基于高考全國卷的立體幾何復習策略探究

馮艷玲齊　瑾謝定亮

（1.三明市第九中學，福建 三明 365001；2.三明第一中學，福建 三明 365001）

基于高考全國卷的立體幾何復習策略探究

馮艷玲1齊瑾1謝定亮2

（1.三明市第九中學，福建 三明 365001；2.三明第一中學，福建 三明 365001）

立體幾何是高考中的主要考查內容之一。文章從對福建卷和全國卷關于立體幾何在考綱要求、考點分布、試題特點等方面的差異的比較，從而在基于高考全國卷的基礎上探究立體幾何的有關復習策略。

立體幾何；福建卷；全國卷；復習策略

2016年福建省高考將采用全國統一命題試卷，對新高考，教師必須認真研究全國教學大綱、考試說明。加強對近年高考試題的研究，既要對全國新課標試題進行縱向比較，也要與福建省近年的高考數學試卷進行橫向對比，尋共性，找差異，反思熱點問題，調整復習策略，使高考復習更具有實效性。

一、基于宏觀層面上的全國卷與福建卷的異同比較

（一）相同點

關注基礎知識、技能與基本思想方法的考查；強調能力立意，突出對數學學科能力的考查；考點設置基本相同，重點考查六大主干知識；不過分追求“新”“異”，著重在數學學科本質。

（二）兩卷差異

1.試卷特點。全國卷每年的高考數學試卷“既全面又突出重點，綜合考慮學科整體高度以及思維價值，基于知識的交匯處設計試題，依托數學知識深刻考查數學思想方法，命題立足于能力立意，加強試題的基礎性，全方位考查綜合數學素養”。福建卷保留了課改以來“注重考查數學基礎知識、基本技能和基本思想方法的命題特色和優點，試卷知識覆蓋面廣，各模塊的考查權重合理，重點突出，以基礎知識為依托，全面考查了考生的數學能力和數學思想方法”。

2.題型、題量對比。全國卷文、理科試卷結構一樣，都是12道選擇題、4道填空題、5道必做的解答題、1道選做題（3選1）。福建卷文、理科的題量不同，且文科沒有選考題，理科選做題（3選2）。全國卷文理科兩份試卷的相同考點，基本上是相對應的，只是題序上的變化；理科的卷（Ⅰ）（Ⅱ），文科的卷（Ⅰ）（Ⅱ），相同的考點也基本上是相對應的，只是題序的變化，據此可以看出全國卷每年的四份卷子之間是有一定的內在聯系。

3.信度、效度、難度、區分度對比。高考在信度、效度、難度、區分度等方面的要求，決定了高考數學試題要有必要的長度（很多學生做不完），適當的難度（有些學生不會做），一定的區分度（甄別不同思維層次考生）等，以保證高考的客觀、公平、公正，有利于高校選拔具有學習潛力的優秀生。全國卷試題難點分散，中等題較多，容易題較少，難題不怪，試卷的思維量更大；而福建卷難點也有分散，但中等題較少，容易題較多，難題“劍走偏鋒”。由此產生的實測結果可能會是兩種截然不同的情況：全國卷的考生，分數的分布會比較分散，對數學能力不同的考生，會真正起到甄別區分的作用，對優生有利，對中等生可接受，對差生無話可說。福建卷的考生，分數相對會比較集中，對極少部分的優生有利，中等生不能體現數學的優勢，差生的分數相對不會很低。

二、基于微觀層面上的全國卷與福建卷的異同比較

在實行全國卷的基礎上，基于對全國卷和福建卷在立體幾何內容的對比，尋找二者之間的差異與共同點，尋找契合學校實際情況的復習策略尤為重要。以下從三個方面進行探究：

（一）考綱要求

表1　考綱差異（理科）

（二）考點分布

縱觀2011-2015年全國新課標Ⅰ卷高考試題，對立體幾何部分的考查主要集中在以下幾個熱點問題：

1.突出三視圖問題的考查。全國新課標卷每年都考查三視圖問題，從考查形式來看，以選擇題、填空題為主對有關三視圖試題進行分析，可以感受到全國新課標卷對空間想象能力的考查比福建卷要求更高。從全國新課標卷來看，這部分內容主要考查以下兩個方面的內容：一是幾何體三視圖的識別與判斷；二是簡單幾何體（包括簡易組合體）的三視圖與幾何體的表面積、體積的求解問題。（例2014高考課標Ⅰ理12）

2.突出球類問題的考查。球作為優美幾何體的典型代表，在新課標全國卷中屢屢出現。近5年來，全國新課標Ⅰ卷只有2014年沒有考查球的問題，其他年份都考，而福建卷很少涉及在以球為載體的問題中：一是考查球的表面積、體積及距離等基本量的計算；二是考查球與多面體的相切接，較好地考查了學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。（例2014高考課標Ⅰ文16）

3.注重對平行、垂直特別是垂直關系的考查全國新課標Ⅰ卷文理科解答題將垂直關系作為考查的重點近5年來，全國新課標Ⅰ卷在解答題中都考查垂直關系，未涉及平行問題，且5年中有3年都考查了直線與直線垂直的判定全國新課標Ⅱ卷常考查平行問題。（例2013高考課標Ⅰ理18）

4.突出對空間角的考查。新課標卷對立體幾何解答題的考查，一般分成兩部分，第一部分重點考察了空間點、線、面的位置關系，第二部分重點考察空間角的計算問題；對空間角問題，全國新課標Ⅰ卷特別青睞二面角的考查，2011-2015五年中有三年都考查了二面角問題。全國新課標卷的立體幾何解答題基本上是設計“兩問”，且設問比較直接，而福建卷常設計成探究性試題，并且常有層次分明的“三問”設計。

例1（2012高考課標Ⅰ理19）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1， D是棱AA1的中點，DC1⊥BD

（1）證明：DC1⊥BC（2）求二面角A1-BD-C1的大小

例2（2012年福建卷理18）

如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD中點。

（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上能否存在一點P，從而DP∥平面B1AE？如果存在，求AP的長；如果不存在，請說明理由

（Ⅲ）如果二面角A-B1A-A1的平面角大小為30°，求AB的長

此外，全國卷和福建卷在立體幾何條件的表述上存在一定的差異：全國卷經常出現“直棱柱、正棱柱、正棱錐”等概念，而福建卷從未涉及這些概念。

（三）試題特點

全國新課標卷將立體幾何學科知識和能力融為一體，堅持推陳出新，從不同角度詮釋了立體幾何教學的價值取向，形成了鮮明的立體幾何命題風格和試題特點。

對近5年全國新課標Ⅰ卷和福建卷考點進行比較分析，不難發現，全國新課標卷對立體幾何內容的考查具有如下特點：

1.結構穩定，難度適中。近5年來，全國新課標Ⅰ卷在題量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的試題都是“兩小一大”，分值22分；在考查兩個小題的年份，文理科至少都有一個小題相同；解答題位置都在第18題或第19題，文理科試題大都成姊妹題，難度比較穩定。

福建卷題量一般是“一小一大”，分值在17分左右，但難度波動較大，例如2011年理科卷立體幾何位置在第20題，2013年理科卷立體幾何位置在第19題，而2014年和2015年理科卷立體幾何位置都在第17題。

2.貼近教材，推陳出新。全國新課標卷的命題始終堅持“立意時處于幾何直觀，設計時貼近教材”的特點，涌現了一批來源于教材，又高于課本，畫龍點睛，寓意升華的立體幾何好題［1］。近幾年全國新課標卷的一些立體幾何試題，其解題思路、思想方法都可以在教材中找到“影子”，這既是課本基礎知識、典型例題和習題的提煉、類比、升華、縱向延伸、橫向拓展的結果，也展現了教材良好的示范作用。

于教材的“藍本”高考試題，讓考生感到熟悉親切，很好地凸顯了以教材為核心的導向作用，激發學生對教材知識的學習熱情例人教A版2-1第109頁例4的四棱錐模型是立體幾何解答題的經典模型，2010年、2011年、2014年高考全國新課標卷立體幾何解答題就以此背景命制。

教材作為“藍本”的高考試題，讓考生感到熟悉親切，很好地凸顯了以教材為核心的導向作用，激發學生對教材知識的學習熱情。

3.能力立意，彰顯選拔。全國新課標卷立體幾何試題以知識為載體，以能力立意為目標在《全國考試大綱》中列舉的幾種能力，如抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力、數據處理能力和應用與創新意識等在立體幾何中都得到了很好的體現，其中側重考查了空間想象能力、推理論證能力與運算求解能力［2］。

4.關注數學文化，適度創新。全國新課標卷立體幾何試題體現了“大穩定、小創新”的設計理念，強調數學的應用意識，關注對考生文化素養的考查，體現數學史在教材中的重要作用。

例3（2015全國新課標Ⅰ卷理6）《九章算術》是中國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

本題通過《九章算術》中的經典問題，考查考生對圓錐的體積計算，考查考生的閱讀能力。在考查基礎的同時，適度創新，題目新穎難度不大，給考生發揮自己的真實數學水平提供了很好的平臺，可引導學生形成良好的數學文化素養。

三、基于全國卷的立體幾何復習策略探究

立體幾何是考查空間想象能力的重要載體，涉及的問題包括識圖與畫圖、證明與計算等正所謂茅檐長掃凈無苔，花木成畦手自栽，一水護田將綠繞，兩山排闥送青來因此，在高三復習教學中，教師必須先找準“出發點”——立足考綱，了解命題特點，再努力嘗試占領“制高點”——決勝高考。

（一）把握考試要求，了解命題特點，提高備考實效性

吃透考綱，明確復習方向《全國考試大綱》《全國考試說明》是指導高考命題與復習教學的權威性文件，要認真研讀、仔細推敲，準確把握定位和要求，做到四點：掌握各部分考查的知識點；清晰各知識點的要求層次；明了哪些知識是重點要求的；提升其中蘊含的數學思想、數學能力及其考查要求。

了解命題特點，找準復習“效”度有效的復習教學不僅要弄清高考考什么，還要明確怎么考，因此必須對近年來的全國新課標卷進行研究。通過研究，幫助教師了解立體幾何的命題特點，有效指導立體幾何教學中“度”的把握，提高復習教學的針對性和實效性

文理科通用的考點中，要重點復習的內容有：簡單幾何體的三視圖與直觀圖；簡單幾何體的表面積與體積的計算；線線、線面、面面平行和垂直的判定與性質。

理科選修內容要重點復習用空間向量證明平行與垂直關系、計算各類角等問題，還應兼顧“一題兩法”，形成基本技能。

（二）立足基礎，熟練掌握基本解法

“授人以魚，不如授之以漁。”傳授學生如何尋找解決問題的方法是復習過程中的重中之重，通性通法的意義在于對于某些具有規律性和普遍性的常規解題模式以及常見的數學思想方法的進行總結，是解決問題的基本方法，是學生著重掌握的方法［3］。

教師要按 《全國考試大綱》《全國高考考試說明》對立體幾何內容的要求，從知識的內在聯系出發，引導學生將立體幾何知識點串聯起來，促進知識的系統化、條理化、綜合化，提高學生靈活運用有關知識分析問題、解決問題的能力。

（三）激活課本，用足教材

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，教材是思想之基，方法之源，問題之本，思維之花。

立體幾何復習要實現學生知識的系統化，思想和方法的強化，能力的提高，光靠利用教輔資料進行題海強化是不夠的，必須緊扣教材這一“基和源”。

首先，要準確理解教材，要上升到思想和方法的角度審視教材，對教材中所講的基本知識、基本方法、例題和習題，要認真研究，準確把握。

其次，應通過對課本例習題的變式、拓展，挖掘教材例（習）題的潛在功能，從中提煉相應的思想方法，準確把握立體幾何的本源和本質，提高復習效益。

在復習過程中，教師要引導學生著眼于最近發展區，對例題進行深入挖掘，加工改造，為學生創造帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮學生潛能，超越最近發展區達到更高發展區。

挖掘教材例（習）題的潛在功能通常包括：

1.一題多變、一題多解或多題歸一，進行哲理的升華；

2.反思命題的逆命題是否成立；

3.改變命題的條件與結論，增加或減少條件，觀察結論變化情況等。

總之，基于教材、研究教材、提煉教材，從學生的角度看教材，從高考的高度解析教材，提高對教材的認知水平，進而大幅提高復習有效性。

（四）突出轉化與化歸思想的運用

轉化與化歸思想就是在研究和解決數學問題是采用某種方式，借助某種函數、公式等將未知的問題轉化為已知問題；將抽象的問題轉化為直觀問題；將復雜問題轉化為一個或幾個簡單問題，從而讓問題化繁為簡、化生為熟、化難為易。

化歸與轉化思想是立體幾何中處于中樞地位的數學思想包含了位置關系之間的轉化，例如面與面平行、線與面平行、線與線平行的相互轉化，面與面垂直、線與面垂直、線與線垂直的相互轉化等等；以及三維向二維的轉化，例如空間角化為平面角，空間距離化為平面距離，空間度量化為平面度量等等［4］。著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微簡言之孤數則不長，獨形則不生。”因此在解決立體幾何問題時，解題時都應該根據已知條件，通過想象對文字語言、符號語言轉化為圖形語言，從而得到圖形中相關幾何元素的位置以及數量關系，再進行適當的變換。

這一過程充分體現了數學語言的相互轉化，體現了數與形、形與形的相互轉化、相互滲透、交相輝映、相映成趣。

總之，在接下去的立體幾何復習中，只要教師堅持對“雙基”采取拉網式的復習與重點、難點突破相結合的方法，采取有目標、有層次、分梯度、巧思維的訓練，注重知識與方法的整合，注重提升能力的培養，強化數學思想，拓寬技巧與思維的道路，就能以不變應萬變，任憑風浪起，穩坐釣魚臺，從容應對高考。

［1］朱天斌.知識交匯處命題思維探究［J］.高中生學習：高三文科，2015（Z1）.

［2］袁春仙.透析大綱探究能力——立體幾何命題對高考能力要求的體現［J］.中學數學：高中版，2014（12）.

［3］陳元章，林新建.新課程數學高考復習的辯證之道［J］.數學通報，2013（7）.

［4］楊恩彬，柯躍海，陳清華.化歸與轉化思想的數學能力統領功能探析［J］.福建中學數學，2013（10）.

G420

A

1673-9884（2016）05-0058-04

2016-03-10

福建省教育科學規劃一般課題（FJCGJJ12-179），福建省教育科學“十二五”規劃2015年度一般課題（FJJK15-461）

馮艷玲（1985-），女，福建永安人，三明市第九中學二級教師。