數學的對稱美及其在中學數學解題中的應用

吳延雷

摘 要：數學的美在數學研究的過程中展現給人們數學的美，如同音樂的美妙旋律，漂亮精美畫作一樣，以不同的形式將美展示出來.通過對數學的對稱美的研究，希望更多的人能關注數學美的發展，體味數學的魅力，同時通過對中學數學中對稱性問題的研究希望對數學教學工作起到幫助作用.

關鍵詞：對稱美；數學研究；中學數學

一、對稱性起源

世界萬物都是對立統一的，都包含有矛盾的兩個方面，這兩個方面是對立的.同一種包含有對立和對稱的性質反映在數學上就是對稱性.

早在遠古時期，人們已經認識到了對稱性，注意到的是普遍存在于自然界的空間對稱，例如，鏡像對稱、中心對稱等.隨著人力文明的發展，對稱性漸漸地融入人類生活的方方面面.在建筑、音樂、文學等領域都得到了充分體現，建筑方面：北京紫禁城、古羅馬斗獸場等；音樂中的交響曲；文學中的眾多古詩詞，如“明月松間照，清泉石上流.”對稱性正式進入科學領域大約是在古希臘時期：化學中的分子對稱；物理學中的對稱性；數學中的幾何對稱、函數對稱等.

二、對稱的概念

所謂對稱，是指組成某種事物或對象的兩部分的對等性，是統一性的特殊表現.當然，這里所講的對稱主要包含兩個方面的內容，一是視角情況下的圖形，這集中體現了一些函數的坐標變量關系，這種圖形比較直觀；另外是關于數學概念與定理方面的對稱思想.在數學中，用自同構對應籠統的來解釋對稱性.一般的，設集合S有一個到自身的變換f，S的元素之間定義了某種關系“*”，a，b∈S在變換f之下的像a′、b′∈S，如果a、b之間具有關系“*”，則a′、b′之間仍保持關系“*”，即a′*b′就稱變換f是集合S關于關系“*”的一個自同構對應.設S是一個給定的集合，P是S的一個子集，如果S有一個自同構對應f，使得對p的任意元素x，仍有f（x）∈P，則稱集合P是對稱的.在幾何學中，對稱是圖形的一種性質或指兩個合同圖形間一種特殊位置關系，包括中心對稱、軸對稱、平面對稱三種.

三、數學對稱性主要內容

對稱在藝術、自然界、科學上的例子是屢見不鮮的，自然界的對稱可以從亞原子微粒結構到整個宇宙結構的每一個尺度上找到。在中學數學中，對稱性最直觀的表現是幾何圖形，但對稱不僅表現在幾何圖形上，在數學表達式中也大量存在，多項式存在對稱性，函數的奇偶性同樣是對稱的體現，在曲線與方程中同樣也存在對稱性的應用.下面就介紹一下數學中常見的對稱.