多視角計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率

摘要：駱竹梅副教授在《財(cái)會(huì)月刊》發(fā)表的《數(shù)學(xué)視角下內(nèi)含報(bào)酬率的測(cè)算》描述了運(yùn)用相似三角形計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率的詳細(xì)過程，但是還有幾個(gè)小問題亟待完善。為此，筆者以李強(qiáng)擬購(gòu)買國(guó)債的案例，分別利用圖解法、差值法和函數(shù)法等多視角來(lái)闡述，為不同層次的研習(xí)者揭開計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率的“神秘面紗”。

關(guān)鍵詞：多視角；內(nèi)含報(bào)酬率；計(jì)算方法

駱竹梅副教授在《財(cái)會(huì)月刊》2014年7月第14期發(fā)表了《數(shù)學(xué)視角下內(nèi)含報(bào)酬率的測(cè)算》（以下簡(jiǎn)稱《駱文》），該文“圖2”中描述了運(yùn)用相似三角形計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率的詳細(xì)過程?！恶樜摹芬孕路f、直觀和易懂的方式闡述了內(nèi)含報(bào)酬率的詳細(xì)計(jì)算過程，值得學(xué)習(xí)和借鑒，筆者認(rèn)為還有幾個(gè)小問題不容忽視：第一，計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率本質(zhì)上是解一元n次方程，所以關(guān)于折現(xiàn)率i的幾何圖形不會(huì)是簡(jiǎn)單的直線。第二，BD線段與橫軸相交的C點(diǎn)橫坐標(biāo)，未必就是內(nèi)含報(bào)酬率，它只是近似代替。第三，沒有點(diǎn)明計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率一元n次函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減的特性。為此，現(xiàn)舉例來(lái)闡述。

一、案例分析

[案例]2015年1月1日有一份面值50萬(wàn)元、期限10年、每年固定收益為1.2萬(wàn)元、每年12月31日支付利息、到期歸還本金的國(guó)債擺在李強(qiáng)先生面前，假設(shè)僅考慮經(jīng)濟(jì)因素，他購(gòu)買該份國(guó)債是否劃算（相對(duì)于同期銀行存款的稅后收益率）？

經(jīng)過分析上述案例資料，李強(qiáng)是否應(yīng)該購(gòu)買案例中的國(guó)債，屬于獨(dú)立投資決策方案，關(guān)鍵要測(cè)算該份國(guó)債的內(nèi)含報(bào)酬率（IRR），然后將其與同期銀行存款稅后收益率進(jìn)行比較，假若前者不小于后者，則符合投資目標(biāo)；反之，則不能購(gòu)買。

根據(jù)分期付息到期一次還本的債券估值模型：

公式1

其中：At為債券各期支付的利息，i為債券的折現(xiàn)率，n為債券的總期數(shù)，F(xiàn)為到期后債券歸還的本金。若債券每期支付的利息是等額的，則將公式1簡(jiǎn)化為：

公式2

套用公式2，則本案例中的國(guó)債估價(jià)等式為：

等式1

下文從多個(gè)視角來(lái)計(jì)算等式1中的內(nèi)含報(bào)酬率。

二、多視角求解內(nèi)含報(bào)酬率

（一）圖解法

將等式1左邊的50移項(xiàng)至右邊，同時(shí)令左邊等于f（i），將等式1演變成：

等式2

等式2中的f（i）明顯是一個(gè)關(guān)于利率i的一元10次方、嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)（證明從略）。利用“試誤法”對(duì)等式2進(jìn)行逐步測(cè)試可得：f（3%）=-2.5591萬(wàn)元（47.4409-50）<0，f（2%）=1.7965萬(wàn)元（51.7965-50）>0，由此推測(cè)內(nèi)含報(bào)酬率介于2%與3%之間。

根據(jù)圖1所示，若以橫軸表示利率（折現(xiàn)率），縱軸表示凈現(xiàn)值（NPV），可將A點(diǎn)（2%，1.7965）和B點(diǎn)（3%，-2.5591）在二維坐標(biāo)中描繪出來(lái)，A點(diǎn)、B點(diǎn)均在f（i）的曲線上；設(shè)曲線與橫軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)，C點(diǎn)橫坐標(biāo)即為將要計(jì)算的內(nèi)含報(bào)酬率，要計(jì)算出內(nèi)含報(bào)酬率就轉(zhuǎn)化為找出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)。當(dāng)A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的絕對(duì)距離趨于0時(shí)，利用“化曲為直，以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，則曲線ACB以直線AC'B代替，C點(diǎn)以C'點(diǎn)代替，所以要計(jì)算C點(diǎn)的橫坐標(biāo)則可以用C'點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)近似代替，設(shè)C'點(diǎn)的橫坐標(biāo)為i。

為了方便闡述，在圖1中增加虛線AD（長(zhǎng)度為A點(diǎn)的縱坐標(biāo)）和虛線BE（長(zhǎng)度為B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值），利用平面幾何知識(shí)可得：?ADC'∽?BEC'，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，則有AD/BE= DC'/ EC'，即1.7965/2.5591=（i-2%）/（3%-i），解得i=2.41%，從而近似求得內(nèi)含報(bào)酬率。

圖1 圖解法

（二）差值法

令前文等式1的右邊（債券本息和的現(xiàn)值）等于y，即：

圖2 差值法

當(dāng)i=2%時(shí)，y=51.7965；設(shè)內(nèi)含報(bào)酬為（2%+x），則當(dāng)i=（2%+x）時(shí)，y=50；當(dāng)i=3%時(shí)，y=47.4409；將這3組數(shù)據(jù)依次列在圖2中，然后第2組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)減第1組，可得（x，-1.7965）；第3組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)減第1組，可得（1%，-4.3556）。

當(dāng)?shù)?組數(shù)據(jù)與第3組數(shù)據(jù)的平面坐標(biāo)點(diǎn)之間的絕對(duì)距離趨于0時(shí)，則兩組差值之間存在近似的線性關(guān)系，即：x/1%=（-1.7965）/（-4.3556），解得x=0.41%，從而計(jì)算出內(nèi)含報(bào)酬=2%+x=2.41%。

（三）函數(shù)法

根據(jù)圖3所示，利用Microsoft Excel軟件求解內(nèi)含報(bào)酬率，其操作步驟為：首先，在單元格A1：K1中錄入各年年序；然后，在單元格A2：K2中輸入各年發(fā)生的凈現(xiàn)金流量，正數(shù)為凈現(xiàn)金流入（債券每年支付的利息和債券到期收回的本金），負(fù)數(shù)為凈現(xiàn)金流出（債券的初始投資成本）；最后，設(shè)置L2=IRR（A2：K2），就能計(jì)算出實(shí)際報(bào)酬率。

三、結(jié)論

根據(jù)中國(guó)人民銀行2015年8月26日公布的《人民幣存款利率表》，5年期以上的整存整取利率為3.05%。顯然，案例中的國(guó)債內(nèi)含報(bào)酬率2.41%遠(yuǎn)低于同期銀行存款稅后凈收益（存款利息所得暫免征收個(gè)人所得稅），僅僅考慮經(jīng)濟(jì)因素的話，李強(qiáng)先生投資該份國(guó)債顯然是不劃算的。

參考文獻(xiàn)：

[1]駱竹梅.數(shù)學(xué)視角下內(nèi)含報(bào)酬率的測(cè)算[J].財(cái)會(huì)月刊，2014（14）.

[2]周志勇，吳艷紅，蔣昕.多視角教學(xué)方式計(jì)算工資薪金個(gè)人所得稅[J].財(cái)會(huì)月刊，2013（20）.

（作者單位：廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院）