滿足ω(D)≤3的Diophantine方程組x+1=6Dy2，x2-x+1=3z2

呼家源 ，　李小雪

(1.河套學(xué)院 理學(xué)系　內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000； 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院　陜西 西安 710127)

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滿足ω(D)≤3的Diophantine方程組x+1=6Dy2，x2-x+1=3z2

呼家源1，李小雪2

(1.河套學(xué)院 理學(xué)系內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000； 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院陜西 西安 710127)

設(shè)D是無平方因子正整數(shù)，ω(D)≤3表示D的不同素因子的個數(shù).主要對方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2的解進行了研究，并利用二次和四次Diophantine方程的一些性質(zhì)，證明了若ω(D)≤3，那么方程組x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2只有正整數(shù)解(D,x,y,z)=(182,436 7,2,252 1)和(1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

Diophantine方程組； 無平方因子正整數(shù)； 不同素因子的個數(shù)

0　引言

設(shè)N是全體正整數(shù)的集合，D是無平方因子正整數(shù)，ω(D)表示D的不同素因子的個數(shù). 由文獻[1]知，若ω(D)=1, 則方程組

x+1=6Dy2,x2-x+1=3z2,x,y,z∈N

(1)

無解(x,y,z). 文獻[2]證明了,若ω(D)=2且D的每一個素因子p滿足p≡1(mod 6),則式(1)無解(x,y,z). 文獻[3-4]也進行了相關(guān)的研究. 本文利用二次和四次Diophantine方程的性質(zhì), 證明了一個一般結(jié)論如下。

定理若ω(D)≤3ω(D)≤3, 則式(1)只有解(D,x,y,z)=(182,4 367,2,2 521)和(1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

1　若干引理

引理1對任意正整數(shù)n，設(shè)

(2)

1) (u,v)=(un,vn)(n=1,2,…)是方程

u2-3v2=1,u,v∈N

(3)

的全部解.

2)v2n=2unvn.

證明因為3是非平方數(shù), (u1,v1)=(2,1)是文獻(5)中(2.3)的基本解,式(3)的解(u,v)可表示為

(4)

因此, 由式(2)、(4), (u,v)=(un,vn),(n=1,2…)是式(3)的全部解. 引理中的1)成立.

gcd(un,vn)=1.

(5)

(6)

且un≡2(mod 4). 因此, 由式(5)可得(un,vn)≡(0,1)(mod 2).引理中的3)成立.

(7)

可得

(8)

因此, 由式(7)、(8),有

(9)

引理2對任意非負整數(shù)m,設(shè)

(10)

則(U,V)=(U2m+1,V2m+1)(m=0,1,…)是方程

U2-3V2=-1,U,V∈N

(11)

的全部解.

證明因為3是非平方數(shù), (U1,V1)=(1,1)是式(11)的基本解[5],由文獻[5]可得本引理.

引理3對任意非負整數(shù)m, 有v2m+1=U2m+1V2m+1.

引理4[5]方程

4X4-3Y2=1,X,Y∈N

(12)

僅有解(X,Y)=(1,1).

引理5[6]方程

X4-3Y2=1,X,Y∈N

(13)

無解(X,Y).

引理6[7]方程

X2-3Y4=1,X,Y∈N

(14)

只有解(X,Y)=(2,1)和(7,2).

引理7[5]方程

X4-3Y2=-2,X2-3Y4=-2,X,Y∈N

(15)

僅有解(X,Y)=(1,1).

2　定理的證明

設(shè)D是無平方因子正整數(shù), 且ω(D)≤3.設(shè)(x,y,z)是式(1)的解.則有

4z2-3(4Dy2-1)2=1.

(16)

由式(16)知式(3)有解

(u,v)=(2z,4Dy2-1)，

(17)

(2z,4Dy2-1)=(u2n+1,v2n+1),n∈N.

(18)

因為D>1,ω(D)≤3,若n≤12,則由式(18)可得(D,x,y,z)=(182,4 367,2,2 521)和(1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

考慮n>12的情況. 由式(2)、(8)和(18),有

(19)

n=2r+1,r∈N,r≥6.

(20)

將式(20)代入式(19), 由引理1的2), 有v2r+2=2ur+1vr+1和

Dy2=u2r+1ur+1vr+1.

(21)

由引理1的3)和引理3,有u4s+1≡u2s+1≡2(mod 4)和v2s+1=U2s+1V2s+1.因此,由式(20)和(21),可得

(22)

D=D1D2D3D4；y=2t1t2t3t4,Di,ti∈N,i=1,2,3,4.

(23)

r=2s+1,s∈N,s≥3.

(24)

由式(21)和式(24),有

(25)

得

D=D1D2D3D4;y=2t1t2t3t4,Di,ti∈N,i=1,2,3,4.

(26)

因為s≥3, 利用引理4～引理7, 由式(26)可得Di>1(i=1,2,3,4)和ω(D)≥4,矛盾.

綜上, 定理得證.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

The Diophantine Systemx+1=6Dy2andx2-x+1=3z2withω(D)≤3

HU Jiayuan1,LI Xiaoxue2

(1.DepartmentofScience,HetaoCollege,Bayannur015000,China;2.SchoolofMathematics,NorthwestUniversity,Xi’an710127,China)

LetDbe a positive integer with square free, and letω(D) denote the number of distinct prime divisors ofD. Using some properties of quadratic and quartic Diophantine equations, it was proved that ifω(D)≤3, then the equation systemx+1=6Dy2andx2-x+1=3z2had only the positive integer solutions (D,x,y,z)=(182,4 367,2,2 521) and (1 711 759,164 328 863,4,94 875 313).

Diophantine system; positive integer with square free; number of distinct prime divisors

2016-02-04

國家自然科學(xué)基金資助項目(11371291)；陜西省自然科學(xué)基金重點資助項目(2013JZ001)；河套學(xué)院自然科學(xué)青年基金資助項目(HYZQ201412).

呼家源(1986—), 女, 內(nèi)蒙古巴彥淖爾人, 講師, 主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究, E-mail: hujiayuan1986@163.com.通訊作者：李小雪(1988—), 女, 陜西渭南人, 博士研究生, 主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究， E-mail: lxx20072012@163.com.

O156.7

A

1671-6841(2016)03-0043-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016031

引用本文：呼家源，李小雪．滿足ω(D)≤3的Diophantine方程組x+1=6Dy2，x2-x+1=3z2[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016,48(3):43-46.