向量暗藏玄機利用向量確定二面角的大小

梁仕權

（貴州省息烽縣第一中學）

向量暗藏玄機利用向量確定二面角的大小

梁仕權

（貴州省息烽縣第一中學）

在高中數學教學中，求二面角是立體幾何的重要組成部分之一。確定二面角的大小是高考的重點。二面角問題常轉化為利用法向量夾角求解，它把空間問題轉化為代數問題來解決。本文將從利用法向量與平面之間的關系，通過實例分析怎樣利用法向量確定二面角大小。在確定二面角大小這一問題上，利用向量的基本原理，往往是通過兩個半平面的法向量轉化為線線直線所成的角的方法可以求二面角大小，并能通過這種方法有效地解決對二面角難以求解的問題，讓學生充分體會到向量法在高中立體幾何中的重要作用。但在求解立體幾何的二面角問題時，確定二面角大小，采取的常用方法：在二面角α-I-β內，設分別為平面α，β的法向量，則α，β的法向量夾角的余弦值為

圖1

二、利用向量法求解二面角的舉例

例1.如圖2，棱棱P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，點E是棱PB的中點。

（1）證明AE垂直于平面PBC。

（2）求二面角B-EC-D的平面角的余弦。

在平面ECD內取一點D，在平面BCE內取B點，

例2.變式如圖2四棱錐P-ABCD的底面是正方形PA垂直平面ABCD。

證明：無論四棱錐的高怎么變化，二面角B-PC-D總是大于90°。

證明：因PA⊥ABCD且底面ABCD為正方形，所以A為原點，建立如圖2所示的空間空間坐標A-xyz，因底面為正方形ABCD，設正方形的邊長AD=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）

設OP=a，（a＞0），則P（0，0，a），∵BC⊥AB，PA⊥ABCD，BC⊥平面PAB，過A作AE垂直于PB，則AE⊥平面PBC，則有為平面PCB的一個法向量，且在平面PBA內，根據題意可設E（x，0，z）·=（1，0，-a）。

因D、B分別是平面PBC和平面PCD內的點，

李秀蘭.如何用空間向量求解二面角［J］.數量化學習：高中版，2011（3）.

·編輯李建軍