拋物勢(shì)量子點(diǎn)中強(qiáng)耦合雙極化子量子比特的性質(zhì)

額爾敦朝魯,韓 超,張 穎

（河北科技師范學(xué)院物理系，河北秦皇島 066004）

拋物勢(shì)量子點(diǎn)中強(qiáng)耦合雙極化子量子比特的性質(zhì)

額爾敦朝魯*,韓 超,張 穎

（河北科技師范學(xué)院物理系，河北秦皇島 066004）

基于LLP幺正變換，采用Pekar型變分法得到了二維量子點(diǎn)中強(qiáng)耦合雙極化子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造了一個(gè)雙極化子的量子比特。數(shù)值結(jié)果表明:在量子比特內(nèi)，兩電子的空間幾率密度的時(shí)間振蕩周期T0隨電聲子耦合強(qiáng)度α、量子點(diǎn)的受限強(qiáng)度ω0以及介質(zhì)的介電常數(shù)比η的增加而減小;在量子比特內(nèi)，兩電子的空間幾率密度Q隨時(shí)間t、角坐標(biāo)φ2及介電常數(shù)比η的變化而作周期性振蕩;兩電子在量子點(diǎn)中心附近區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大，而在遠(yuǎn)離量子點(diǎn)中心區(qū)域出現(xiàn)的幾率很小。

量子點(diǎn);雙極化子;量子比特;Lee-Low-Pines-Pekar變分法

1　引 言

量子計(jì)算機(jī)（Quantum comPuter，QC）是目前信息科學(xué)的研究熱點(diǎn)之一，它在很多方面都可以突破現(xiàn)有經(jīng)典信息通信的極限，將給信息科學(xué)與通信技術(shù)帶來(lái)深刻的革命，為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的可持續(xù)發(fā)展開(kāi)辟了嶄新的空間。量子計(jì)算機(jī)是遵循量子力學(xué)規(guī)律進(jìn)行高速數(shù)學(xué)和邏輯運(yùn)算、存儲(chǔ)及處理量子信息的物理裝置，其基本信息單位是量子比特（Qubit）。量子比特是兩個(gè)任意正交量子態(tài)的疊加態(tài)許多兩態(tài)量子系統(tǒng)均可作為qubit的載體，如二能級(jí)原子、光子的兩個(gè)偏振態(tài)、電子的兩個(gè)自旋態(tài)等。近年來(lái)，人們提出了多種實(shí)現(xiàn)量子比特的方案，如離子阱[1]、核與電子自旋[2-3]、量子點(diǎn)[4]等。量子點(diǎn)具有能級(jí)結(jié)構(gòu)可調(diào)、可以實(shí)現(xiàn)全光操作、便于實(shí)現(xiàn)量子比特的集成等優(yōu)點(diǎn)，有可能作為量子光學(xué)技術(shù)的基本單元，因此，許多學(xué)者[5-8]對(duì)量子點(diǎn)量子比特進(jìn)行了研究，獲得了一系列重要結(jié)果。最近，人們對(duì)量子點(diǎn)中電子與聲子相互作用對(duì)量子比特的影響進(jìn)行了研究。Yu等[9]研究了單電子量子點(diǎn)量子比特的消相干，Xiao[10]研究了非對(duì)稱(chēng)量子點(diǎn)量子比特的電場(chǎng)效應(yīng)，Chen等[11]討論了電場(chǎng)中拋物量子點(diǎn)量子比特的溫度依賴(lài)性，Sun等[12]研究了磁場(chǎng)對(duì)拋物量子點(diǎn)量子比特的消相干時(shí)間的影響。然而，不難看出，這些研究?jī)H限于討論由單極化子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)構(gòu)造的量子比特。據(jù)我們所知，關(guān)于量子點(diǎn)中雙極化子量子比特的研究工作至今尚無(wú)報(bào)道。事實(shí)上，由于大多數(shù)人工低維結(jié)構(gòu)是離子晶體或極性半導(dǎo)體材料制備的，而且因維度的降低，使得量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)中電子-聲子相互作用變得更強(qiáng)（電聲子耦合強(qiáng)度α＞6.0），致使兩個(gè)相同的電子通過(guò)聲子場(chǎng)相互作用，將形成雙極化子的束縛態(tài)[13-15]。毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)這類(lèi)材料的量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)而言，抑制雙極化子的產(chǎn)生既無(wú)可能也無(wú)必要。隨著人工材料制備高新技術(shù)的發(fā)展，研究其中形成的雙極化子量子比特要比單研究極化子量子比特更有實(shí)際意義和潛在的應(yīng)用價(jià)值。本文基于Lee-Low-Pines（LLP）幺正變換，采用Pekar型變分法，首次研究了二維量子點(diǎn)中強(qiáng)耦合雙極化子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)構(gòu)造的量子比特的性質(zhì)。

2　理論模型與方法

考慮被約束在一個(gè)二維（x-y平面）拋物勢(shì)量子點(diǎn)中并與體縱光學(xué)（Longitudinal oPtical，LO）聲子相互作用的兩電子體系，體系的Fr?lich哈密頓量[15]為上式右邊求和號(hào)中的4項(xiàng)依次表示單電子的動(dòng)能、量子點(diǎn)的限定勢(shì)、局域LO聲子場(chǎng)的能量及電子-LO聲子耦合項(xiàng)，最后一項(xiàng)表示兩電子間庫(kù)倫相互作用能。pj和ρj（j＝1，2）分別是兩電子在x-y平面上的動(dòng)量和坐標(biāo)，ω0為電子所受量子點(diǎn)的約束勢(shì)強(qiáng)度，和ɑkj分別是波矢為kj、頻率為ωLO的LO聲子的產(chǎn)生和湮滅算符，相互作用系數(shù)為

這里V是晶體的體積，α是無(wú)量綱的電子-聲子耦合強(qiáng)度:

其中，ε∞（ε0）為電子所處介質(zhì)的高頻（靜態(tài)）介電常數(shù)，rP為極化子的半徑。

為了求體系的能量，我們討論變分函數(shù)U-1HU 在態(tài)中的期待值的極值問(wèn)題。按照變分原理

是LLP幺正變換[16]，其中，fkj和f*kj為變分參數(shù)。假設(shè)對(duì)于體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)，高斯函數(shù)近似成立，則依據(jù)Pekar類(lèi)型的變分法[17]，體系的基態(tài)嘗試波函數(shù)和第一激發(fā)態(tài)嘗試波函數(shù)分別選為

其中，λ0和λ1為變分參數(shù)，Ψ0（ρj）和Ψ1（ρj）分別表示單電子基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)，是聲子的真空態(tài)。將式（1）～（3）和式（5）～（7）代入式（4）中，可確定變分參數(shù)fk、、λ1和λ2。再經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的計(jì)算，得到雙極化子體系的基態(tài)能量和第一激發(fā)態(tài)能量分別為

式中η＝ε∞/ε0稱(chēng)為介質(zhì)的介電常數(shù)比。至此，可以構(gòu)造一個(gè)二能級(jí)體系，當(dāng)電子處于疊加態(tài)

時(shí)，即構(gòu)成一個(gè)量子點(diǎn)雙極化子量子比特，量子比特內(nèi)兩電子的幾率密度為

它隨時(shí)間t做振蕩的周期T0為

3　結(jié)果與討論

為了直觀地揭示準(zhǔn)二維量子點(diǎn)中雙極化子的基態(tài)能量E0、第一激發(fā)態(tài)能量E1、量子比特內(nèi)電子的幾率密度Q及其隨時(shí)間變化的周期T0隨量子點(diǎn)的受限強(qiáng)度ω0、介電常數(shù)比η、電子-聲子耦合強(qiáng)度α的變化規(guī)律，我們給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果，如圖1～7所示。圖中各量采用極化子單位（2mb＝?＝ωLO＝1）。

圖1　雙極化子的基態(tài)能量E0和第一激發(fā)態(tài)能量E1在不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨受限強(qiáng)度ω0（a）及介電常數(shù)比η（b）的變化Fig.1　Variations of ground state energY E0and the first excited state energY E1of biPolaron with the confinement strength ω0（a）and the dielectric constant ratio η（b）at different electron-Phonon couPling strength α

圖1描寫(xiě)了雙極化子基態(tài)能量E0和第一激發(fā)態(tài)能量E1在不同電聲子耦合強(qiáng)度α下隨量子點(diǎn)的受限強(qiáng)度ω0（a）和介質(zhì)的介電常數(shù)比η（b）的變化。由圖1（a）、（b）可以看出，雙極化子的基態(tài)能級(jí)E0＜0，而且基態(tài)能級(jí)掉得很低。這表明基態(tài)雙極化子將處于較為穩(wěn)定的束縛態(tài)，激發(fā)它需很大能量。因此，雙極化子的第一激發(fā)態(tài)應(yīng)該是由一個(gè)電子留在單粒子基態(tài)，而另一個(gè)電子被激發(fā)至單粒子第一激發(fā)態(tài)所形成。這就是本文選取式（6）為雙極化子基態(tài)試探波函數(shù)及式（7）為第一激發(fā)態(tài)試探波函數(shù)的依據(jù)之一。由圖1（a）可以看出，基態(tài)能量的絕對(duì)值隨ω0的增加而減小，而第一激發(fā)態(tài)能量E1隨ω0增加而增大;在ω0給定時(shí)，和E1都隨α增加而增大。由圖1（b）可以看出，和E1均隨η的增加增大。物理原因分析如下:由于雙極化子的能量當(dāng)中的電聲子相互作用能總是小于0[18]，所以由電子-聲子耦合引起的兩極化子間的相互作用是吸引力。在基態(tài)下，電聲子相互作用能的絕對(duì)值大于激發(fā)態(tài)下電聲子相互作用能的絕對(duì)值，這是因?yàn)轶w系處于基態(tài)時(shí)聲子被激發(fā)的幾率比激發(fā)態(tài)更大，致使基態(tài)雙極化子周?chē)曌悠骄鶖?shù)多于激發(fā)態(tài)雙極化子周?chē)曌悠骄鶖?shù)，導(dǎo)致基態(tài)雙極化子的電聲子相互作用要比激發(fā)態(tài)更強(qiáng)，以至于電聲子相互作用能在基態(tài)能量中占主導(dǎo)地位，而在激發(fā)態(tài)中卻不是。在激發(fā)態(tài)中，庫(kù)侖勢(shì)和量子點(diǎn)的約束勢(shì)的能量變得更加重要，且它們的取值都是正定的，這可以說(shuō)明圖1中為什么雙極化子的基態(tài)能量總是負(fù)的，而激發(fā)態(tài)能量不是，且兩者隨α、η和ω0的變化規(guī)律也不盡相同的物理原因。

圖2表示了振蕩周期T0在不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨受限強(qiáng)度ω0（a）和介電常數(shù)比η（b）的變化。由圖2（a）可以看出，T0隨ω0的增加而減小。這是由E0、E1的正負(fù)號(hào)及其隨ω0的變化規(guī)律不同導(dǎo)致的。由圖1（a）可以看出，隨著ω0的增加，E1隨ω0的增大而增加，而基態(tài)能量是負(fù)的，其絕對(duì)值隨受限強(qiáng)度ω0的增大而減小，且減小的幅度比E1隨ω0的增大的幅度小，這使得能級(jí)差ΔE＝E1-E0隨ω0的增加而增大，導(dǎo)致T0隨ω0的增加而減小。當(dāng)ω0給定時(shí)，T0隨α的增加而減小。由圖1（a）、（b）可以看出，隨著α的增大，不僅隨之增加，而且E1也隨之增加。這是因?yàn)閷?duì)雙極化子的激發(fā)態(tài)而言，盡管電聲子相互作用不再占主導(dǎo)，但它也通過(guò)影響庫(kù)侖能（2α/（1-η））來(lái)抬高激發(fā)態(tài)的能量，使得能級(jí)差ΔE＝E1-E0隨α的增加而增大，導(dǎo)致T0隨α的增加而減小。由圖1（b）可以看出，T0隨η的增加而減小。這是因?yàn)殡S著η的增加，不僅E1增大，基態(tài)能量的絕對(duì)值也增大。當(dāng)介電常數(shù)比η增大時(shí)，盡管兩電子間庫(kù)倫排斥力增加，但同時(shí)因兩電子間空間電場(chǎng)強(qiáng)度的增大，勢(shì)必引起兩電子間介質(zhì)的極化加強(qiáng)，以此進(jìn)一步推高占據(jù)主導(dǎo)地位的電聲子相互作用能，使得能級(jí)差ΔE＝E1-E0隨η的增加而增大，導(dǎo)致T0隨η的增加而減小。

圖2　振蕩周期T0在不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨受限強(qiáng)度ω0（a）及介電常數(shù)比η（b）的變化Fig.2　Variations of oscillation Period T0with the confinement strength ω0（a）and the dielectric constant ratio η（b）at different electron-Phonon couPling strength α

圖3（ɑ）描寫(xiě)了幾率密度Q在介電常數(shù)比η＝0.2、電聲子耦合強(qiáng)度α＝7.0、電子坐標(biāo)ρ1＝ρ2＝2.0和φ2＝π、時(shí)間t＝0.5 Ps時(shí)隨量子點(diǎn)受限強(qiáng)度ω0的變化;圖3（b）描寫(xiě)了幾率密度Q在受限強(qiáng)度ω0、耦合強(qiáng)度α＝7.0、電子坐標(biāo)ρ1＝ρ2＝2.0和φ2＝π、時(shí)間t＝0.5 Ps時(shí)隨介電常數(shù)比η的變化。由圖3（a）可見(jiàn)，Q隨ω0的增加而先減小至一最小值，然后迅速增大。由圖3（b）可見(jiàn)，Q隨η的增大而振蕩上升。

圖3　幾率密度Q隨受限強(qiáng)度ω0（a）和介電常數(shù)比η（b）的變化Fig.3　Variations of the ProbabilitY densitY Q with the confinement strength ω0（a）and the dielectric constant ratio η（b）

圖4描寫(xiě)了幾率密度Q在給定參數(shù)η＝0.2、α＝7.0、ω0＝5.0、ρ1＝ρ2＝2.0、t＝0.5T0時(shí)隨極角φ2的變化。由圖4可以看出，Q隨φ2的增加而以2π的6.28倍為周期作等幅振蕩變化。

圖4　幾率密度Q隨極角φ2的變化Fig.4　Variations of the ProbabilitY densitY Q with Polar angle φ2

圖5描寫(xiě)了幾率密度Q在給定參數(shù)η＝0.2、α＝7.0、ω0＝5.0、ρ1＝ρ2＝2.0、φ2＝π時(shí)隨時(shí)間t的變化。由圖5可以看出，Q隨t的增加而以T0為周期作調(diào)幅振蕩變化。

圖5　幾率密度Q隨時(shí)間t的變化Fig.5　Variations of the ProbabilitY densitY Q with time t

綜上所述，量子比特內(nèi)兩電子的空間幾率密度Q隨時(shí)間t、角坐標(biāo)φ及介質(zhì)的介電常數(shù)比η作周期性振蕩變化，從物理上講這是雙極化子疊加態(tài)的波動(dòng)性的表現(xiàn)。具體來(lái)說(shuō)，雙極化子的幾率波的相位變化取決于時(shí)間t、角坐標(biāo)φ及介質(zhì)的介電常數(shù)比η。

圖6（a）描寫(xiě)了幾率密度Q在給定參數(shù)η＝0.2、α＝7.0、ρ1＝2.0、φ2＝π、t＝0.5T0及不同受限強(qiáng)度ω0下隨電子坐標(biāo)ρ2的變化;圖6（b）描寫(xiě)了幾率密度Q在給定參數(shù)η＝0.2、ω0＝5.0、ρ1＝2.0、φ2＝π、t＝0.5T0和不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨電子坐標(biāo)ρ2的變化。由圖6（a）可以看出，當(dāng)ρ2較小（一般ρ2＜3.0）時(shí)，Q隨ρ2的增大而先顯著減小至一最小值，然后以小幅緩慢增大至一極大值，最后以小幅緩慢減小至0;同時(shí)，ω0對(duì)Q隨ρ2的變化有一定影響，即不同ω0對(duì)應(yīng)的各Q-ρ2曲線隨ω0的增加而整體向左上移。由圖6（b）可以看出，Q在不同α下隨ρ2的變化規(guī)律與圖6（a）描寫(xiě)的在不同ω0下Q隨ρ2的變化規(guī)律相似。綜合圖6（a）和（b）可以得出這樣的結(jié)論:電子2在靠近量子點(diǎn)的中心（ρ2＜3.0）區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大，而在遠(yuǎn)離量子點(diǎn)中心區(qū)域出現(xiàn)的幾率很小。

圖6　幾率密度Q在不同受限強(qiáng)度ω0（a）和不同電聲耦合強(qiáng)度α（b）下隨坐標(biāo)ρ2的變化Fig.6　Variations of the ProbabilitY densitY Q with coordinate ρ2at the confinement strength ω0（a）and different electron-Phonon couPling strength α（b）

圖7（a）描寫(xiě)了幾率密度Q在給定參數(shù)η＝0.2、α＝7.0、ρ1＝2.0、φ2＝π、t＝0.5T0及不同受限強(qiáng)度ω0下隨坐標(biāo)ρ1的變化;圖7（b）描寫(xiě)了幾率密度Q在給定參數(shù)η＝0.2、ω0＝5.0、ρ2＝2.0、

φ2＝π、t＝0.5T0和不同電聲耦合強(qiáng)度α下隨坐標(biāo)ρ1的變化。由圖7（a）可以看出，Q隨ρ1的增加而顯著減小并趨向0;ω0對(duì)Q隨ρ1的變化有一定影響，即不同ω0對(duì)應(yīng)的各Q-ρ1曲線隨ω0的增加而上移。由圖7（b）可以看出，α對(duì)Q隨ρ1的變化也有一定影響，即不同α對(duì)應(yīng)的各Q-ρ1曲線隨α的增加而整體上移。綜合圖7（a）和（b）可以看出，電子1在量子點(diǎn)中心附近區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大，但范圍比電子2要大一些（ρ1＜5.0），而在遠(yuǎn)離量子點(diǎn)中心區(qū)域出現(xiàn)的幾率很小。可以這樣理解上述圖6和圖7表示的電子在量子點(diǎn)中心附近區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大的現(xiàn)象，是由于量子點(diǎn)的簡(jiǎn)諧限定勢(shì)在中心小、電子在中心時(shí)系統(tǒng)能量低所致。

圖7　幾率密度Q在不同受限強(qiáng)度ω0（a）和不同電聲耦合強(qiáng)度α（b）下隨坐標(biāo)ρ1的變化Fig.7　Variations of the ProbabilitY densitY Q with coordinate ρ1at the confinement strength ω0（a）and different electron-Phonon couPling strength α（b）

4　結(jié) 論

討論了被約束在二維拋物勢(shì)量子點(diǎn)中并與LO聲子強(qiáng)耦合（電聲子耦合強(qiáng)度α＞6.0）的兩電子體系。基于LLP幺正變換，采用Pekar型變分法得到了強(qiáng)耦合雙極化子的基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)能量及波函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造了一個(gè)量子點(diǎn)雙極化子的量子比特。數(shù)值結(jié)果表明:在量子比特內(nèi)，兩電子的幾率密度的時(shí)間振蕩周期T0隨電聲子耦合強(qiáng)度α、量子點(diǎn)受限強(qiáng)度ω0以及介質(zhì)的介電常數(shù)比η的增加而減小;在量子比特內(nèi)，兩電子的空間幾率密度Q隨時(shí)間t、角坐標(biāo)φ2及介質(zhì)的介電常數(shù)比η的變化作周期性振蕩;電子在量子點(diǎn)中心附近區(qū)域出現(xiàn)的幾率較大，而在遠(yuǎn)離量子點(diǎn)中心區(qū)域出現(xiàn)的幾率極小。

下一步的工作將在本文研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究調(diào)控量子點(diǎn)中雙極化子二能級(jí)體系的物理方法，以該量子比特為載體，構(gòu)造物理上可操控的量子信息處理和量子計(jì)算方案。

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額爾敦朝魯（1960-），男，內(nèi)蒙古奈曼旗人，教授，碩士生導(dǎo)師，1982年于內(nèi)蒙古民族大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事凝聚態(tài)光學(xué)性質(zhì)方面的研究。

E-mail:eerdunchaolu@163.com

Properties of Strong-coupling Bipolaron Qubit in Parabolic Potential Quantum Dot

Eerdunchaolu*，HAN Chao，ZHANG Ying
（Depɑrtment of Physics，Hebei Normɑl Uniυersity of Science＆Technology，Qinhuɑngdɑo 066004，Chinɑ）*Corresponding Author，E-mɑil:eerdunchɑolu@163.com

On the basis of Lee-Low-Pines（LLP）unitarY transformation，the eigenenergY and eigenfunction of the ground-state and the first excited state of the strong-couPling biPolaron in two-dimensional quantum dot（QD）were obtained by using the variational method of Pekar tYPe.A qubit was formed by overlaYing both the ground state and the first excited state of the biPolaron sYstem.Numerical calculations indicate that the oscillating Period T0of qubits decreases with the increasing the electron-Phonon couPling strength α，the confinement strength ω0of the quantum dot，and the dielectric constant ratio η;the distribution of the ProbabilitY densitY Q of the electrons in quantum dot oscillates PeriodicallY with time t，angle coordinate φ2，and the dielectric constant ratio η，and there is a maximum at near the center and zero awaY from the center of quantum dot.

quantum dot;biPolaron;qubit;Lee-Low-Pines-Pekar variational method

O469

A DOI:10.3788/fgxb20163702.0144

1000-7032（2016）02-0144-07

2015-10-19;

2015-11-09

河北省自然科學(xué)基金（E2013407119）;河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（ZD20131008，Z2015248，Z2015219）資助