一道高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題證明方法的研究

韓廣發(fā)+++梅霞

摘 要： 本文給出了一道高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的多種證明方法，并對(duì)其做了進(jìn)一步推廣.

關(guān)鍵詞： 羅爾定理 根的存在性定理 費(fèi)爾馬引理 導(dǎo)函數(shù)介值定理

一、預(yù)備知識(shí)

2016年江蘇省普通高等學(xué)校第十三屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽?？平M試題中有一道證明題，題目如下：

命題1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上二階可導(dǎo)，f（0）=0，f（1）=0，且f（x）>0，f（x）<0，求證：存在ξ∈（0，1），使得f′′（ξ）=0.

我們將給出命題1的三種證明方法.在這些證明方法中，除了羅爾定理和根的存在性定理之外，還用到了下列定理：

引理1（Fermat）設(shè)f（x）在[a，b]上有定義，并且在點(diǎn)c∈（a，b）取得最值，f（x）在點(diǎn)c可導(dǎo)，則f′（c）=0.

引理2（導(dǎo)函數(shù)介質(zhì)定理）若f（x）在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則對(duì)于f′（a）與f′（b）之間的任一數(shù)值μ，必有一點(diǎn)c∈（a，b），使得f′（c）=μ.

二、不同證明方法及分析

在這一部分我們給出了命題1的三種不同證明方法.第一種證明方法運(yùn)用了最值定理、根的存在性定理和羅爾定理，證明方法清晰，思路比較自然.

證法一：因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，所以f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，由最值定理，設(shè)f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨設(shè)0

因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，在區(qū)間[0.c]與[c，1]上應(yīng)用羅爾定理可得，存在ξ∈（0，c），ξ∈（c，1），使得f′（ξ）=0， f′（ξ）=0.

因?yàn)閒′（x）在區(qū)間[ξ，ξ]上可導(dǎo)，在區(qū)間[ξ，ξ]上應(yīng)用羅爾定理可得，存在ξ∈（ξ，ξ）？奐（0，1），使得f″（ξ）=0.

證法二運(yùn)用了Fermat引理，證明方法簡(jiǎn)潔.

證法二：設(shè)f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨設(shè)0

因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，F(xiàn)ermat引理，可知f′（a）=f′（b）=0.因?yàn)閒′（x）在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，在區(qū)間[a，b]上應(yīng)用羅爾定理可得，存在ξ∈（a，b）？奐（0，1），使得f″（ξ）=0.

方法一與方法二運(yùn)用的知識(shí)都是高職高專高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系范圍內(nèi)的.證法三需要用到導(dǎo)函數(shù)介質(zhì)定理.此定理不在高職高專高等數(shù)學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)，證明如下：

證法三：由最值定理，設(shè)f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨設(shè)0

由拉格朗日定理可知，存在一點(diǎn)ξ∈（0，a）使得f′（ξ）=>0.同理，存在一點(diǎn)ξ∈（a，c）使得f′（ξ）<0；存在一點(diǎn)ξ∈（c，b）使得f′（ξ）<0；存在一點(diǎn)ξ∈（b，1）使得f′（ξ）>0.

再次利用拉格朗日中值定理可知，存在一點(diǎn)ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）<0；存在一點(diǎn)ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）>0；最后，由導(dǎo)函數(shù)介質(zhì)定理可知，存在ξ∈（ξ，ξ）？奐（0，1），使得f″（ξ）=0.

三、一些推廣

在這一部分，我們對(duì)命題1做了一些簡(jiǎn)單的推廣.

命題2：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上二階可導(dǎo)，f（x）=f（x）=C，且f（x）>0，f（x）<0求證：存在ξ∈（0，1），使得f″（ξ）=0.

證明：令f（a）=f（b）=C，令g（x）=f（x）-C，則g（x）滿足命題1中的條件，且gs″（x）=f″（x）.

命題3：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上二階可導(dǎo)，f（x）=A，f（x）=B，且f（x）>A，f（x）

證明：令f（a）=A，f（b）=B.不妨設(shè)0

參考文獻(xiàn)：

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[3]楊天明，等.高等數(shù)學(xué)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2011.