調性求出其最小值，進而得到關于b的不等式，再解出b的取值范圍，最終確定b的最大值.問題的關鍵是怎樣確定g（x）的單調性？思路雖然清晰，但實際運算比較復雜.

解（1）f′（x）=ex+e-x-2≥0，僅當x=0時等號成立.所以f（x）在R上單調遞增.（略）

（2）g′（x）=2f′（2x）-4bf′（x）=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）.

（Ⅰ）當b≤2時，g′（x）≥0，等號僅當x=0時成立，所以g（x）在（-∞，+∞）單調遞增，而g（0）=0，所以對任意x>0，g（x）>0；

（Ⅱ）當b>2時，若x滿足2

綜上，b的最大值為2.

點評本題g（x）的單調性由ex+e-x-2b+2的正負確定，因此b的“分界點”可以由方程ex+e-x-2b+2=0提供，又b=ex+e-x+22≥2，則b的“分界點”為2，又因為ex+e-x-2b+2=0即（ex）2-（2b-2）ex+1=0，ex的2個值之積等于1，所以ex=（b-1）-（b-1）2-1<1，則x<0；ex=（b-1）+（b-1）2-1>1，則x>0；所以對變量x而言，0又是“分界點”.準確地找到這些“分界點”可以將分類討論問題“一劍封喉”，討論分界點時一般采用先小后大的原則.

變式1（2012年全國高中數學聯合競賽湖北省預賽11）設f（x）=loga（x-2a）+loga（x-3a），其中a>0且a≠1.若在區間[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍.

（答案：a的取值范圍（0，1））

我們再來看今年全國卷的一道壓軸題，找分界點的思想在兩問中都體現出來了.

例2（2016年高考新課標Ⅰ卷21）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

分析（1）先求導，得f ′（x）=（x-1）（ex+2a），再根據ex=-2a>0

ln（-2a）=1找到a的“分界點”為0，-e2，然后進行分類討論確定f（x）的單調性；（2）借助第一問的結論，通過分類討論函數單調性和最值的正負，確定零點個數，從而確定a的取值范圍.

解（1）f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

（ⅰ）設a≥0，則當x∈（-∞，1）時，f ′（x）<0；當x∈（1，+∞）時，f ′（x）>0.

所以在（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增.

（ⅱ）設a<0，由f ′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

①若a=-e2，則f ′（x）=（x-1）（ex-e），所以f（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

②若a>-e2，則ln（-2a）<1，

故當x∈（-∞，ln（-2a））∪（1，+∞）時，f ′（x）>0；

當x∈（ln（-2a），1）時，f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）單調遞增，在（ln（-2a），1）單調遞減.

③若a<-e2，則ln（-2a）>1，

故當x∈（-∞，1）∪（ln（-2a），+∞）時，f ′（x）>0，當x∈（1，ln（-2a））時，f ′（x）<0，所以f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）單調遞增，在（1，ln（-2a））單調遞減.

（2）（ⅰ）設a>0，則由（1）知，f（x）在（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增.又f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b<0且b2a2（b-2）+a（b-1）2=a（b3-32b）>0，所以f（x）有兩個零點.

（ⅱ）設a=0，則f（x）=（x-2）ex，所以f（x）有一個零點.

（ⅲ）設a<0，①若a≥-e2，則由（1）知，f（x）在（1，+∞）單調遞增.

又當x≤1時，f（x）<0，故f（x）不存在兩個零點；

②若a<-e2，則由（1）知，f（x）在（1，ln（-2a））單調遞減，在（ln（-2a），+∞）單調遞增.又當x≤1時，f（x）<0，故f（x）不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）.

點評在第一問中采用分界點法一次性找出分類點，然后按照先小后大的原則逐一討論解決；第二問討論中嵌套討論，這里有兩個討論的標準，第一個是函數單調性的分界點，第二個是最值正負的分界點，這時宜采用先整體后局部的原則，有些問題僅靠一次分類是不夠的， 需要進行二級分類、三級分類等等.

變式2（2010年全國新課標文科21題）設函數f（x）=x（ex-1）-ax2.

（1）若a=12，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.