拓展思維，簡潔直觀
——向量法在高中數學解題中的妙用

張菁

（江蘇昆山陸家高級中學）

拓展思維，簡潔直觀
——向量法在高中數學解題中的妙用

張菁

（江蘇昆山陸家高級中學）

向量法作為當前全新的解題方法，適用于高中數學中多種類型的問題解答，具有較為廣闊的實際運用范圍。其中，包括空間幾何、不等式、代數等數學知識點，都可將其實際運用。利用向量法解題具備有效提升解題速度、降低題目難度、增強學習效率等優勢，最大程度上減少對運算能力需求、開闊學生的思維、拓展解題思路。教師在日常課堂教學中，需要有意識地引導學生利用向量法進行各類問題的解決，使其更好地掌握這種全新的解題方法。針對向量法在高中數學解題中的實際應用進行探討，通過如何妙用向量法進行不同類型的問題解答，促使學生拓展思維，并且簡潔而直觀地解決難題。

向量法；高中數學；例題運用

向量法作為如今高中數學教學中的重要組成部分，利用其可快速進行高中空間幾何、代數等具有較高解答難度的問題分析與解決，可促使學生有效深入向量知識之中，更好地掌握其實際運用，也可全面提升學生進行數學問題的解題思維與技巧。對此，就需要針對高中數學向量知識進行更加全面的了解，重點分析向量法在高中空間幾何、平面幾何與三角函數等知識與問題的實際運用，借此提升學生對高中數學題目的解答與向量知識的掌握。

一、高中數學向量的基本內容和作用

向量知識在過去數百年間一直為無數物理學家與數學家的主要研究項目，到了全新的時代中，向量已經成為一項必須的數學知識，在我國的數學教育歷史中，向量知識的引入已有數十年的歷史，這不僅作為高中數學知識的難點與重點，也是高考知識中的一項重要組成部分。

向量可以表示物體之間的位置所在，而包括立體幾何、空間幾何等知識的主要內容都是針對物體的位置與形狀進行探討，所以，向量知識也可從幾何學的角度進行思考與學習。向量本身是用于描述長度的存在，可通過其進行物體的了解，包括其面積、體積、高度、寬度等，這是一項重要的幾何知識基礎。向量具有方向特性，可利用其表示平面、直線等內容的位置關系。在進行代數知識的學習中，涉及加、減、乘、除的運算，也可將向量融入代數運算的過程中，所以向量運算可以解決代數問題。向量本身代表一段具有方向的線段，通過其可進行實際位置的確定。在進行幾何問題的解答時，幾何圖形所具備的性質、長度與角度的計算都需要具有方向的線段作為解題基礎，同時，針對角度、直角與三角函數等內容的解答也需要使用向量知識作為運算基礎。因此，使用向量法可以有效提升學生的解題效率與學習興趣，加強高中數學知識的掌握，所以，只有真正掌握向量知識與其實際應用，才能真正幫助學生更好地提升數學解題能力，不會在視數學為愁苦的科目，而是真正地喜歡上，并愿意為自主學習。

二、向量法在立體幾何中的實際運用

向量法在立體幾何中的實際運用，與平面幾何中的實際運用方法是相同的，不過需要增加立體幾何的形態想象，也就是空間想象。這種想象會促使學生在進行過去的幾何問題解決時產生一定難度與偏差，對此，需要通過向量法將立體幾何問題進行簡化，降低難度，以便于快速找到問題解決方案。

舉例：如下圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E作為DD1的中點，而C1D1中是否存在F，可以促使B1F//A1BE，并進行相應的證明及解答。利用向量法進行問題的解決。

證明：利用點A作為坐標原點，構建坐標系，假設正方形的每條棱長為2，可得出A（10，0，2），B（12，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），=（-2，2，1），=（-2，0，2）。假設面BEA的法向量為=（x，y，

1z），因此·=-2x+2y+z=0，而·=0。在棱CD中假設一點

11

1100=2x（x-2）+2x=2x［（x-2）+1］=0。因此，x=1，可證明CD中20220011存在點F，即B1F//A1BE。

三、向量法在三角函數中的實際運用

通過向量法在三角函數中的實際運用，可用其證明三角函數中正余弦的兩角和與差。

舉例：假設cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

證明：假設（e1，e2）作為平面中的標準正交基，A、B作為平面中的單位向量，A與e1的夾角為α，B與e2的夾角為β，并且α＞A向量位于（e1，e2）中的坐標為（cosα，sinβ），向量B則位于（e1，e2）中的坐標為（cosα，sinβ），則可說明|A|=|B|=1，因此，|A|·|B|·cos（α-β）= cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ可證明，在三角函數的題目中運用向量法進行問題的解決，可以令問題更加直觀與簡潔，促使學生更快更高效地完成題目的解決。

利用向量法進行解題，可增強解題思維與視角多元化，促使題目更加簡潔直觀，令學生可以在解題中簡化思維過程、最大限度地減少運算量，可以說，這正是新課程改革的需要所在，也作為學生提升自身的重要基礎。同時，向量法可以實際運用的類型不僅限于上述內容，也包括三角函數的正余弦定理、函數公式等內容，都可利用向量法作為解題基礎進行證明與解析，對此，教師更應當在日常教學中不斷活用向量法，進行更多類型的題目講解與訓練，令學生可以以最佳的狀態面對高考，也可減輕平日里學生的學習負擔，是一件真正有益于學生的學習方法。

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正方體

·編輯謝尾合