應用拉格朗日中值定理逆向巧解數學問題
2016-10-21 15:04:59孫輝
儷人·教師版 2016年5期
孫輝
【摘要】隨著我國新課程改革的不斷貫徹和深入，在現階段的高中課本中，逐漸引入了近代和現代數學思想，同時加入了導數的基礎知識。因此，在高中數學中出現了很多相關數學模型，對高中學生的數學學習帶來一定困難。通過對應用拉格朗日中值定理逆向巧解數學問題進行研究分析，希望能夠為相關教育工作者提供一定的理論借鑒。
【關鍵詞】拉格朗日中值定理 逆向 數學問題
前言：拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，同時也是高中學生必須掌握的定理，對高中生解答數學題具有至關重要的作用。在如今的高考試題中，常會出現考察高中生運用數學思想方法解題的問題，對學生數學能力要求較高。因此，高中數學教師需要在課堂教學活動中，加強對拉格朗日中值定理知識的滲透，保證所有學生能夠扎實掌握此數學思想。
一、拉格朗日中值定理概述
如果函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導；那么在開區間（a，b）內至少有一點ε（a<ε 二、應用拉格朗日中值定理逆向巧解數學問題具體措施 在面對數學問題時，利用拉格朗日中值定理需要對問題詳細解讀，充分理順定量之間的限定條件，學生全面掌握拉格朗日中值定理概念的基礎上，對題目與定理之間的關系進行逆向思考，進而構建與問題有關聯的函數，最終實現問題的解答。 2.1極限問題的求解 在高中數學學習階段，有很多方法都能夠解答極限問題，比如說洛必達法則、夾逼定理、或者泰勒公式。上述方法在面對極限問題時，不僅僅便于高中生進行操作，同時解題思路較為清晰明了，能夠有效降低解題難度，有利于提升解題效果。但是，很多極限問題具有一定的困難性和復雜性，利用上述方法無法很好的解決。因此，可以選擇拉格朗日中值定理進行求解。利用拉格朗日中值定理，可以將求積式型的極限替代差式的極限，改變題目，使解答過程更加簡單。此外，面對求解極限問題時，必須充分找出極限問題與拉格朗日中值定理之間的關聯，準確找出連接點，進而使方程式簡化，以此實現問題的解決[2]。不僅于此，在具體計算階段，還需要確認極限式滿足拉格朗日中值定理的限定要求，避免出現解題錯誤的情況。 2.2不等式問題的求解 在高中數學不等式證明中，通常情況下進行函數的構建，以此明確導數與函數之間的關系，以此解答問題；使函數在某個限定條件下符合條件，進而實現不等式的證明。類似此種數學問題，很難利用初等函數進行求解，如果利用拉格朗日中值定理，能夠快速準確的求出答案。利用拉格朗日中值定理證明不等式、或者求解不等式時，僅僅需要根據條件構建滿足拉格朗日中值定理要求的函數即可，之后根據相應內容進行證明。 2.3證明問題的求解 在現階段的高等數學階段，普遍利用拉格朗日中值定理進行問題的證明。在問題的證明過程中，需要高中生能夠對拉格朗日中值定理的詳細內容做充分掌握，同時能夠利用逆向思維，使思考從題目轉回到定理中，根據具體問題，以此找出與拉格朗日中值定理相關的內容，進而將問題與定理合理聯系起來。在解答數學問題時，通過利用逆向思維，找出證明途徑，能夠使問題難度降低，更加利于學生解答。 例如：假設g（a）在[0，1]中可導，并且0 存在性的證明：可以假設函數f（a）=g（a）+a-1，那么f（a）在（0，1）范圍內可導。同時由于0 唯一性證明：可以假設f（a）=0，在（0，1）中，至少存在2個根a1a2，并且a1 2.4函數問題的求解 拉格朗日中值定理能夠有效經導數與函數進行相連，中值定理通過聯系起導數與函數之間的關系，可以進一步深入研究函數性質，對函數區間的連續性、單調性、凹凸性、以及符號全面解析，有利于學生在整體方面、局部方面掌握函數關系，拉格朗日中值定理是求解函數的主要方法。在面對函數問題時，同樣需要做好逆向分析。根據拉格朗日中值定理、以及所求證內容，以此分析函數求證之間的關系，并且確認兩者的一致性。有利于幫助學生準備而又快速的求證，簡化函數問題，提升解題效率。特別注意的是，必須構建出最有效、最直接的輔助函數。 總結：通過上述論述能夠看出，拉格朗日中值定理對高中生的數學學習影響深遠。在高中學習階段，學生不僅需要掌握基礎性的數學知識，以及解題技巧，同時能夠明確各知識之間的內在關聯，充分掌握拉格朗日中值定理，結合逆向思維，利用其正確解答和證明數學問題，進而提高自身的數學解題技巧，提高數學成績。 【參考文獻】： [1]劉彬.拉格朗日中值定理在高中數學中的應用[J].數學學習與研究：教研版，2014（9）：126-127. [2]尹遜波，吳勃英，白紅.拉格朗日中值定理在方程有根證明題中的應用[J].大學數學， 2015，31（2）：84-86. [3]王一棋.高觀點下的中學數學——拉格朗日中值定理在中學數學中的應用[J].數學教學通訊：中等教育，2013（33）：63-64.
