對角占優(yōu)矩陣的行列式估計

趙建興，　桑彩麗

(貴州民族大學(xué) 理學(xué)院　貴州 貴陽 550025)

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對角占優(yōu)矩陣的行列式估計

趙建興，桑彩麗

(貴州民族大學(xué) 理學(xué)院貴州 貴陽 550025)

針對對角占優(yōu)矩陣的行列式估計問題，首先利用嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣A的元素給出逆矩陣A-1的主對角元的上下界，然后利用逐次降階法和遞歸法給出A的行列式的單調(diào)遞增的下界序列和單調(diào)遞減的上界序列，改進(jìn)了一些已有結(jié)果. 隨后將此方法推廣，從而得到對角占優(yōu)矩陣的行列式的上下界序列. 最后通過數(shù)值算例驗證理論結(jié)果，數(shù)值算例表明所得估計在某些情況下能達(dá)到真值且比現(xiàn)有結(jié)果精確.

矩陣； 對角占優(yōu)； 行列式； 降階法； 估計

0　引言

在科學(xué)與工程計算問題中有大量的計算問題直接或間接地表現(xiàn)為矩陣計算的形式，例如解線性矩陣方程、線性矩陣不等式[1-2]、求逆矩陣的無窮范數(shù)[3]及求矩陣特征值等問題. 因此自然會有這樣的問題，是否能有某種方法來判斷矩陣的奇異性，并在非奇異的情況下估計出行列式值的上下界.該下界在一定程度上反映了矩陣非奇異程度，且在矩陣的特征值下界和P條件數(shù)的估計中經(jīng)常用到[4-5],文獻(xiàn)[4]給出了嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的行列式的下界估計式.文獻(xiàn)[5]利用矩陣上三角元素給出了對角占優(yōu)矩陣的行列式的下界估計式.文獻(xiàn)[6]利用矩陣上三角元素給出了嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的行列式的上下界估計式.文獻(xiàn)[7-8]利用不同的方法改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]的結(jié)果.文獻(xiàn)[9]利用矩陣下三角元素給出了嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的行列式的上下界估計式.文獻(xiàn)[10]給出了弱鏈對角占優(yōu)矩陣的行列式的上下界估計式.文獻(xiàn)[11]改進(jìn)了文獻(xiàn)[7,9]的結(jié)果，并給出其他幾類非奇異H-矩陣行列式的估計式. 本文利用矩陣的逆元素估計、逐次降階法及遞歸法, 給出了嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣和對角占優(yōu)矩陣的行列式的收斂的上下界序列, 在一定條件下改進(jìn)了文獻(xiàn)[4-9,11]的相關(guān)結(jié)果, 并用數(shù)值算例驗證了文中結(jié)果.

注1由定義1易知SDn?CDn?Hn.由文獻(xiàn)[7]知，若實矩陣A=(aij)∈Hn,且aii>0,i∈N,則det A>0.

引理1[8]若A=(aij)∈SDn，則A-1=(αij)存在, 且對任意的i∈N及某一j≠i,有

對于嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的行列式估計,Ostrowski[4]給出如下結(jié)果，設(shè)A∈SDn,則

(1)

文獻(xiàn)[5]給出了對角占優(yōu)矩陣行列式的下界估計，設(shè)A∈Dn，則

(2)

文獻(xiàn)[6]改進(jìn)了(1)式，并給出結(jié)果，設(shè)A∈SDn,則

(3)

文獻(xiàn)[7]改進(jìn)了(3)式，并提出結(jié)果，設(shè)A∈SDn,則

(4)

文獻(xiàn)[8]改進(jìn)了(3)式，并給出結(jié)果，設(shè)A∈SDn,則

(5)

文獻(xiàn)[9]改進(jìn)了(1)式，并提出另一結(jié)果，設(shè)A∈SDn,則

(6)

文獻(xiàn)[10]改進(jìn)了(4)式，并給出如下結(jié)果，設(shè)A∈CDn,則

文獻(xiàn)[11]改進(jìn)了(4)式，并給出如下結(jié)果，設(shè)A∈SDn,則

(7)

1　主要結(jié)果

設(shè)A=[aij]∈Rn×n,aii≠0.?i,j,k∈N,j≠i,t=1,2,…,令

引理3設(shè)A=(aij)∈SDn, 則A-1=(αij)存在, 且

證明對于?i,j∈N,j≠i,t=1,2,…,設(shè)ε>0,令

定理3設(shè)A=(aij)∈SDn, 則對任意t=1,2,…,

若定理3中嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣A為對稱矩陣，易得如下定理，

定理4設(shè)對稱矩陣A=(aij)∈SDn, 則對任意t=1,2,…,

注2由定理3、定理4和定理5知定理1在一定條件下改進(jìn)了式(1)～(7).若A∈Dn,則?ε>0,A+εIn∈SDn.將A+εIn應(yīng)用定理1并令ε→0,根據(jù)連續(xù)性，可得.

由定理6和注1可得如下推論1.

推論1若實矩陣A=(aij)∈Dn,且aii>0,i∈N,則αt≤detA≤βt,t=1,2,….

2　數(shù)值算例

本小節(jié)給出兩個數(shù)值算例驗證第二部分的結(jié)果.

例1設(shè)

易知A∈SD10.由MATLAB7.1計算得det(A)=3.304 3e+010.在定理1中取迭代總次數(shù)為10, 由定理1和文獻(xiàn)[4-11]中相關(guān)結(jié)論得到的數(shù)值結(jié)果在表1中列出，其中t表示迭代次數(shù).

注3從表1可以看出:

1)由定理1得到的det(A)的包含區(qū)間優(yōu)于由文[4-11]中相關(guān)結(jié)果得到的det(A)的包含區(qū)間；

2)由定理1得到的det(A)的包含區(qū)間是不斷縮小的；

3)由定理1得到的det(A)包含區(qū)間能有效地逼近det(A)的真值.

表1　det(A)的包含區(qū)間Tab.1　 The scope of det(A)

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

EstimatesofDeterminantsforDiagonallyDominantMatrices

ZHAOJianxing,SANGCaili

(College of Science, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China)

Forestimatesofthedeterminantofdiagonallydominantmatrices,atfirst,somelowerandupperboundsofthemaindiagonalelementsofA-1weregivenbyusingtheelementsofastrictlydiagonallydominantmatrixA.Next,monotoneincreasingsequenceoflowerboundsandmonotonedecreasingsequenceofupperboundsofdeterminantofAweregivenbyusingsuccessivereductionandrecursivemethods.Thesesequencesresultedionimprovementofsomeexistingresults,andthenwereappliedtheupperandlowerboundsofdeterminantofdiagonallydominantmatrices.Finally,numericalexamplesweregiventoverifythetheoreticalresults.Numercialexamplesshowedthatthepresentestimatescouldreachthetruevalueofthedeterminantinsomecasesandweremoreaccuratethantheexistingresults.

matrix；diagonallydominant；determinant；reduction；estimate

2016-02-09

國家自然科學(xué)基金資助項目(11361074, 11501141)；貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目(黔科合J字[2015]2073號)；貴州民族大學(xué)引進(jìn)人才科研項目(15XRY003)；貴州民族大學(xué)科研項目(15XJS009).

趙建興(1981—)，男，山東濟(jì)寧人，副教授，主要從事數(shù)值代數(shù)研究，E-mail: zjx810204@163.com．

O151.21

A

1671-6841(2016)03-0032-07

10.13705/j.issn.1671-6841.2016037

引用本文：趙建興，桑彩麗．對角占優(yōu)矩陣的行列式估計[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016，48(3)：32-38．