多角度分析，“最”能解決二次函數難題

鄭小雨

（福建省寧德市民族中學）

多角度分析，“最”能解決二次函數難題

鄭小雨

（福建省寧德市民族中學）

二次函數是初中數學學習的重點與難點，是各類考卷中的必考題型。身為教師，通過思路清晰、綜合有效的教學使學生掌握這部分知識內容是教師的重要使命。根據多年的教學經驗，淺談幾點有效解決二次函數求最值問題，提高學生學習效果的教學策略，具有一定的參考意義。

初中數學；二次函數；多角度；區間

二次函數求最值類的問題千變萬化，然而只要掌握一定的技巧，學會多角度分析，定能找到解題思路，以不變應萬變，順利解決難題。本文以二次函數求最值問題的題型為基礎，進行了解題模式的探討。

一、確定區間，結合圖象性質

數形結合是解決數學問題的有力武器，在解決二次函數求最值的問題中也不例外，通過結合圖象性質，快速準確地確定區間，開辟出解題思路。

1.定軸定區間，直接判斷

當二次函數所給的函數區間固定，對稱軸固定時，我們可以通過做出函數圖形，清晰直觀地判斷和計算出函數的最值。這類題型比較簡單，所以我在教學中，主要教會大家準確地做出函數圖形，從而解決問題。

比如，對于定軸定區間函數求最值問題：求函數y=-x2+4x-3在區間［1，4］的最大值及最小值。首先我們分析二次函數的表達式，二次項系數小于零，說明函數圖象開口向下，函數的對稱軸為x==2。然后我們根據區間范圍，函數的對稱軸，開口方向可以做出該二次函數的草圖。通過觀察這一函數的圖象，我們可以得出二次函數的最大值應在對稱軸處取得，二次函數的最小值在端點x=4處取得，通過將x軸的坐標軸代入函數表達式，即可求出相應的最大值與最小值，從而得解。

圖1

2.定軸動區間，相對位置

定軸動區間類的二次函數其對稱軸確定，然而閉區間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數區間的相對位置關系，當函數區間發生變化時，隨著與對稱軸的相對位置發生變化，函數的最值也可能會發生變化，所以學生要掌握分類討論的思想，討論不同情況下的函數最值。

例如，求函數y=x2+2x-1在區間［t，t+2］上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區間類問題，首先我們確定函數的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發現可以將這一問題分為三種情況進行討論，一是當對稱軸位于區間［t，t+2］的函數右側時，二是當對稱軸位于區間［t，t+2］的函數內時，三是當對稱軸位于區間［t，t+2］的函數的左側時，進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下，t+2＜-1，t＜-3，通過觀察二次函數y= x2+2x-1在［-∞，+∞］上的圖象可以發現，位于對稱軸左側的函數圖象是單調遞減的，因此t＜-3時，函數在x=t處取得最大值，為t2+2t-1，在x=t+2處取得最小值，為（t+2）2+2（t+2）-1。在第二種情況下，-3≤t≤-1，由于對稱軸在區間范圍內，對稱軸處函數取得最小值，為-2。然后通過比較函數區間端點與對稱軸的距離大小可以取得函數的最大值，因此第二種情況進而再分兩小類問題討論，當-3≤t＜-2時，函數最大值在x=t處取得，為t2+2t-1，當-2≤t≤-3時，函數最大值在x=t+2處取得，為（t+2）2+2（t+2）-1。在第三種情況下，同樣觀察如圖2所示圖象，我們能夠發現區間范圍內的函數圖象在對稱軸右側時，函數是單調遞增的。因此，t＞-3時，二次函數在x=t處取得最小值t2+2t-1，為在x=t+2處取得最大值（t+2）2+2（t+2）-1。

圖2

講完例題后我向學生強調了這類題型的易錯點。定軸定區間類的二次函數求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題，然而學生因為粗心大意也會發生錯誤，比如畫錯開口方向，大家一定要記住二次項系數大于零開口向上，二次項系數小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數值只要將對應的x值代入函數表達式，便可準確地求出，進而做出函數圖象。

在這部分知識的教學中，我通過強調做函數圖象的細節，引導學生在做題時通過直接地觀察，準確地得到最值，提高了課堂的效率。

在上述例題的教學中，我通過引導學生進行分類討論，將問題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準確地確定該類二次函數的最值，取得了很好的教學效果。

3.定區間動軸，考慮變量

對于定區間動軸類的二次函數問題，由于區間固定而對稱軸不確定，因此函數的最值也會隨著對稱軸與區間的相對位置變化而發生變化，因此解決這類問題同樣需要進行分類討論，與定軸動區間類最值問題相似。

例如，求二次函數y=x2-ax+1在區間［0，2］上的最小值。我引導學生依照定軸動區間問題的求解思路，將該問題分成三種情況進行討論。通過計算，可得到二次函數對稱軸為x=a，當區間范2

圍內的函數位于對稱軸左側時，即a＞4時，函數在區間［0，2］內是單調遞減的，因此二次函數在x=2處取得最小值，為5-2a。當對稱軸包含在區間范圍內的函數時，即0≤a≤4，由于該二次函數開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，為a2-a2+1。分析到這一步的42時候我向學生強調了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對稱軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學生也應按照定軸動區間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當區間范圍內的函數位于對稱軸右側時，即a＞0時，函數在區間［0，2］內是單調遞增的，因此，二次函數在x=0處求得最小值1。

圖3

在上述問題的教學中，我通過引導學生利用定軸動區間類最值問題的求解技巧與思路，順利地探求出動軸定區間類問題的求解方法，通過這樣類比與分類的討論思想，讓學生成功地理解與學會了這部分數學知識，高效地完成了教學目標。

二次函數的對稱軸位置、函數區間都會對二次函數的最值造成影響，學生在解題時，一定要看清題目對對稱軸和區間的要求，多角度分析問題，采取正確的解題策略。

二、含有系數，字母視為常數

有時求最值問題所給的二次函數的系數是用字母表示的，對于這類問題的求解方法是將字母視為常數，并根據字母所表示的系數的位置不同，可能需要進行分類討論。

二次函數的表達式可寫作y=ax2+bx+c，當所給函數的常數項用字母表示時，自然將其視為常數處理。例如，求二次函數y=x2+ 2x+a在區間［0，1］上的最大值。二次函數在［0，1］上單調遞增，x=1時函數的最大值為3+a。當所給函數的一次項系數用字母表示時，這類問題就是上述所講的動軸定區間類問題，將字母視為常數，再結合自變量的范圍，按照分類討論的思想進行求解。當所給函數的二次項系數用字母表示時，例如，求二次函數y=ax2+4x-3（a≠0）在區間［1，3］內的最大值。對這一例題進行分析，a的大小首先影響的是開口大小，因此首先分為a＞0和a＜0這兩大類進行討論。當a＜0時，對稱軸x=-4/2a＞0，轉化為動軸定區間問題。當0＜-2/a＜1即-2＜a＜0時，二次函數在［1，3］內單調遞減，x=1時取得函數最大值為a+1；當1≤-2/a≤3即-2/3≤a≤-2時，函數在對稱軸處取得最大值，為-4/a-3；當-2/a＞3即a＜-2/3時，函數在［1，3］內單調遞增，x=3處求得最大值為9a+9。當a＞0時，對稱軸x=-＜0，函數在［1，3］內單調遞增，最大值在x=3處取得，為9a+9，從而得出了變量a在不同取值范圍內二次函數的最大值情況。

在上述教學中，我通過教授學生將含有字母的系數視為常數的思想，引導學生攻克了含有參數的二次函數求最值問題，加深了學生對二次函數的理解與運用。

三、實際應用，正確列函數式

二次函數在實際生產生活中也有很廣泛的應用，通過利用二次函數求最值的方法，我們能夠解決最優化問題。對于二次函數在日常生活中的應用問題進行分析，正確列出函數表達式是非常關鍵的步驟。

例如，某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺。為了響應國家“家電下鄉”政策，商場決定降價。冰箱售價每降低50元，平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤為多少？求解這道題，我們首先應當確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數表達式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+ 3200。我們可以做出該函數的圖象，對稱軸為x=150。

然后結合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數在對稱軸處取得最大值，也就是說，當冰箱降價150元時，商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數應用題進行了總結，這類問題學生首先應該讀清題意，確定正確的函數表達式，然后應用定軸定區間二次函數求最值的求解方法，即可求得應用題中的最優結果。

圖4

在上述教學中，我對如何將實際生活問題轉化為數學二次函數極值問題的處理方法進行了講解，引導學生學會有效地結合函數圖象進行解題，應用二次函數的性質，成功地求解出應用題的正確答案，進一步加深了學生對二次函數知識的掌握。

多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學生只要切實掌握確定函數區間的技巧，把握住含有系數的二次函數與二次函數的實際應用解法，就能成功地克服部分二次函數難題。總之，從多角度分析和解決問題，有助于迅速找到解題思路，提高學生的數學素養。

［1］徐薇.淺談初中數學二次函數最值問題的求解［J］.數理化解題研究：初中版，2015（13）：26.

［2］許艷.二次函數中最值問題的求解［J］.中學生數學，2015（6）：13-14.

［3］楊寒英.二次函數最值問題及其解決方法［J］.中學教學參考，2014（32）：50.

·編輯李建軍