著眼核心素養的數學學習

張齊華

【設計理念】

《用數對確定位置》是“空間與幾何”領域繼“圖形的認識”“圖形的運算”“圖形的變換”之后又一嶄新領域。基于數學學習和生活經驗，一二年級學生已經初步會用“第幾個”“第幾排第幾個”“第幾層第幾個”等具體、直觀的方式確定一維線性空間、二維平面空間中物體或點的位置。本課將在這一基礎上，引導學生理解、掌握用“數對”這一相對抽象的、數學的規則來確定二維平面空間中一個物體或點的位置。

教材編排的線索是，以教室內的座位圖為載體，引導學生先借助“第幾組第幾個”“第幾排第幾個”確定小軍的位置。進而明確，“通常把豎排叫作列，橫排叫作行。一般情況下，確定第幾列要從左向右數，確定第幾行要從前向后數”“小軍坐在第4列第3行，可以用數對（4，3）表示”，由此完成對“何為數對”“如何用數對確定位置”這一內容的認識。教材作出如上安排，潛在的觀念是，對四年級學生來說，憑借原有的數學經驗，要自主探索并建構“用數對確定位置”這一規則，無疑是有難度的，甚至不在學生的“最近發展區”內。因而，“有意義地告訴學生”這一“規定性數學內容”，便成為教材編排這一內容的基本邏輯框架，也是一種合理且審慎的姿態。

基于這樣的認識，筆者以為，完全放手讓學生自行探索或建構上述內容，無疑是一種不客觀、不理性的選擇。事實上，筆者以往的數次教學實踐，也印證了這一判斷。因此，我們應在既定的基本框架內，將這一“規定性數學內容”背后的數學思考充分挖掘出來，引導學生在矛盾沖突中感受規則統一的必要性，在觀察比較中體會“數對”的抽象概括性，在分析推理中領悟數學思維的價值，在數形結合中領略數學思想的魅力，在比較延伸中洞察數學知識內在的統一性。一句話，即便是“規定性數學內容”，即便是“告知式教學方式”，我們仍然可以通過對文本的深度理解與加工，通過對文本教學價值的深度開掘與外化，引導學生體會數學思考的魅力和數學思想的價值，并最終獲得數學素養的提升。

【教學目標】

1.在具體情境中，理解如何用列數和行數組成的數對確定物體的位置，體會規則建立的必要性、統一性與合理性。

2.會根據相應的規則，用數對確定平面內物體或點的位置。

3.感受數學思維、數學方法的嚴謹與美。

【教學活動及意圖】

一、呈現課題，引發問題

1.二年級時，我們已經研究過用第幾排第幾個、第幾層第幾個等方式來確定物體的位置。今天這節課，我們將在這一基礎上，一起來學習“用數對確定位置”。讀一讀課題，你有什么問題？

學生可能的問題：什么是數對？怎樣用數對來確定位置？用數對確定位置和以前研究的確定物體的位置有什么區別？等等。

2.今天這節課，我們將圍繞同學們的這些問題來展開學習。

【直接出示課題，引導學生比對已有經驗，產生認知沖突，形成新的學習需求，進而自己發現、提出問題，為新課的學習作好認知與情感的準備。】

二、營造沖突，建構新知

1.為了讓大家更好地學習今天的內容，我還把我兒子帶來了。（出示圖1）猜猜看，哪一個會是張老師的兒子？

學生可能會用第幾排第幾個、第幾組第幾個等已有經驗描述他們的猜想，也可能用方向確定位置，如從左往右第幾豎排、從上往下第幾個等。

2.大家的猜測各不相同。有什么問題嗎？需要張老師提供什么線索嗎？

學生可能的要求：他在第幾排？他在第幾組？他有什么外貌特征？

3.看來，沒有提示，僅靠猜，很難確定張老師兒子的位置。張老師給點提示：在數學上，他在這幅圖中的位置可以用兩個數組成的一個數對（板書：（4，2））來表示。現在，你能找到他的準確位置嗎？

（1）學生先獨立思考，隨后小組交流自己的想法，并找出他們認為的張老師兒子的位置。

（2）反饋交流，學生可能會出現四種不同的答案（見圖2中的四個圓圈）。

（3）要求學生具體說一說：你為什么認為這個男孩是張老師的兒子？你理解的4和2分別表示什么？

4.張老師只有一個兒子，而且他的位置在數學上的確可以用數對（4，2）來表示，為什么你們幫我找出了四個兒子呢？

學生的困惑可能有：（1）你沒說清楚，這里的4和2，哪一個是豎排，哪一個是橫排。（2）你沒說清楚，豎排時，究竟是從左往右還是從右往左。（3）你沒說清楚，橫排時，究竟是從上往下還是從下往上。

教師小結：看來，僅僅知道數對還不夠，我們還得了解這個數對背后隱藏的一系列規則。

5.在數學上，豎排也叫列，橫排也叫行。那么，用數對確定位置時，數對中的兩個數究竟誰是列，誰是行？確定列和行時，又是按怎樣的方向？接下來，張老師再給大家一點提示：張老師兒子最要好的朋友的位置可以用數對（2，1）來表示。現在，你能確定哪一個才是張老師真正的兒子嗎？

（1）學生獨立思考，隨后小組交流。

（2）反饋時，學生可能會說：因為這個男孩在從左往右第2列，從下往上第1行，所以，第一個數表示列數，方向是從左往右；第二個數表示行數，方向是從下往上。

（3）按照上述規則，學生正確地找到了張老師的兒子。教師借機引導學生完整地指出從左往右的5列和從下往上的5行。

（4）教師結合學生的交流，板書如下：

【教師貌似直接給出了答案，但“告訴”背后恰恰隱藏著強烈的問題沖突：明明給出了張老師兒子所在位置的數對，為什么會找出“四個兒子”？有矛盾就會有思維沖突，有思維沖突就會有深度追究與探尋，而數對背后蘊含的豐富的規則內涵，恰恰在這樣的矛盾與探究過程中得到了有效彰顯。此外，面對學生的質詢，教師也沒有直接給出規則，而是以（2，1）為引子，再度引導學生展開思考。看似只是一個細節，但背后蘊含的恰是教師的一種教學價值追求：讓每一個細節彰顯最充分的數學思考，讓數學判斷、推理等思維過程充溢在數學學習的完整過程之中。】

6.按照這樣的規則，另外三個男孩的位置又可以用怎樣的數對來表示？

（1）學生嘗試用數對（2，2）、（2，4）、（4，4）來表示。

（2）教師追問：（2，4）和（4，2）用的數字都一樣，為什么表示的人卻不相同？引導學生認識到：數字交換順序后，表示的列數和行數就會發生變化，表示的位置也會發生變化。

（3）教師追問：（2，2）、（4，4）這兩個數對中，同樣都是2或4，表示的意思一樣嗎？引導學生認識到：同樣的數字，在不同的位置，表示的含義不同，前一個表示第幾列，后一個表示第幾行。

（4）教師追問：像（2，2）、（4，4）這樣的數對，在這幅圖中，你還能找到哪幾個？觀察它們的位置，你有什么新發現？引導學生通過觀察、探索，發現（x，x）這樣的數對都在一條直線上。

【另外三個男孩的數對是什么？同樣的兩個數字，交換位置，為什么表示的位置不同？兩個同樣的數字，表示的意義又有什么不同？類似的數對還有哪些？你發現了什么規律？用數對確定位置的規則內涵正是在這樣的追問中得到了強化，而學生的數學思維正是在這些貌似不經意的追問中得以深化。最后一問，貌似只是一種形式上的模仿，然而，當（1，1）、（2，2）、（3，3）……這些數對一一呈現在畫面上時，數形結合的思想已經躍然紙上。】

三、實踐應用，拓展提升

1.回到我們的教室，你能寫出自己所在位置的數對嗎？先觀察再思考，想一想，你有什么問題？

（1）學生可能提出：教室里，哪里是左，哪里是右？結合學生的提問，教師指出：在用數對確定同學們的位置時，通常是站在教師的視角來觀察，從而確定教室里的第一列和第一行。

（2）現在，你能寫出自己所在位置的數對嗎？學生書寫，全班反饋。

（3）你能說一說你好朋友所在位置的數對，讓大家來猜一猜他（她）是誰嗎？

（4）我找到一位同學，他是（3，5）的同桌，你們猜一猜，他的數對可能是多少？如果學生給出兩種答案，教師引導學生思考：（2，5）和（4，5）哪一個更合適？幫助學生體會到，實際問題還要結合具體情境去思考和理解。

（5）我還找到一位同學，他和（4，3）緊靠在一起，他的數對可能是多少？學生可能找出（4，2）、（4，4）、（3，3）、（5，3）。教師結合學生的回答，在屏幕上出示抽象后的教室座位圖，并標出這五個學生的位置及其相應的數對，并引導學生思考：你發現了什么？在學生思考和交流后，教師引導學生發現：同一列的數對，列數相同；同一行的數對，行數相同；這五個學生正好構成一個“十字形”，再次體會數形結合的思想。

（6）我想找一位同學，只知道他（她）數對中的兩個數字相加之和是7，猜一猜，他（她）可能是誰？學生猜測，教師分別請符合要求的學生（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）起立。

（7）觀察這些數對和同學的位置，你發現了什么？你還有什么新的猜想？學生有可能會猜想：是不是只要數對中的兩個數字之和相等，這些位置就一定在同一條直線上？教師可以引導學生自己試著寫一寫符合要求的數對，看一看他們的具體位置，驗證自己的猜想。

2.你能用數對確定下面四塊瓷磚（如圖3）的位置嗎？

（1）學生嘗試給出數對。

（2）如果讓你再添幾塊瓷磚，使它們顯得比較美觀，你會添在哪些位置上？寫出它們的數對。

（3）全班反饋時，引導學生評價：誰設計得最美觀？你從這些數對中發現了什么規律？讓學生既感受到設計的美，又從美的作品中發現隱藏的數學秘密。

3.生活中，你還在哪里見到過像“數對”這樣用兩個數來確定人或物體的位置的？

（1）學生獨立思考，并在組內交流。學生可能會提到飛機票、電影票、國際象棋、地球儀等。

（2）教師出示電影票，并提問：明明可以用更簡潔的數對來表示，為什么電影票通常還是選擇用第幾排第幾號的方式來確定位置？

（3）教師出示飛機票，并提問：確定飛機上的位置所用的方法和我們今天學習的數對有什么不同？為什么會用一個數和一個字母（如5A、11D）來表示位置，這樣的方法有什么優點？

（4）既然字母和數字結合還可以省略中間的逗號，比數對更簡潔，為什么在數學上還是選擇用數對來確定位置？用數對確定位置有什么優點？

（5）比較飛機票、電影票、國際象棋、地球儀上確定位置的不同方法，它們有什么相同的地方？為什么都需要用兩個數或兩個量來確定一個點的位置？

【好的數學練習，除了要鞏固所學的知識與技能外，還應關注學生對數學方法的領悟、數學思想的熏陶以及數學美的感受，并引導學生透過紛繁復雜的現象，發現其背后蘊含的內在統一性與數學美感。在筆者看來，這恰恰是培養學生的數學核心素養的體現，也是未來數學課堂不變的追求。】

（作者系南京市北京東路小學副校長，江蘇省數學特級教師）