基于多尺度方法的1∶3共振雙Hopf分岔分析

王萬永，　陳麗娟，　郭　靜

(1.河南工程學院 理學院　河南 鄭州 451191； 2.鄭州鐵路職業技術學院 公共教學部　河南 鄭州 450052)

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基于多尺度方法的1∶3共振雙Hopf分岔分析

王萬永1，陳麗娟1，郭靜2

(1.河南工程學院 理學院河南 鄭州 451191； 2.鄭州鐵路職業技術學院 公共教學部河南 鄭州 450052)

利用改進的多尺度方法對一個電路振子模型1∶3共振附近的動力學行為進行了研究.應用該方法得到了系統的復振幅方程，進而得到一個振幅與相位解耦的三維實振幅系統，通過分析實振幅方程的平衡點個數及其穩定性，將系統共振點附近的動力學行為進行分類，發現了雙穩態等動力學現象，數值模擬驗證了理論結果的正確性.

電路振子； 1∶3共振； 多尺度方法； 分岔

0　引言

在非線性動力學的研究中，內共振由于能夠反應系統線性模態之間的相互作用，有著非常重要的研究價值.文獻[1]通過研究一個兩端固支屈曲梁模型的內共振，構建了該模型在1∶1和1∶3內共振情形下的非線性模態.文獻[2]研究了一個懸索模型的1∶2內共振，并討論了三次非線性和高階修正項對系統解的影響.文獻[3]研究了一個極限環振子系統發生的1∶3共振雙Hopf分岔，并研究了非線性對共振附近動力學行為的影響.文獻[4]通過利用3∶1內共振的性質設計了一個非線性振動吸振器.文獻[5]研究了內共振條件下風力發電機風輪葉片的空氣動力學行為.在內共振和雙Hopf分岔的研究中，常用的方法有中心流形和規范型方法、多尺度方法、攝動增量法、Liapunov-Schmidt約化和奇異攝動法.這些方法都存在一些問題，例如中心流形方法計算過程復雜，奇異性理論更加數學化，晦澀難懂，而多尺度方法得到的強共振的實振幅方程中，平衡點是非孤立的平衡點[6]，因而使穩定性分析和分岔分析無法進行.在本文的研究中，將應用一種改進的多尺度方法，把1∶3共振的規范型化為一個三維的實振幅系統，進而可以研究系統在共振點附近的動力學行為.

本文以一個電路振子模型為例，利用改進的多尺度方法研究其1∶3共振點附近的動力學行為.其電路示意圖如圖1所示[7].

其數學模型為[7]：

圖1　電路振子Fig.1　The electric oscillator；；

(1)

其中：x1=v1，x2=i1，x3=v2，x4=i2是狀態變量；η1=1/C1，η2=R，η3=1/L1，ρ1=1/C2，ρ2=1/L2是參數；α1、α2、α3是輔助參數.非線性電路模型的動力學行為是非線性動力學研究的重要內容之一.目前已有不少的文獻從實驗和理論方面對其進行了研究[8-12]，并發現了次諧波振蕩、周期解、概周期解、分岔以及混沌等大量的非線性現象[11].本文將應用改進的多尺度方法對該電路系統的1∶3共振進行研究，計算其振幅方程并分析共振點附近的動力學行為.

1　振幅方程

λ4+(-α1η1+η2ρ2)λ3+(η1η3+η1ρ2-α1η1η2ρ2+ρ1ρ2)λ3+(η1η2η3ρ2-α1η1ρ1ρ2)λ+η1η3ρ1ρ2=0.

(2)

為了得到1∶3共振的規范型方程,將應用改進的多尺度方法對系統(1)進行分析.首先按照如下形式攝動參數

(3)

(4)

其多尺度形式的解具有如下形式

y(t)=εy1(T0,T2)+ε2y2(T0,T2)+ε3y3(T0,T2)+O(ε4).

(5)

將式(3)、(5)帶入式(4),并對式(4)的右端進行Taylor展開,令兩端ε的各次冪的系數相等,可得

(6)

(7)

(8)

方程(6)的解具有如下形式

y1=A1(T2)p1eiω1T0+A2(T2)p2eiω2T0+c.c.,

(9)

其中：Aj(j=1,2)是復振幅，為時間尺度T2的函數；p1和p2是相應于特征值iω1和iω2的右特征向量；c.c. 表示前面各項的復共軛.將式(9)代入式(7),可求得式(7)的解為

(10)

其中zij是復系數.

將式(9)、(10)代入式(8),令長期項的系數為零,可得到A1和A2關于時間尺度T2導數的兩個方程.應用左特征向量消去D2A1和D2A2的系數并吸收參數ε[13],可得

(11)

Cijk和Ciμμε是復系數.在式(11)中，A1和A2為復振幅，為了將式(11)轉化為實數振幅方程，通常將A1和A2設為極坐標形式.但是，在強共振條件下，如果將A1和A2設為極坐標形式，將會得到一個實振幅與相位變量耦合的三維系統，其平衡點將是非孤立的平衡點，平衡點的穩定性將無法研究.為了避免這種情況，將復振幅A1和A2設為一種混合形式(極坐標-笛卡爾形式)[13]，

(12)

將式(12)代入式(11),分離其實部和虛部,可得到一個振幅與相位解耦的三維實振幅方程，如下:

2　動力學行為分析

由前面的分析可知1∶3共振的振幅方程是由3個變量組成的三維系統，并且含有3個分岔參數.為了分

圖2　系統(1)在η1-η2平面內的動力學行為分類圖和相圖Fig.2　The classification of the dynamical behavior and phase portraits of system (1) in the plane of η1-η2

析共振點(η1c，η2c，η3c)附近的動力學行為，可以固定其中一個分岔參數，分析系統在二維參數平面上共振點附近的動力學行為.為此，固定參數η3，在η1-η2平面內對系統的動力學行為進行分類.根據實振幅方程的平衡點個數及每個平衡點穩定性的不同, 將平面η1-η2分為6個不同的區域，如圖2所示.在Ⅰ區中，其平凡平衡點E0(0,0)是穩定的平衡點，對應于原系統的原點.當參數進入Ⅱ區，一個穩定的單模態平衡點E1(a10,0)出現，而平凡平衡點E0(0,0)變為不穩定的平衡點.當參數進入Ⅲ區，一個不穩定的平衡點E2(0,a20)出現，而平衡點E1(a10,0)保持其穩定性，平衡點E0(0,0)仍然是不穩定的.在Ⅳ區，一個新的不穩定的雙模態平衡點E3(a12,a22)產生，而平衡點E1(a10,0)和E2(0,a20)是穩定的平衡點.在Ⅴ區，雙模態平衡點E3(a12,a22)消失，平衡點E1(a10,0)失穩，平衡點E2(0,a20)仍然是穩定的.在Ⅵ區，平衡點E2(0,a20)保持穩定性，平衡點E1(a10,0)消失.其中單模態平衡點E1(a10,0)和E2(0,a20)分別相應于原系統頻率為ω1和ω2的周期解，雙模態平衡點E3(a12,a22)則相應于原系統的一個概周期解.

為了驗證理論分析的正確性，對原系統進行數值模擬，模擬的結果如圖3～圖8所示.可以發現，當參數在共振點附近變化時，系統出現兩個不同頻率的周期解，其頻率比值接近1∶3.同時在分類圖的Ⅳ區，兩個不同頻率的周期解同時出現，系統出現雙穩態現象.

圖3　Ⅰ區內穩定平衡點的相圖和時間歷程圖Fig.3　Phase portrait and time history of the stable equilibrium in region Ⅰ

圖4　Ⅱ區內周期解的相圖和時間歷程圖Fig.4　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅱ

圖5　Ⅲ區周期解的相圖和時間歷程圖Fig.5　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅲ

圖6　Ⅳ區內雙穩態的相圖和時間歷程圖Fig.6　Phase portrait and time history of the bi-stable state in region Ⅳ

圖7　Ⅴ區內周期解的相圖和時間歷程圖Fig.7　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅴ

圖8　Ⅵ區內周期解的相圖和時間歷程圖Fig.8　Phase portrait and time history of periodic solution in region Ⅵ

3　總結

本文研究了一個電路振子模型中發生的1∶3共振雙Hopf分岔，通過應用改進的多尺度方法得到了該1∶3共振的規范型方程，進而分析其共振點附近的動力學行為，發現了周期解、雙穩態等動力學現象，并通過數值模擬驗證了結果的正確性.本文在揭示電路振子系統動力學現象的同時，應用了一種研究1∶3共振的新方法，該方法通過應用多尺度方法的過程，并將1∶3共振的復振幅設為一種混合形式，可以得到1∶3共振實振幅系統，從而能夠研究共振點附近的動力學行為.

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(責任編輯：方惠敏)

Analysis of 1∶3 Resonant Double Hopf Bifurcation by Using the Method of Multiple Scales

WANG Wanyong1，CHEN Lijuan1，GUO Jing2

(1.CollegeofScience,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China； 2.DepartmentofPublicTeaching,ZhengzhouRailwayVocationalandTechnicalCollege,Zhengzhou450052,China)

The dynamical behavior near a 1∶3 resonance of an electric oscillator was investigated. By using the method of multiple scale, the complex amplitude equations of the system were obtained. Then a three dimension real amplitude system in which the amplitudes decouple from the phases was given. Analyzing the number of equilibrium and its stability of the real amplitude equation, the dynamical behavior around the resonant point was classified. Some interesting dynamical phenomenon were found, for example,the bistability. Numerical simulations for justifying the theoretical analysis were also provided.

electric oscillator; 1∶3 resonance; the method of multiple scale; bifurcation

2016-03-06

國家自然科學基金資助項目(11302072)；河南省科技廳資助項目(112300410194)；河南教育廳資助項目(12B120004)；鄭州市科技局資助項目(20141391)．

王萬永(1982—)，男，河南南陽人，講師，主要從事非線性動力學研究，E-mail: wangwanyong630@163.com．

O175.1

A

1671-6841(2016)03-0023-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016053

引用本文：王萬永，陳麗娟，郭靜．基于多尺度方法的1∶3共振雙Hopf分岔分析[J] ．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(3)：23-27．