有序Banach空間中二階時滯微分方程正周期解的存在性

呂　娜

(長春理工大學(xué)光電信息學(xué)院　吉林 長春 130012)

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有序Banach空間中二階時滯微分方程正周期解的存在性

呂娜

(長春理工大學(xué)光電信息學(xué)院吉林 長春 130012)

研究了有序Banach空間E中二階多時滯微分方程-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R,正ω-周期解的存在性, 其中:a∈C(R) 是正的ω-周期函數(shù);f:R×Kn→K連續(xù)且f(t,v) 關(guān)于t為ω-周期函數(shù);v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn;K為正元錐;τi≥0,i=1,2,…n為常數(shù). 在較一般的非緊性測度條件與有序條件下, 應(yīng)用凝聚映射的不動點指數(shù)理論, 獲得了該問題正ω-周期解的存在性結(jié)果.

Banach空間; 正周期解; 時滯; 凝聚映射

0　引言

設(shè)E為有序的Banach空間, 正元錐K為正規(guī)錐, 正規(guī)常數(shù)為N. 本文討論E中二階多時滯微分方程

-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R

(1)

隨著二階時滯微分方程在實際生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用, 很多學(xué)者對二階時滯微分方程周期解的存在性進(jìn)行了研究[1-8]. 由于無限維空間與有限維空間的本質(zhì)差異, 普通常微分方程的許多結(jié)論在Banach空間中不再成立. 因此, 研究Banach空間中常微分方程解的存在性是非常有必要的. 2010年, 文獻(xiàn)[9]運用凝聚映射的不動點指數(shù)理論在有序Banach空間中研究了二階方程

-u″(t)+au(t)=f(t,u(t)),t∈R.

(2)

文獻(xiàn)[6]又運用錐映射的不動點指數(shù)理論在實數(shù)空間中研究了二階多時滯微分方程, 并且在實數(shù)空間中獲得了該方程正周期解的存在性.本文將通過構(gòu)造一個特殊的錐, 在 Banach空間E中運用凝聚錐映射的不動點指數(shù)理論研究方程正ω-周期解的存在性.

1　預(yù)備知識

非線性微分方程與其對應(yīng)的線性微分方程密切相關(guān), 首先討論Banach空間E中線性微分方程

-u″(t)+a(t)u(t)=h(t),t∈R,

(3)

其中：a(t)∈Cω(R)是正的ω-周期函數(shù)；h(t)∈Cω(R,E).

先考慮E中的二階常系數(shù)線性微分方程

-u″(t)+Mu(t)=h(t),t∈R,

(4)

對?h(t)∈Cω(R,E), 方程 (4) 有唯一的ω-周期解

(5)

其中:

(6)

是純量二階微分方程邊值問題

(7)

的唯一解, 且Φ(t)滿足

下面考慮Banach空間E中的二階變系數(shù)線性微分方程的周期解.借助于引理1, 討論方程 (3) 的解.

證明將方程 (3) 改寫為

-u″(t)+Mu(t)=(M-a(t))u(t)+h(t),t∈R,

(8)

定義線性算子B:Cω(R,E)→Cω(R,E)如下

Bu(t)=(M-a(t))u(t),t∈R,

(9)

B為線性有界算子, ‖B‖≤M-m.方程(8) ( 或方程(4) )的ω-周期解問題等價于Banach空間中的算子方程(I-T°B)u=Th這里T為(5)定義. 因此

(10)

由單位算子的擾動定理可知,I-T°B有有界逆算子, 滿足

(11)

于是對?h∈Cω(R,E), 方程 (3) 有唯一的ω-周期解

u=(I-T°B)-1Th∶=Sh.

(12)

由引理1和式(11) 可得

(13)

當(dāng)E為有序Banach空間時,S為正的線性算子. 事實上, 對任意的h∈Cω(R,E), 由算子T,B的正性及S定義有

于是方程 (3) 的周期解算子S為正的線性算子.

定義映射F:Cω(R,E)→Cω(R,E) 如下

F(u)(t)=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R,u∈Cω(R,E),

(14)

由f的連續(xù)性知道,F:Cω(R,E)→Cω(R,E)連續(xù). 定義算子

A=S°F,

(15)

則A:Cω(R,E)→Cω(R,E)連續(xù), 且對任意的t∈R及u∈Cω(R,E), 有

(16)

由引理2可知, 方程 (1) 的ω-正周期解等價于A的非零不動點.

Banach空間中常微分方程與普通常微分方程的最大差異是把微分方程轉(zhuǎn)化為等價的積分方程后, 相應(yīng)的積分算子不再具有緊性, 為了對該積分算子應(yīng)用凝聚映射的不動點定理,除了假設(shè)非線性項f連續(xù)外, 還需要假設(shè)f滿足如下的非緊性測度條件:

證明A:Cω(R,E)→Cω(R,E)凝聚.引進(jìn)非緊性測度的一些有關(guān)結(jié)果. 以下E與Cω(R,E)中有界集的Kuratowski非緊性測度均用α(·)表示. 設(shè)J=[a,b], 對?D?C(J,E)和t∈R, 令D(t)={u(t)|u∈D}?E, 如果D在Cω(R,E)中有界, 則D(t)在E中有界且α(D(t))≤α(D).

引理3[11]設(shè)E是Banach空間,D?C(J,E) 有界且等度連續(xù), 則α(D(t))在J上連續(xù), 且

引理4[12]設(shè)E是Banach 空間, 若D={un}?C(J,E) 為可列集, 則α(D(t))在J上可積, 且

引理5假設(shè) (H0) 成立, 則由式(15)定義的算子A:Cω(R,E)→Cω(R,E) 凝聚.

故A:Cω(R,E)→Cω(R,E) 凝聚. 證畢.

(17)

引理6A(Cω(R,K))?P.

證明對?u∈Cω(R,K), 由算子A的定義可知,Au=S(F(u))=(I-T°B)-1T(F(u)),這里, (I-T°B)-1為Cω(R,E)中的正線性算子. 易見

因此, 當(dāng)f(R×Kn)?K時,A:P→P為凝聚錐映射, 方程 (1) 的正ω-周期解等價于算子A在錐P中的非零不動點. 下面將運用凝聚錐映射的不動點指數(shù)理論尋找A的非零不動點. 凝聚映射的不動點指數(shù)概念與基本性質(zhì)參見文獻(xiàn) [4,8]. 下面介紹本文用到的關(guān)于凝聚映射的兩個重要性質(zhì).

2　主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)E為有序Banach空間, 其正元錐K為正規(guī)錐,f:R×Kn→K連續(xù), 滿足假設(shè)條件 (H0). 若f滿足如下條件:

(H1) 存在正常數(shù)b1,…,bn及δ>0, 使得對?t∈R,xi∈K,‖xi‖≤δ,i=1,2,…,n,當(dāng)b1+b2+…+bn

(H2) 存在正常數(shù)c1,…,cn及H, 使得對?t∈R,xi∈K,‖xi‖≥H,i=1,2,…,n, 當(dāng)c1+c2+…+cn>M時, 有f(t,x1,x2,…,xn)≥c1x1+c2x2+…+cnxn.則時滯微分方程 (1) 至少存在一個正ω-周期解.

定理2設(shè)E為有序Banach空間, 其正元錐K為正規(guī)錐,f:R×Kn→K連續(xù), 滿足假設(shè)條件 (H0). 若f滿足如下條件:

(H3) 存在正常數(shù)c1,…,cn及δ>0, 使得對?t∈R,xi∈K,‖xi‖≤δ,i=1,2,…,n, 當(dāng)c1+c2+…+cn>M時, 有f(t,x1,x2,…,xn)≥c1x1+c2x2+…+cnxn;

(H4) 存在正常數(shù)b1,…,bn及H, 使得對?t∈R,xi∈K,‖xi‖≥H,i=1,2,…,n, 當(dāng)b1+b2+…+bn

定理1的證明下面只需證明在Cω(R,K)中由(15)式定義的凝聚錐映射A:P→P存在非零不動點.設(shè)0

Ω1={u·Cω(R,K)︱‖u‖

(18)

u≠λAu;?u∈P∩?Ω1;0<λ≤1.

(19)

反設(shè)(19)式不成立,那么存在u0∈P∩?Ω1及0<λ0≤1,使得

u0=λ0Au0.

(20)

由算子A的定義，u0為微分方程

-u0″(t)+a(t)u0(t)=λ0f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn)),t∈R

(21)

的ω-周期解.因為u0∈P∩?Ω1,由錐P及Ω1的定義，可得

0≤‖u0(t-τi)‖≤‖u0‖c=r<δ,i=1,2,…,n,t∈R.

(22)

于是

f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn))≤b1u0(t-τ1)+…+bnu0(t-τn),t∈R.

(23)

式(23)再結(jié)合 (21) 式，得-u0″(t)+a(t)u0(t)≤b1u0(t-τ1)+…+bnu0(t-τn),t∈R.不等式兩邊在[0,ω]上積分

因此可以得到

i(A,P∩Ω1,P)=1.

(24)

u-Au≠μv0, ?u∈P∩?Ω2,μ≥0.

(25)

假設(shè)u0∈P∩?Ω2及μ0≥0,使得u0-Au0=μ0v0，則Au0=u0-μ0v0. 按A的定義,u0滿足下列時滯微分方程

-u0″(t)+a(t)(u0(t)-μ0v0(t))=λ0f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn)),t∈R.

(26)

由P的正規(guī)性，N‖u0(t-τi)‖≥σ‖u0(τ)‖, 于是

(27)

由(27)式和條件 (H2),有f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn))≥c1u0(t-τ1)+…+cnu0(t-τn),t∈R.

再結(jié)合(26)式，知-u″(t)+a(t)(u0(t)-μ0v0(t))≥c1u0(t-τ1)+…+cnu0(t-τn),t∈R.上式兩邊在[0,ω]上積分,

因此可得

即有

i(A,P∩Ω2,P)=0.

(28)

u-Au≠μv0, ?u∈P∩?Ω1,μ≥0.

(29)

事實上,若(29)式不成立,則存在u0∈P∩?Ω1及μ≥0,使得u0-Au0=μ0v0.于是u0滿足時滯微分方程(26). 因為u0∈P∩?Ω1,由錐P及Ω1的定義,可知u0滿足(22)式.由方程(26)及條件(H3)可知

f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn))≥c1u0(t-τ1)+…+cnu0(t-τn),t∈R.

再結(jié)合方程(26),即得

-u″(t)+a(t)(u0(t)-μ0v0(t))≥c1u0(t-τ1)+…+cnu0(t-τn),t∈R.

上式兩邊在[0，ω]上積分,可得

因此可得

即有

i(A,P∩Ω1,P)=0.

(30)

u≠λAu, ?u∈P∩?Ω2, 0<λ≤1.

(31)

假設(shè)(31)式不成立，那么存在u0∈P∩?Ω2及 0<λ0≤1，使得u0=λ0Au0.于是由算子A的定義可知,u0滿足微分方程(21).由錐P的正規(guī)性,可知u0滿足(27)式,結(jié)合條件(H4)可知

f(t,u0(t-τ1),…,u0(t-τn))≤b1u0(t-τ1)+…+bnu0(t-τn),t∈R.

再結(jié)合(21)式,知

-u0″(t)+a(t)u0(t)≤b1u0(t-τ1)+…+bnu0(t-τn),t∈R.

上式兩邊在[0,ω]上積分,

因此可以得到

i(A,P∩Ω2,P)=1.

(32)

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Existence of Positive Periodic Solution for Second Order Differential Equation with Delays in Ordered Banach Spaces

LYU Na

(CollegeofOpticalAndElectronicalInformationChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130012,China)

Existence of positiveω-periodic solution was studied for second order differential equation with delays in ordered Banach spaceE-u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),…,u(t-τn)),t∈R, wherea∈C(R) was a positiveω-periodic function,f:R×Kn→Kwas a continuous function, andf(t,v) wasω-periodic int,v=(ν1,ν2,…,νn)∈Kn,Kwas the positive cone,τi≥0,i=1,2,…nwere constants. Under more general conditions of noncompactness measure and semi-ordering, the existence results of positiveω-periodic solutions were obtained by applying the fixed point fixed theory of condensing mapping.

Banach spaces; positive periodic solution; delay; condensing mapping

2016-03-18

呂娜(1981—), 女, 吉林長春人, 講師, 主要從事常微分方程的研究, E-mail: nalv1981@sina.com.

O175.15; O177.91

A

1671-6841(2016)03-0016-07

10.13705/j.issn.1671-6841.2016058

引用本文:呂娜．有序Banach空間中二階時滯微分方程正周期解的存在性[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016，48(3)：16-22．