一類具耗散項高階非線性發展方程解的漸近性質

馬騰宇

【摘要】研究了一類非線性發展方程整體解的漸近性質，利用乘子法建立了方程的漸近性定理，證明了當方程中的耗散項滿足一定簡單而寬泛的條件下，方程的整體強解依指數形式衰減于零。

【關鍵詞】非線性發展方程 耗散項 整體解 漸近性質

一、引言

非線性擬雙曲方程是近年來在神經傳播，具有粘性效應的桿的縱向振動等生物、力學問題中提出的，具有重要的應用背景。在描述非線性彈性桿中縱向位移波傳播的運動方程時，Greeenberg，MacCamy和Mizel于1968年首先提出了如下著名的具強阻尼項的擬線性發展方程[1]。

utt-uxxt=σ（ux）x

其中u（x，t）表示桿在x處，t時刻的位移，ux為應變，σ（ux）為非線性應變。許多學者分別從不同的角度，采用不同的方法對如上方程整體解的適定性做了卓有成效的研究，并得到了很多好的結果[2-8]。劉亞成等在文獻[2]中研究了如上問題的初邊值問題，得到了整體強解的存在性與唯一性，并在初值函數及σ（s）滿足一定的條件下，得到了整體強解的相應光滑性。楊志堅、宋長明在文獻[5]中研究了非線性彈性桿的縱波振動的一類非線性發展方程utt=uxxtt+σ（ux）x的初邊值問題。在關于非線性項及初值的某些假設下，證明了此問題有唯一整體強解。劉亞成等在文獻[6]中研究了如下帶有耗散、色散項的四階非線性波動方程的初邊值問題，尚亞東在文[7]中，研究了如下一類四階強阻尼非線性波動方程的初邊值問題。用方法與能量估計得到了上述問題的整體強解。

眾所周知，在非線性振動過程中，除了物體內部的粘性對物體運動有著重要的影響外，非線性外力因素也起著十分重要的作用。尤其是非線性粘性阻尼和非線性力源的影響。因此，將上述由物體周圍介質所產生的，非線性外力因素考慮進去是十分必要的并且具有重要的現實意義[9-11]，Chen和Yang在[12]中研究了非線性項的更加廣泛的方程，得到了方程廣義解和經典解的整體存在性，并給出了解在有限時間內爆破的充分條件。

對于解的適定性有了充分的了解后，為了更全面的了解方程的特性，特別是所描述的物理方程的復雜行為，方程解的長時間演化行為往往成為討論的重點內容。因此，當人們對如上問題解的適定性有了充分了解后，自然對于解的漸近性質很感興趣。然而，關于此類方程解的漸近性質的研究結果并不多見[13，14]。

參考文獻

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