具有飛沫和直接接觸感染的傳染病模型分析

武文江，　賈建文

(山西師范大學 數學與計算機科學學院　山西 臨汾 041004)

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具有飛沫和直接接觸感染的傳染病模型分析

武文江，賈建文

(山西師范大學 數學與計算機科學學院山西 臨汾 041004)

考慮由飛沫傳染和直接接觸引發的傳染病, 建立了具有非線性接觸率和非線性治愈率的脈沖時滯SIRS傳染病模型.定義了兩個正數R1和R2, 并且證明了當R1<1時,系統的無病周期解是全局吸引的，當R2>1時系統持久.最后利用數值模擬驗證了主要結論.

飛沫傳染; 脈沖接種; 滅絕; 持久

0　引言

近年來,大量的數學模型被用于分析各種各樣的傳染病問題[1].飛沫是指病原體從患者或帶菌者的呼吸道中隨著咳嗽、打噴嚏時噴出的唾沫而傳染給周圍的個體.許多兒童疾病的感染(如: 麻疹流行性腮腺炎, 風疹, 白喉等)都是通過飛沫傳染和直接接觸引發的[2].對易感者實施免疫接種是預防傳染病的重要策略,因此脈沖接種備受許多學者的關注[3-5].當分析的模型中有非線性發生率時, 流行病模型的動力學性態更為復雜[2-3,6-7].另一個影響疾病傳播的重要因素是醫療條件,考慮到醫療資源的有限性, 非線性治療函數已被一些學者所采用[4,8].

(1)

其中：S(t)、I(t)、R(t)、P(t)分別表示t時刻易感者、染病者、恢復者、染病者的飛沫中所帶病菌的數量；Λ是人口常數輸入率;μ是自然死亡率; β1是易感者和空氣中飛沫的接觸率;β2是易感者和染病者的接觸率;d為因病死亡率;α是免疫失效率;τ是疾病的感染期限;r是每個單位時間內可利用的最大醫療資源；w是半飽和常數;η是染病者通過飛沫感染的概率;δ是染病者產生飛沫中所帶病菌的自然死亡率;θ是在t=T,2T,3T…時刻接種成功率;e-μτ是個體在易感期存活的概率.這里所有的常數均為正數.假設η>d且μ>η-d,即染病者的自然死亡率和因病死亡率的和大于個體由空氣中的飛沫引起的感染率.

引理1[9]考慮下面的脈沖微分系統:

(2)

1　無病周期解的全局吸引性

(3)

考慮脈沖微分比較系統

(4)

(5)

考慮比較系統

(6)

由脈沖微分方程比較定理知:?k5T>k4T+τ, 有

(7)

2　持久性

定理2若R2>1成立,那么存在正常數m,使得系統(1)具有正初值條件下的任意解(S(t),I(t),R(t),P(t))對充分大的t都滿足I(t)+P(t)≥m.

證明令D(t)=I(t)+P(t), 則

考慮脈沖微分比較系統

(8)

則由引理1知,系統(8)唯一的正T周期解

所以矛盾. 故對?t≥t1, 不可能都有D(t)

(i)當t充分大時,D(t)≥D*, 此時結論已經成立；

通過相同的討論可以得到對任意的t*+τ

定理3若R2>1, 系統(1)是持久的.

證明知道：

考慮脈沖微分比較系統

(9)

3　數值模擬

為驗證本文的理論結果,下面給出一些數值模擬.取初值S(0)=0.39，I(0)=0.2，R(0)=0.5，P(0)=0.1.

例1取Λ=0.1，μ=0.2，β1=0.13，q=2，d=0.001，r=15，β2=0.12，α=0.02，w=30，e=2.718，τ=0.1，η=0.03，δ=0.07，T=5，θ=0.8.通過計算得R1=0.190 4<1.由定理1知,系統(1)的無病周期解全局吸引(圖1).

例2取Λ=0.6，μ=0.2，β1=0.96，q=2，d=0.001，r=1，β2=0.95，α=0.02，w=30，e=2.718，τ=0.1，η=0.099，δ=0.09，T=5，θ=0.8. 通過計算得R2=1.156 2>1.由定理3知,系統(1)是持久的(圖2).

例3取δ=0.01,其他參數與例1相同. 計算可得R1=1.630 0>1且R2=0.000 9<1.此時定理1的條件不滿足,但系統(1)的無病周期解仍是全局吸引(圖3).

例4取r=2, 其他參數與例2相同.計算可得R1=1.153 4>1且R2=0.925 1<1.此時定理3的條件不滿足, 但系統(1)仍是持久的(圖4).

圖1　系統(1)例1時無病周期解全局吸引Fig.1　The infection-free periodic solution is attractive in example 1

圖2　系統(1)例2時是持久的Fig.2　The system one is permanent in example 2

圖3　系統(1)例3時無病周期解全局吸引Fig.3　The infection-free periodic solution is attractive in example 3

圖4　系統(1)例4時是持久的Fig.4　The system one is permanent in example 4

4　結論

本文考慮由飛沫和直接接觸引發的傳染病,建立了具有非線性接觸率和非線性治愈率的脈沖時滯SIRS模型.運用脈沖微分方程的理論和分析方法,證明了,如果正數R1<1,那么無病周期解是全局吸引的,其流行病學意義是這種疾病最終消除；如果正數R2>1,那么系統持久,即疾病將流行.但當R2≤1≤R1,流行病的動力學行為還不清楚,這將是我們進一步研究的課題.

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(責任編輯：方惠敏)

Analysis of an Epidemic Model through Droplet Infection and Direct Contact

WU Wenjiang,JIA Jianwen

(SchoolofMathematicsandComputerScience,ShanxiNormalUniversity,Linfen041004,China)

A disease spreaded by droplet infection and direct contact was considered.And a delayed epidemic model was established with pulse vaccination and nonlinear transmission nonlinear cure rate.Two positive numbersR1andR2were defined. It was proved that there was an infection-free periodic solution which was globally attractive ifR1<1and the disease was permanent ifR2>1. Finally, numerical simulations were presented to support our main results.

droplet infection; pulse vaccination; extinction; permanence

2016-02-16

山西省自然科學基金資助項目(2013011002-2)

武文江(1990—),女，山西呂梁人,碩士研究生,主要從事微分方程及其應用研究,E-mail:1546631697@qq.com；通訊作者:賈建文(1963—)男,山西運城人,教授,主要從事生物數學教學與研究,E-mail:jiajw.2008@163.com.

O175.12

A

1671-6841(2016)03-0010-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016040

引用本文：武文江,賈建文.具有飛沫和直接接觸感染的傳染病模型分析[J].鄭州大學學報(理學版)，2016,48(3):10-15.