數學歸納法兩種教法下課堂效果對比

楊昉

數學歸納法是作為高中階段最重要的一種數學方法，蘊含了非常豐富的數學思想，而我們在教學中往往忽略了它所體現的數學本質，取而代之的是形式化的教學。在高中課程標準中明確指出：“在數學教學中，學習形式化的表達式一項基本的要求，但不能只局限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里。”所以，這就要求我們在教育教學中，凸顯出數學歸納法產生的背景，推導的過程以及結果的可信性，注重體現其數學本質，不能淺嘗輒止。

在教學中，我以兩種不同的教學策略分別對兩個學習層次相同的班級進行教學。并從課堂效果、學生反饋、作業反饋等幾個方面進行對比分析，談談本人對本堂課教學中如何提高課堂有效性的一些思考。

一、教學案例

案例1（授課班級：6班）

1、多米諾骨牌實驗

要使所有的多米諾骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？

（1）第一張牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一張牌倒下必須保證它的下一張牌倒下 （遞推作用）

于是可以獲得結論：多米諾骨牌會全部倒下。

2、歸納總結

數學歸納法證明步驟：

（1）驗證當 取第一個值 （如 =1或2時）命題正確。

（2）假設當 時 命題正確，證明 時命題也正確。

3、例題講解

例1、證明：

4.課堂反饋

練習：用數學歸納法證明：

5、課堂小結

（1）理解數學歸納法的原理

（2）數學歸納法的兩個步驟缺一不可，前者是基礎，后者是遞推依據，最終給出結論。

（3）數學歸納法主要應用于解決與正整數有關的數學問題。

案例2（授課班級：7班）

1、 設置問題，引起思考

在這一環節中，為了引起學生思考的積極性，我選取了教材中出現但又未證明的公式作為題目“ ”。

我先以合情推理的讓學生觀察下列等式，并進行歸納：

2、 通過類比，引出遞推思想

合情推理的結論不一定正確，我們怎樣證明這個等式呢？提出問題：“可否依次進行驗證”。讓學生自主驗證 等式的成立。在驗證過程中，學生通過比較 時等式的左邊，不難發現都有 這個項，自然想到利用“ ”來證明“ ”于是引導學生觀察以上過程就會發現： 時結論成立推出 時結論也成立， 時結論成立可以推出 時結論成立，以此類推，此時我們就可以把這個過程一般化，當 時結論成立推出 時結論也成立。

3、 總結歸納得出數學歸納法

數學歸納法證明步驟：

（1）驗證當 取第一個值 （如 =1或2時）命題正確。

（2）假設當 時 命題正確，證明 時命題也正確。

4、通過實例，理解數學歸納法

多米諾骨牌實驗

（1）驗證當 取第一個值 （如 =1或2時）命題正確。

類比骨牌：第一張牌被推倒 （奠基作用）

（2）假設當 時 命題正確，證明 時命題也正確。

類比骨牌：任意一張牌倒下必須保證它的下一張牌倒下 （遞推作用）

（3）等式成立。

類比骨牌：多米諾骨牌會全部倒下。

由多米諾骨牌加深對數學歸納法兩個步驟的理解，使學生對數學歸納法有更深刻、清晰、形象化的認識。

5、 例題講解

例 證明：

6、課堂反饋

練習：用數學歸納法證明：

7、課堂小結

（1）理解數學歸納法的原理

（2）數學歸納法的兩個步驟缺一不可，前者是基礎，后者是遞推依據，最終給出結論。

（3）數學歸納法主要應用于解決與正整數有關的數學問題。

二、對比反思

本節課的關鍵就是要求在教學過程中，學生學到的不僅僅是形式和抽象的理論，而是讓數學歸納法的思想真正的走人學生的心中。在案例1中，我引入多米諾骨牌，通過這一生活中的具體事例來引導學生類比得出數學歸納法公理。但數學家在發現數學歸納法過程中，并不是由生活中的某些特殊的現象通過觀察推理得來的，而是在解決一些具體的有關正整數的數學問題中，歸納推理得來的，而例如多米諾骨牌這類生活中的具體事例，只是教材在編寫的時候，為了更好的讓大家理解數學歸納法而提出的。因此我認為本節課的重點應放在數學歸納法以及代數問題本身，而不應該過多的去糾纏多米諾骨牌等實際問題。

在案例2中，為了尋求事物的一般規律，我們先考察一些特殊的實例，再通過不完全歸納形成猜想，然后再試圖用演繹推理對之進行證明。這也是世界上很多著名的數學問題的求解方法，這種方法對于學生思維的提高很有幫助。本案例中我們以：“由 時結論成立可以推出 時結論成立”歸納出一般的 “假設 時結論成立，則 時結論也成立”并且以此類推，讓學生充分體會到數學歸納法是用有限個步驟，能夠處理完無限個對象的方法。同時，也讓學生真正認識到了兩個步驟的實質：第一步驗證的意義是歸納奠基，只有在第一步成立的前提下第二步才有遞推的可行性；第二步是歸納遞推，由第二步形成的“證明的小循環”保證了這種數學關系成立的“永恒”性。

通過以上兩種不同的教法的課堂教學，可以明顯的感受到運用案例2中的教法，課堂教學效果較好，學生反應較為迅速，這也說明了學生對本堂課知識掌握更到位。學生通過對數學歸納法本質的理解，再以多米諾骨牌這一實例加以辨析和輔助記憶，使學生更好的理解了數學歸納法，同時也保證了數學歸納法本身的主體性。

對比兩堂課的教學反饋，不難看出，案例1的教學方法更能調動學生學習的積極性，但是教學效果相對較差；案例2中的教學方法，讓學生更清晰的認識理解所學習的知識，教學效果良好，使課堂得以高效的進行。

在數學的教學過程中，與生活聯系是必要的，但是要凸顯出知識的本質還得依靠數學本身。因此在這兩堂教法不同的課上，我傾向于案例2中的教法。我們不能只追求課堂的趣味性，更應努力最求課堂的高效性。只有這樣才能使學生的知識、能力、素質得到最大限度的發展。