某些奇異積分關(guān)于單位圓周攝動(dòng)的誤差估計(jì)

曾 喬

（三亞學(xué)院 理工學(xué)院，海南 三亞 572000）

某些奇異積分關(guān)于單位圓周攝動(dòng)的誤差估計(jì)

曾 喬

（三亞學(xué)院 理工學(xué)院，海南 三亞 572000）

為了得到帶根號(hào)的Riemann邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題關(guān)于邊界曲線攝動(dòng)的的穩(wěn)定性，因此本文討論了與之相對(duì)應(yīng)的一類奇異積分關(guān)于積分曲線攝動(dòng)的誤差估計(jì)。

帶根號(hào)Riemann邊值問(wèn)題；奇異積分；攝動(dòng)；誤差估計(jì)

0 引言

解析函數(shù)邊值問(wèn)題在奇異積分方程方面有廣泛的應(yīng)用，它們?cè)趶椥粤W(xué)、流體力學(xué)方面也有重要的應(yīng)用.在實(shí)際問(wèn)題中邊界曲線發(fā)生攝動(dòng)的情況經(jīng)常遇到的，比如空間的彈性基本問(wèn)題和平面的、空間的斷裂力學(xué)問(wèn)題.所以，不少學(xué)者在致力于邊值理論分析的同時(shí)，也考慮了將理論運(yùn)用到解決實(shí)際問(wèn)題中。因此，研究解析函數(shù)邊值問(wèn)題關(guān)于邊界曲線的穩(wěn)定性有很大的實(shí)際意義。

1 問(wèn)題的提出

設(shè)E 為復(fù)平面上的有界連通區(qū)域，L?E是一條單位圓周曲線（以逆時(shí)針為正），記C1（L）為L(zhǎng)上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)類，在其上定義范數(shù)，（ω∈C1（L）后為Banach空間.這里記.設(shè)ρ0＞0，記，L 經(jīng)過(guò)攝動(dòng)ω（t ）后得到.對(duì)于充分小的ρ0，若ω∈B（ρ0），則曲線Lω為簡(jiǎn)單光滑閉曲線，記D+（D-）為L(zhǎng)所圍的內(nèi)部（外部）區(qū)域，為L(zhǎng)ω所圍的內(nèi)部（外部）區(qū)域，并記。

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)aj2，，2，1，…= ∈+Dj m ，bj2，，2，1，…= ∈-Dj n ，記那么就有d=mindd（）1，2.設(shè)，滿足則當(dāng)時(shí)，有其中，任取t∈L 和1≤≤j2m ，線段的長(zhǎng)度以a為圓心以j作此圓周的切線，則此切線與線為半徑做圓周，過(guò)t段的一個(gè)夾角小于點(diǎn)aε也有一個(gè)夾角小于在此圓周的內(nèi)部，從而線段與線段aεj j，因?yàn)榫€段aεjaj的長(zhǎng)度，所以的單值連續(xù)分支，記a jθ（t）為t-aj的.由文獻(xiàn)［2］確定與輻角，θ（t為aεj）tε-a 的輻角，并滿足j通過(guò)θaεj（t加減）π 2的整數(shù)倍來(lái)實(shí)現(xiàn)，而這個(gè)倍數(shù)只與j 有關(guān)。我們有，這可以

證明： 任取ξL∈ω，則ξ+=tω）（t ，t∈L 。由于，Dd=，所以存在常數(shù)CΠ，這里不妨設(shè)CΠ＞1，使得

則由引理1可得

3 主要結(jié)果

定理3.1 設(shè)實(shí)值函數(shù)g （z）∈Hμ（E），這里ξ=t+ω（t ），ξ∈Lω， t∈L，則證明：. 考慮

則文獻(xiàn)［3］定理4可得

一方面，由推論1可得

這里，υ∈（10），是任意取定的數(shù)，利用上述兩方面的估計(jì)式可得

則

綜上所述

定理的結(jié)論得證。

［1］路見(jiàn)可.解析函數(shù)邊值問(wèn)題［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009：413-415.

［2］曾喬，林峰.一類奇異積分關(guān)于積分曲線攝動(dòng)的誤差估計(jì)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（01）.

［3］王小林m龔亞芳，一類奇異積分和Cauchy型積分關(guān)于積分曲線的穩(wěn)定性［J］，數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，42（02）：343-350.

10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.20.218

曾喬（1990-），女，海南海口人，碩士，助教，研究方向：函數(shù)論。