例談數學《新課程標準（2011版）》中結果目標行為動詞的目標達成的實施步驟

賀清倫

【中圖分類號】G63.23 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）22-0-03

“五三一成長教育”課堂是我校在新形式下，為適應新課程標準理念，提高學生自主學習、合作學習、探究學習能力的一種課堂模式。為進一步完善“五三一成長教育”課堂模式、優化課堂結構、提高課堂教學效率，充分體現數學新課程標準理念，現將數學《新課程標準（2011版）》中有關描述結果目標的行為動詞的目標達成的實施步驟作一些簡單的設計，以便我們在教學設計時能根據不同的教學目標設計不同的教學方法，高效的達成教學目標.現整理出來與大家共同探討以期共同進步。

在數學《新課程標準（2011版）》中有兩類行為動詞，一類是描述結果目標的行為動詞，包括“了解、理解、掌握、運用”等術語。另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經歷、體驗、探索”等術語。本文就描述結果目標的四個行為動詞“了解、理解、掌握、運用”的目標達成需要實施的步驟作簡單的設計。

1.“了解”的目標達成需要實施的步驟

“了解”在《新課標準（2011版）》中的含義：從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。

從“了解”的含義來看，要達成“了解”的目標，在教學設計時，大致可設計以下操作步驟：

第一步：設計具體實例

第二步：從具體實例中說明對象的有關特征

第三步：根據對象的特征從具體情境中辨認

第四步：根據對象的特征舉例說明對象

下面以《分式的概念》為例加以說明：

在這一課時中明確了分式概念的教學目標是：“了解分式的概念”，為達成這一目標，可作如下教學設計：

第一步：設計具體實例：

用代數式填空：

（1）已知某長方形的面積是10，長為5，則這個長方形的寬為________cm；

（2）已知某長方形的長為a，寬為b，則這個長方形的面積為________cm；

（3）已知某長方形的面積是s，長為5，則這個長方形的寬為________cm；

（4）已知某長方形的面積是10，長為a，則這個長方形的寬為________cm；

（5）一輛汽車行駛s千米用了t小時，那么它的平均車速為________千米/小時；一列火車行駛s千米比這輛汽車少用了1小時，那么它的平均車速為________km/h；

第二步：從具體實例中說明對象的有關特征

思考：（1）以上式子中，是整式的有哪些？

（2）不是整式的有哪些？它們的共同特征是：

①從形式上看，像________，即都由________、分數線、________三部分組成；

②從內容上看，它們的分母都含有________。

（3）因此，為了和分數區別開來，把這種形如分數，且分母含有字母的式子取名為________。

第三步：根據對象的特征從具體情境中辨認

在代數式-3x，，，，，，，中，是分式的有_________________.

第四步：根據對象的特征舉例說明對象

用分式填空：

（1）某村有n個人，一共擁有耕地50公頃，則該村的人均耕地面積為________公頃；

（2）若△ABC的面積為s，BC邊的長為a，則BC邊上的高為________。

2.“理解”的目標達成需要實施的步驟

“理解”在《新課標準（2011版）》中的含義：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系。

從“理解”的含義來看，要達成“理解”的目標，在教學設計時，大致可設計以下操作步驟：

第一步：設計具體實例

第二步：描述對象的特征

第三步：描述對象的由來

第四步：闡述此對象與相關對象之間的區別

第五步：闡述此對象與相關對象之間的聯系

下面以第14章第2節第1課時《正比例函數》為例加以說明：

在這一課時中明確了正比例函數概念的教學目標是：“理解正比例函數的概念”，為達成這一目標，根據“理解”的含義，在進行正比例概念的教學時可作如下教學設計：

第一步：設計具體實例：

下列問題中變量對映規律可用怎樣的函數表示？

（1）圓的周長l隨半徑r的大小變化而變化；

（2）鐵的密度為7.8g/cm3，鐵的質量m（單位：g）隨它的體積V（單位：cm3）的大小變化而變化；

（3）每個練習本的厚度為0.5cm，一些練習本摞在一起的總厚度h（單位：cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化；

（4）冷凍一個0℃的物體，使它每分下降2℃，物體的溫度T（單位：℃）隨冷凍時間t（單位：分）的變化而變化。

第一步：描述對象的特征

【思考】1.上面這些函數的解析式在形式上有什么共同特征？

引導學生觀察、分析、歸納：都是常數與自變量乘積的形式（或表述為：都是自變量的一次單項式）

2.函數（是常數，）中，哪些是常數？哪些是變量？哪個是自變量？哪個是函數？為什么要限制？如果沒有這個限制，結果會怎樣呢？

學生分析歸納：在函數中，常數是常數；與是變量，其中是自變量，是函數，這里要限制是因為當時，函數表達式為，它體現不出兩個變量與之間的函數關系，它不是正比例函數。

第二步：描述對象的由來

教師提問：同學們，你們知道“函數”和“正比例函數”的由來嗎？

（設計目的：引導學生了解函數的產生和發展過程，激發學生學習興趣）

（多媒體展示）函數的產生

“函數”一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先采用的，當時萊布尼茨用“函數”這一詞來表示變量x的冪，即x2，x3，….接下來萊布尼茨又將“函數”這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變量，就這樣“函數”這詞逐漸盛行.

在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數。”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數或變量，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數.”這樣，在中國“函數”是指公式里含有變量的意思.

十八世紀瑞士數學家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了如下的函數定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函數.換句話說，由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關于x的函數.

1775年，歐拉把函數定義為：“如果某些變量：以某一種方式依賴于另一些變量.即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起.

首屈一指的法國數學家柯西引入了新的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為‘自變數，其它各變數則稱為‘函數”.在柯西的定義中，首先出現了“自變量”一詞.

1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應關系.即條件的必要性，利用這個關系以求出每一個x的對應值.

1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”

德國數學家黎曼引入了函數的新定義：“對于x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函數.”

從上面函數概念的演變，我們可以知道，函數的定義必須抓住函數的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。由此，就有了我們課本上的函數的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

在實際問題中，在某一個變化過程中，兩個變量x與y之間常常產生形如形如（是常數，）的函數，這樣的函數叫做正比例函數，其中叫做正比例系數。

第三步：闡述此對象與相關對象之間的區別

【思考】在函數①y=，②y=，③y=3x+9，④y=2x2中，哪些是正比例函數？哪些不是正比例函數呢？它與正比例的函數的區別在哪里？

第四步：闡述此對象與相關對象之間的聯系

【思考】函數與函數有何聯系？與函數又有何聯系？

學生分析歸納：在函數中，當時，它就是正比例函數，否則就不是正比例函數；在函數中當時，它就是正比例函數，否則就不是正比例函數。

通過以上設計，能夠加深學生對“正比例函數”概念的理解，真正達到理解“正比例函數”概念的目的。

3.“掌握”的目標達成需要實施的步驟

“掌握”在《新課標準（2011版）》中的含義：在理解的基礎上，把對象用于新的情境。

從“掌握”的含義來看，要達成“掌握”的目標，在教學設計時，大致可設計以下操作步驟：

第一步：設計具體實例

第二步：描述對象的特征

第三步：描述對象的由來

第四步：闡述此對象與相關對象之間的區別

第五步：闡述此對象與相關對象之間的聯系

第六步：把對象用于新的情境

下面以第13章第1節第3課時《平方根》為例加以說明：

在這一課時中明確了平方根概念的教學目標是：“掌握平方根的概念”，為達成這一目標，根據“掌握”的含義，在進行平方根的概念教學時可作如下教學設計：

第一步：設計具體實例

（多媒體展示）填空：（1）如果，則=________；

（2）如果，則=________；

（3）如果，則=________；

（4）如果，則=________；

【思考】如果，你知道x與a的關系嗎？（設計目的：引出平方根的概念）

（一般地，如果一個數的平方等于，那么這個數叫做的平方根，即：如果，那么叫做的平方根）

第二步：描述對象的特征

填空：（1）如果，則49的平方根是________；

（2）如果，則0的平方根是________；

（3）如果，則-1的平方根是________.

【思考】正數的平方根有什么特點？0的平方根是多少？負數有平方根嗎？

（一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是多少0；負數沒有平方根）

第三步：描述對象的由來

教師提問：同學們，你們知道平方根是怎樣產生的嗎？（設計目的：引導學生了解平方根的產生和發展過程，拓寬學生知識視野，提高學生數學素養）

（多媒體展示）無理數的產生

公元前500年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟子希勃索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數）這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后競遭到沉舟身亡的懲處。

不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名為“無理數”——這便是“無理數”的由來.

同時它導致了第一次數學危機。

平方根的產生主要由于無理數的發現，歷史上所謂的“第一次數學危機”，不是我們通常想象的由于研究方程的根的需要而產生平方根.

第四步：闡述此對象與相關對象之間的區別

【思考】由平方根與算術平方根的定義，同學們能否找出它們的區別？（小組討論后，歸納總結）

學生歸納：平方根與算術平方根的區別

（1）定義不同：

平方根：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根.

算術平方根：如果一個正數的平方等于a，那么這個正數叫做a的算術平方根.

（2）個數不同：個正數有兩個平方根，而一個正數的算術平方根只有一個.

（3）表示方法不同：正數a的平方根表示為；正數a的算術平方根表示為.

（4）取值范圍不同：正數的平方根有兩個，一正一負；正數的算術平方根只有一個正數.

第五步：闡述此對象與相關對象之間的聯系

教師提問：同樣，你能知道平方根與算術平方根有何聯系？（小組討論后，歸納總結）

學生歸納：平方根與算術平方根的聯系

（1）具有包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一個。

（2）存在條件相同：平方根與算術平方根都是只有非負數才有.

（3）0的平方根與算術平方根都是0.

第六步：把對象用于新的情境

【思考】求下面各數的平方根（鞏固平方根的概念，熟練應用平方根的概念計算有關算式的值是本課的主要內容，突出本課重點，同時將學生對知識的理解轉化為數學技能，使學生獲得成功體驗，激發學生的積極性）

（1）100；（2）0.25；（3）0；（4）-4；

通過以上設計，能夠使學生掌握平方根的概念，運用平方根概念進行計算，突出了本課時的重點，又能使學生知道平方根與算術平方根的區別與聯系，從而突破本節課的難點.

4.“掌握”的目標達成需要實施的步驟

“運用”在《新課標準（2011版）》中的含義：綜合使用已掌握的對象，選擇或創造適當的方法解決問題。

從“運用”的含義來看，要達成“運用”的目標，在教學設計時，大致可設計以下操作步驟：

第一步：設計問題鞏固已掌握的對象（知識）

第二步：設計能夠用已掌握的對象進行解決的問題

第三步：將問題轉化為數學模型

第四步：選擇和創造適當的方法

第五步：運用選擇和創造的方法解決數學問題

第六步：通過解決數學問題完成實際問題的解決.

下面以第18章第1節《勾股定理》第2課時為例加以說明：

在這一課時中明確了教學的目標是：“運用勾股定理解決一些簡單的實際問題”，為達成這一目標，根據“運用”的含義，在進行“勾股定理的運用”教學時可作如下教學設計：

第一步：設計問題鞏固已掌握的對象（知識）

填空題

（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c=________。

（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，則c=________。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，則a=________，b=________。

（設計意圖：利用學生已有的勾股定理和直角三角形的相關知識，創設問題情景，有針對性地引導學生練習，復習鞏固勾股定理，為學生學習勾股定理在實際生活中的應用做鋪墊）

第二步：設計能夠用已掌握的對象進行解決的問題

問題（教材P66頁探究1）

一個門框的尺寸如圖1所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木版能否從門框內通過？為什么？

第三步：將問題轉化為數學模型

問題分析：（1）將實際問題轉化為數學問題：薄木版轉化為長3m，寬2.2m的長方形（如圖2），門框轉化為長2m，寬1m的長方形（如圖1）.（2）在實際問題向數學問題的轉化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為四個角都是直角的長方形。（3）讓學生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標字母的線段哪條最長？該問題需要解決什么數學問題？（4）注意給學生小結深化數學建模思想，激發數學興趣。

第四步：選擇和創造適當的方法

（1）指出薄木板在數學問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？（2）將問題轉化為勾股定理的計算（計算門框對角線長度）.可以知道，木版橫著進，豎著進，都不能從門框內通過，只能試試斜著能否通過.對角線AC是斜著能通過的最大長度，用勾股定理求出AC的長，再與木版的寬比較，就能知道木版能否通過.

第五步：運用選擇和創造的方法解決數學問題

問題解決：在Rt△ABC中，根據勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴AC=≈2.236.

第六步：通過解決數學問題完成實際問題的解決.

∵AC=≈2.236>2，∴門框的對角線長大于薄木版的寬，∴木板能從門框內通過.

通過以上設計，能夠使學生理解解決實際問題一般步驟，培養了學生數學建模能力以及分析問題，解決問題的能力，從而突破本節課的難點.