試論用二分法求方程的近似解

熊勇

一、內容分析

本節課選自《數學必修1人教（A版）》第三章3.1.2， 89P“用二分法求方程的近似解”。本節課要求學生根據具體的函數圖象能夠借助計算機或信息技術工具計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數與方程之間的聯系，體會數學來源于生活，服務于生活，用數學知識解決生活中的實際問題；它既是本冊書中的重點內容，又是對函數知識的拓展，既體現了函數在解方程中的重要應用，同時又為高中數學中函數與方程思想、數形結合思想、二分法的算法思想打下了基礎，讓學生學會用二分法解決生活中的實際問題。

二、學情分析

學生已經學習了函數，理解函數零點和方程根的關系， 初步掌握函數與方程的轉化思想。但是對于求函數零點所在區間，只是比較熟悉求二次函數的零點，對于高次方程和超越方程對應函數零點的尋求會有困難。另外算法程序的模式化和求近似解對他們是一個全新的問題，學生部容易理解。

三、設計思想

倡導積極主動、勇于探索的學習精神和合作探究式的學習方式；注重提高學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識；與時俱進地認識“用數學知識解決生活中的問題，讓數學服務于生活，讓同學們能夠學有所用”，強調數學的內在本質，注意適度形式化；在教與學的和諧統一中體現數學的文化價值；注重信息技術與數學課程的合理整合。

四、教學目標？？

通過具體實例理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，從中體會函數的零點與方程根之間的聯系及其在實際問題中的應用；能借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學生能夠初步了解逼近思想；體會數學逼近過程，感受精確與近似的相對統一；通過具體實例的探究，歸納概括所發現的結論或規律，體會從具體到一般的認知過程。

五、重點？、難點

1、教學重點：用“二分法”求方程的近似解，使學生體會函數零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識。

2、教學難點：方程近似解所在初始區間的確定，恰當地使用信息技術工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解。

六、教學過程設計

1、創設情境，提出問題。問題1：在一個雷雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障。這是一條10km長的線路，為了使水庫在發生危險時能與指揮部聯系上，應該如何迅速查出故障所在？

如果沿著線路一小段一小段查找，山高路陡，雷雨交加，困難很多。每查一個點要爬一次電線桿子。10km長，大約有200多根電線桿子呢。

想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？

以實際問題為背景，以學生感覺較簡單的問題入手，激活學生的思維，形成學生解決問題的欲望。注意學生解題過程中出現的問題，及時引導學生思考，從二分查找的角度解決問題。

[學情預設] 學生獨立思考，可能出現的以下解決方法：

思路1：直接一個個電線桿去尋找。

思路2：通過先找中點，縮小范圍，再找剩下來一半的中點。

老師從思路2入手，引導學生解決問題：

如圖，維修工人首先從中點C。查用隨身帶的話機向兩個端點測試時，發現AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發現BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查。每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能把故障點鎖定在一兩根電線桿附近。

師：我們可以用一個動態過程來展示一下（展示多媒體課件）。

在一條線段上找某個特定點，可以通過取中點的方法逐步縮小特定點所在的范圍（即二分法思想）。

[設計意圖] 從實際問題入手，利用計算機演示用二分法思想查找故障發生點，通過演示讓學生初步體會二分法的算法思想與方法， 說明二分法原理源于現實生活，并在現實生活中廣泛應用。

1.利用函數性質或借助計算機、計算器畫出函數圖象，通過具體的函數圖象幫助學生理解閉區間上的連續函數，如果兩個端點的函數值是異號的，那么函數圖象就一定與x軸相交，即方程（ ）0f x =在區間內至少有一個解（即上節課的函數零點存在性定理，為下面的學習提供理論基礎）。引導學生從“數”和“形”兩個角度去體會函數零點的意義，掌握常見函數零點的求法，明確二分法的適用范圍。

2.我們已經知道，函數（ ） ln26f xxx=+？在區間（2，3）內有零點，且（2）f<0，（3）f>0。進一步的問題是，如何找出這個零點？

合作探究：學生先按四人小組探究。（倡導學生積極交流、勇于探索的學習方式，有助于發揮學生學習的主動性）

生：如果能夠將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值。

師：如何有效縮小根所在的區間？

生1：通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。

生2：是否也可以通過“取三等分點或四等分點”的方法逐步縮小零點所在的范圍？

師：很好，一個直觀的想法是：如果能夠將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到零點的近似值。其實“取中點”和“取三等分點或四等分點”都能實現縮小零點所在的范圍。但是在同樣可以實現縮小零點所在范圍的前提下，“取中點”的方法比取“三等分點或四等分點”的方法更簡便。因此，為了方便，下面通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。

合作探究：（學生2人一組互相配合，一人按計算器，一人記錄過程。四人小組中的兩組比較縮小零點所在范圍的結果。）

步驟一：取區間（2，3）的中點2.5，用計算器算得（2.5）0.084 0f≈？<。

由（3）f>0，得知（2.5）（3）0ff？<，所以零點在區間（2.5，3）內。

結論：由于（2，3） （2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）？？，所以零點所在的范圍確實越來越小了。如果重復上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復上述步驟后，將所得的零點所在區間內的任一點作為函數零點的近似值。特別地，可以將區間端點作為函數零點的近似值。

引導學生利用計算器邊操作邊認識，通過小組合作探究，得出教科書上的表3—2，讓學生有更多的時間來思考與體會二分法實質，培養學生合作學習的良好品質。

[學情預設]學生通過上節課的學習知道這個函數的零點就是函數圖象與x軸的交點的橫坐標，故它的零點在區間（2，3）內。進一步利用函數圖象通過“取中點”逐步縮小零點的范圍，利用計算器通過將自變量改變步長減少很快得出表3—2，找出零點的大概位置。

[設計意圖]從問題1到問題2，體現了數學轉化的思想方法，問題2有著承上啟下的作用，使學生更深刻地理解二分法的思想，同時也突出了二分法的特點。通過問題2讓學生掌握常見函數零點的求法，明確二分法的適用范圍。

3、問題3：對于其他函數，如果存在零點是不是也可以用這種方法去求它的近似解呢？

引導學生把上述方法推廣到一般的函數，經歷歸納方法的一般性過程之后得出二分法及用二分法求函數）（xf的零點近似值的步驟。

對于在區間[a，b]上連續不斷且滿足）（af·）（bf0<的函數）（xfy =，通過不斷地把函數）（xf的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

2、求區間（a，b）的中點c；

3、計算（ ）f c：

（1）若（ ）f c =0，則c就是函數的零點；

（2）若）（af·（ ）f c <0，則令b= c（此時零點0（ ， ）xa c∈）；

（3）若（ ）f c·）（bf<0，則令a= c（此時零點0（ ， ）xc b∈）；

4、判斷是否達到精確度ε：

即若||abε？<，則得到零點零點值a（或b）；否則重復步驟2—4。

[設計意圖]以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點、解決重點，給學生“數學創造”的體驗，有利與學生對知識的掌握，并強化對二分法原理的理解。學生在討論、合作中解決問題，充分體會成功的愉悅。讓學生歸納一般步驟有利于提高學生自主學習的能力，讓學生嘗試由特殊到一般的思維方法。利用二分法求方程近似解的過程，用圖表示，既簡約又直觀，同時能讓學生初步體會算法的思想。

例題剖析，鞏固新知。

例：借助計算器或計算機用二分法求方程732=+ xx的近似解（精確度0.1）。

兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結果；學生講解縮小區間的方法和過程，教師點評。

本例鼓勵學生自行嘗試，讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的快樂。此例讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程，進一步鞏固二分法的思想方法。

思考：問題 1：用二分法只能求函數零點的“近似值”嗎？

問題 2：是否所有的零點都可以用二分法來求其近似值？

教師有針對性的提出問題，引導學生回答，學生討論，交流。 反思二分法的特點，進一步明確二分法的適用范圍以及優缺點，指出它只是求函數零點近似值的“一種”方法。

[設計意圖]及時鞏固二分法的解題步驟，讓學生體會二分法是求方程近似解的有效方法。解題過程中也起到了溫故轉化思想的作用。

（四）理解定義、解決問題

1、下列函數中能用二分法求零點的是（ ）。

[設計意圖]讓學生明確二分法的適用范圍。

2、用二分法求圖象是連續不斷的函數）（xfy =在x∈（1，2）內零點近似值的過程中得到（1.5）0f>，（1.25）0f<，（1）0f<，則函數的零點落在區間（ ）。

（A）（1，1.25）（B）（1.25，1.5）（C）（1.5，2） （D） 不能確定

[設計意圖]讓學生進一步明確縮小零點所在范圍的方法。

3。借助計算器或計算機，用二分法求方程3 lgxx=？在區間（2，3）內的近似解（精確度0.1）。

[設計意圖] 進一步加深和鞏固對用二分法求方程近似解的理解。

七、教學反思

這節課既是一堂新課又是一堂探究課。整個教學過程，以提出問題學生解決問題為教學出發點， 以教師為主導，學生為主體，預設問題情境激發學生學習的積極性與主動性，激勵學生去探究問題、解決問。順應合理的邏輯結構和認知結構，符合學生的認知規律和心理特點，重視思維訓練，發揮學生的主體作用，注意數學思想方法的溶入滲透，滿足學生渴望的獎勵結構。整個教學過程中，利用多媒體教學，使全體學生參與到教學中來，使抽象變得形象，學生容易接受，同時利用多媒體課件教學節省板書時間，從而給學生節約時間自練、自查、自糾，從分發揮學生的主動性。在上課過程中，我做到下面幾點：

（1）重視學生的學習體驗，突出他們的主體地位。訓練了他們用從特殊到一般，再由一般到特殊的思維方式解決問題的能力。不斷加強他們的轉化類比思想。

（2）注重將用二分法求方程的近似解的方法與現實生活中案例聯系起來，讓學生體會數學方法來源于現實生活，又可以解決生活中的問題。

（3）注重學生參與知識的形成過程，動手、動口、動腦相結合，使他們“聽”有所思，“學”有所獲，增強學習數學的信心，體驗學習數學的樂趣。

（4）注重師生之間、同學之間互動，注重他們之間的相互協作，共同提高。

總之，如何更好的選擇符合學生的具體情況，滿足教學目標的例題與練習，靈活把握課堂教學節奏仍是我今后工作中的一個重要研究課題。要培養學生的創新意識，自己首先要更新觀念，在教學中適度使用多媒體，讓學生參與到教學中來，能夠使學生在學習新知識的同時，激發起求知欲望，在尋求解決問題辦法的過程中獲得自信和成功的體驗，在學習中改善了他們的思維品質，提高了學習數學的興趣與數學能力。