例說面積法在初中幾何中的應用

劉美全

（福建省南靖縣龍山中學，福建漳州363600）

例說面積法在初中幾何中的應用

劉美全

（福建省南靖縣龍山中學，福建漳州363600）

面積法就是運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，它是解幾何問題的一種重要數學方法。本文通過具體的實例說明面積法在初中幾何中求線段的比、計算線段的長、證比例式、證兩角相等、證線段的和差等五方面的應用。

面積法；初中幾何；應用

幾何計算和證明是初中數學的一個重要組成部分，一些幾何計算和證明問題表面上看起來和面積無關，但是如果我們能夠靈活運用面積法，往往會起到意想不到的效果，使問題迎刃而解。

所謂的面積法就是運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，它是解幾何問題的一種重要數學方法，用它來證明或計算幾何題有時會有意想不到的收獲。其特點是把已知和未知量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證或計算的結果。

用面積法解幾何問題常用到下列性質：

性質1：等底等高的三角形面積相等。

性質2：同底等高的三角形面積相等。

性質3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半。

性質4：等高的兩個三角形的面積比等于底之比。

性質5：等底的兩個三角形的面積比等于高之比。

性質6：兩個全等形的面積相等。

性質7：一個圖形的面積等于它的各部分面積的和。

下面通過具體的實例說明面積法在初中數學幾何計算和證明中的一些應用。

一、利用面積法計算線段的長

綜合法是幾何命題常用的一種證明方法--"由因導果"，即直接從題設的條件入手，運用定義定理推出結論，它的思路是從"已知"看"可知"。直接計算線段的長，應用面積法來解決就會顯得簡潔明了。

例1.如圖1，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，且AC=3，AB=5，求CD。

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：

BC=√(AB2-AC2)=√（52-32）=4

由三角形面積公式有

1/2AB×CD=1/2AC×BC

CD=AC×BC/AB=3×4/5=12/5

這題就是從已知入手求出BC的長，再根據三角形面積公式求出結果的。當然此題還可以用勾股定理來解，那不僅要求出BC的長，還要求BD(或CD)，才能求出AD的長，可以說解法略顯繁瑣；還能用解直角三角形來解決，相比之下用面積法來解就比較簡捷明了，令人耳目一新。

二、利用面積法證線段相等

在幾何命題論證中，證明線段相等最直接的方法就是通過證明三角形全等，再利用"全等三角形的對應邊相等"加以證明。但有些題目如果能以不同關系式表示同一個幾何圖形的面積，并據此找出等量關系，可以說思路新穎獨特，而且相當簡便。

例2.如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，

CE⊥AB于E，求證：BD=CE。

證明：在△ABC中，

∵AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，

垂足分別為D、E。

∴S=1/2AB·CE=1/2AC·BD又∵AB=AC

∴CE=BD

本題通過對同一圖形從不同的角度利用面積公式，從而直接得出了CE和BD的關系，相比較利用三角形全等來證明，可以看出用面積法不僅十分簡潔、巧妙，而且還好理解。

三、利用面積法求線段的比

求線段的比，最直接的思路就是利用"相似三角形的對應邊成比例"求解，但有時如果能巧妙利用圖形的面積加以計算，會收到意想不到的效果。

例3.如圖3，在△ABC中，已知BC、AC邊上的中線AD、BF交于M。求證：MD/AM=1/2。

證明：連結CM，過B作BG⊥AD交AD延長線于G，

∵BF是△ABC的中線。

∴S△BAF=S△BCF,S△MCF=S△MAF

∴S△BAF-S△MAF=S△BCF-S△MCF

即S△MAB=S△MBC

∵AD是△ABC的中線。

∴S△MBDE=S△MDC=1/2S△MBC

∴S△MBD=1/2S△MAB,即S△MBD/S△BAM=1/2。

∴S△MBD=1/2S△MBD=1/2BG×MD,S△BAM=1/2BG×AM.

∴MD/AM=S△MBD/S△BAM=1/2。

本題通過三角形邊上的中線，得到線段相等，再利用"等底等高的三角形面積相等"，結合三角形的面積公式得到結論，解法巧妙，易理解。

四、利用面積法證比例式。

證比例式成立，最常用的方法就是利用"相似三角形的對應邊成比例"加以證明，但有些題目如果能從不同的角度選擇相應的面積公式，通過面積比就會很容易得到相應的比例式。

例4.如圖4，AD是△ABC的角平分線，求證：AB/AC=BD/DC。

證明：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點A作AH⊥BC于H。

又∵AD是△ABC的角平分線

∴DE=DF

∴S△ABD/S△ACD=(1/2AB×DE)/(1/2AC×DF)

=AB/AC

而S△ABD/S△ACD=(1/2BD×AH)/(1/2DC×AH)=BD/DC

∴AB/AC=BD/DC

本題解答中最突出的一點是對同一圖形，從不同的角度選擇相應的面積公式。通過線段比與面積比的互換來實現幾何關系和數量關系的轉換，從而很容易的得出結論。

通過以上的實例我們知道，利用面積法解題的關鍵，就是要善于發掘圖形之間的位置關系，或對同一圖形，從不同的角度考慮用面積公式。對于一些比較難解甚至感覺無從下手的幾何計算和證明問題，如果能考慮到用面積法，往往會起到化難為易，化繁為簡，事半功倍之效果。

劉美全，男，漢族，福建漳州人，福建省南靖縣龍山中學教師，研究方向：中學數學。