環Fp+uFp上的循環碼

孔　波，　常曉鵬

(1.河南教育學院 數學與統計學院　河南 鄭州 450046； 2.河南教育學院 信息技術系　河南 鄭州 450046)

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環Fp+uFp上的循環碼

孔波1，常曉鵬2

(1.河南教育學院 數學與統計學院河南 鄭州 450046； 2.河南教育學院 信息技術系河南 鄭州 450046)

研究了環Fp+uFp上循環碼的結構, 這里p為素數,u2=u, 證明了該環上的循環碼可由Fp+uFp上的一個多項式生成，并給出了其上循環碼的生成多項式.

循環碼; 主理想; Gray映射; 自正交碼

0　引言

1　基礎知識

有限交換環R上如果只有一個元素I生成，則I稱為主理想. 如果環R的所有理想都是主理想, 則稱R為主理想環. 如果R有唯一的極大理想R稱為局部環.如果R的所有理想按包含關系形成一條鏈,則稱R為鏈環.R上長為n的線性碼C是Rn的一個R子模.

令R=Fp+uFp,這里u2=u. 已知Fp+uFp是特征為p的有限交換環, 該環有p2個元素.

引理1環R中有(p-1)2個單位元.

證明環R的任意元素r可以表示為r=a+bu, 由環的特征為p及u2=u, 可得rp=r. 則r(rp-1-1)=0,r∈R. 由此可得, 對任意的r∈R除了滿足rp-1=1的都是零因子. 由rp-1=ap-1+u(a+b)p-1-uap-1=1. 可得ap-1=1,(a+b)p-1=1, 只要滿足a≠0,a+b≠0即可.所以在R中滿足a≠0,a+b≠0的有(p-1)2個元素, 可得環R中有(p-1)2個單位元.

環R是一個半局部環,R有兩個極大理想

〈u〉={0,u,2u,…,(p-1)u}，〈1-u〉={0,1-u,2-2u,…,p-1-(p-1)u},

每個極大理想有p個元素, 所以R/〈u〉與R/〈1-u〉都同構與Fp，R是一個主理想環，但不是有限鏈環.

設σ表示Rn上的一個循環移位, 即對任意的(c0,c1,…,cn-1)∈Rn,σ(c0,c1,…,cn-1)=(cn-1,c0,…,cn-2). 設C為R上的長為n的線性碼,對任意的 (c0,c1,…,cn-1)∈C, 均有σ(c0,c1,…,cn-1)=(cn-1,c0,…,cn-2)∈C, 稱C為環R上長為n的循環碼.

2　Gray映射

定理2若C是R上長為n的(n,k,dL)線性碼. 則φ(C)是Fp上的(2n,k,dH)線性碼, 且dH=dL.

證明設ri=ai+ubi∈R,i=1,2,k∈Fp. 則

φ(r1+r2)=φ(a1+a2+u(b1+b2))=(a1+a2,a1+a2+b1+b2)=(a1,a1+b1)+(a2,a2+b2)=

φ(r1)+φ(r2)φ(kr1)=φ(ka1+kub1)=(ka1,ka1+kb1)=k(a1,a1+b1)=kφ(r1)，

定理3設C是R上長為n的線性碼. 則

這里gi為Ci的生成多項式,i=1,2.

證明對任意的(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn)∈φ(C), 令ri=si(1-u)+tiu. 由φ是雙射可知r=(r1,r2,…,rn)∈C. 由C1,C2的定義可知(s1,s2,…,sn)∈C1, (t1,t2,…,tn)∈C2, 所以(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn)∈C1?C2, 即φ(C)?C1?C2.

反之, 若(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn)∈C1?C2, 其中：(s1,s2,…,sn)∈C1； (t1,t2,…,tn)∈C2.存在x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈C滿足xi=si+umi,yi=ti+(1-u)ni, 其中：mi，ni∈Fp，i=1,2,…,n. 由C是線性的可知r=(1-u)x+uy∈C, 因此φ(r)=(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tn), 所以C1?C2?φ(C), 可得φ(C)=C1?C2, 由φ是雙射,可知

這里gi為Ci的生成多項式,i=1,2.

引理2設C是R上長為n的線性碼,C⊥為C的對偶碼,則φ(C⊥)=φ(C)⊥，若C是自對偶的,則φ(C)也是自對偶的.

證明先證φ(C⊥)?φ(C)⊥, 設x,y∈C,其中：

x=(a1+b1u,a2+b2u,…,an+bnu)；y=(c1+d1u,c2+d2u,…,cn+dnu)；ai,bi,ci,di∈Fp.

可得

3　環R上的循環碼

引理3如果C=(1-u)C1⊕(u)C2為R上的線性碼, 則C為R上的循環碼當且僅當C1,C2為Fp上的循環碼.

證明設(x1,x2,…,xn)∈C1, (y1,y2,…,yn)∈C2, 則

((1-u)x1+uy1,(1-u)x2+uy2,…,(1-u)xn+uyn)∈C.

由C為R上的循環碼可得 ((1-u)xn+uyn,(1-u)x1+uy1,…,(1-u)xn-1+uyn-1)∈C,

即

((1-u)xn+uyn,(1-u)x1+uy1,…,(1-u)xn-1+uyn-1)=

(1-u)(xn,x1,…,xn-1)+u(yn,y1,…,yn-1)∈C,

所以(xn,x1,…,xn-1)∈C1, (yn,y1,…,yn-1)∈C2,C1,C2均為Fp上的循環碼.反過來, 若C1,C2均為Fp上的循環碼, 設(x1,x2,…,xn)∈C1, (y1,y2,…,yn)∈C2, 則

((1-u)x1+uy1,(1-u)x2+uy2,…,(1-u)xn+uyn)∈C.

由C1,C2均為Fp上的循環碼可知(xn,x1,…,xn-1)∈C1, (yn,y1,…,yn-1)∈C2, 可得

((1-u)xn+uyn,(1-u)x1+uy1,…,(1-u)xn-1+uyn-1)=

(1-u)(xn,x1,…,xn-1)+u(yn,y1,…,yn-1)∈(1-u)C1⊕(u)C2=C.

所以C為R上的循環碼.

推論2如果C=(1-u)C1⊕(u)C2是R的循環碼, 則C⊥也是R上的循環碼.

定理4如果C=(1-u)C1⊕(u)C2是R上的循環碼自對偶碼, 當且僅當C1,C2為Fp上的循環碼自對偶碼.

定理5如果C=(1-u)C1⊕(u)C2是R上長為n的循環碼 , 則存在g(x)∈R[x]且g(x)|xn-1, 使得C=〈g(x)〉.

證明若C=(1-u)C1⊕(u)C2是R上長為n的循環碼. 設gi為Ci的生成多項式,i=1,2.則

C=〈(1-u)g1(x),ug2(x)〉.

令C′=〈(1-u)g1(x)+ug2(x)〉，易得C′?C.由

(1-u)[(1-u)g1(x)+ug2(x)]=(1-u)g1(x),

u[(1-u)g1(x)+ug2(x)]=(u)g2(x)，

xn-1=[(1-u)g1(x)+ug2(x)][(1-u)f1(x)+uf2(x)].

所以xn-1=g(x)[(1-u)f1(x)+uf2(x)], 定理得證.

4　結論

本文根據Gray映射建立Fp+uFp(u2=u) 上的循環碼與Fp上準循環碼之間的對應關系,證明了環Fp+uFp上的循環碼是主理想生成的.

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(責任編輯：方惠敏)

Cyclic Codes over RingFp+uFp

KONG Bo1，CHANG Xiaopeng2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China;2.DepartmentofInformationTechnology,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

The structure of cyclic codes over ringFp+uFpwas studied, whereu2=u. It was proved that the cyclic codes over the ring were generated by one polynomial over the ringFp+uFp. And the generator polynomial of the cyclic codes was given.

cyclic codes; principal ideal; Gray map; self-orthogonal codes

2016-01-25

河南省基礎與前沿基金資助項目(162300410083);河南教育學院應用數學重點學科資助項目.

孔波(1980—)，男，河南周口人，講師，主要從事代數與編碼研究，E-mail:kongbo666@163.com．

O157.4

A

1671-6841(2016)03-0028-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016017

引用本文:孔波，常曉鵬．環Fp+uFp上的循環碼[J] ．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(3)：28-31．