《概率》教學(xué)的幾點(diǎn)建議

梁木

概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生難于理解的內(nèi)容之一。筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)了以下教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中這些都是學(xué)生容易發(fā)生的錯(cuò)誤，僅供參考。

一、等可能事件的判斷

例1：擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于3的概率。

錯(cuò)解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值為{2，3，4，……，12}，有利于事件A的結(jié)果只有3，故 P（A）=。

分析：公式僅當(dāng)所述的試驗(yàn)結(jié)果是等可能性時(shí)才成立，而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只有這樣情況（1，1）才出，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現(xiàn)，其它的情況可類推。

正確答案 擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），結(jié)果總數(shù)為6×6=36。

在這些結(jié)果中，事件A的含有兩種結(jié)果（1，2），（2，1）。

二、等可能事件中事件總數(shù)與事件A包含事件數(shù)計(jì)算方法不一致的問題

例2：從含3件次品的10件產(chǎn)品中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

錯(cuò)解：因?yàn)榈谝淮斡?0種取法，第二次有9種取法，第三次有8種取法，第四次有7種取法，由乘法原理可知從10件取4件共有10×9×8×7種取法，故從10件產(chǎn)品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7個(gè)可能的結(jié)果。

設(shè)A=“取出的4件中恰有1件次品”，則A含有 種結(jié)果（先從3件次品中取1件，再?gòu)?件正品中取3件），

分析：計(jì)算所有可能結(jié)果個(gè)數(shù)是用排列的方法，即考慮了抽取的順序；而計(jì)算事件A所包含結(jié)果個(gè)數(shù)時(shí)是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序。

正解：（1）都用排列方法

所有可能的結(jié)果共有個(gè)，事件A包含個(gè)結(jié)果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有種方式，對(duì)于每一方式，從3件次品中取一件，再?gòu)?件正品中一件一件地取3件，共有種取法）

（2）都用組合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有個(gè)可能的結(jié)果，事件A含有種結(jié)果。

三、互斥與獨(dú)立概念不清楚

例3：甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯(cuò)解：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為A+B。

分析：本題錯(cuò)解的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和。

正確解答：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB。

例4：某家庭電話在家中有人時(shí)，打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為0.1，響第2聲時(shí)被接的概率為0.3，響第3聲時(shí)被接的概率為0.4，響第4聲時(shí)被接的概率為0.1，那么電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是多少：

錯(cuò)解：設(shè)電話響第1聲時(shí)，被接的概率為：P（A1）=0.1

電話響第2聲時(shí)被接的概率為：P（A2）=0.3，

電話響第3聲時(shí)被接的概率為：P（A3）=0.4，

電話響第4聲時(shí)被接的概率為：P（A4）=0.1，

所以電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是：P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）

分析：本題錯(cuò)解的原因在于把互斥事件當(dāng)成相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件來考慮，而電話在響前4聲內(nèi)，每一聲是否被接彼此互斥。

正解：P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）

分析：以上兩例錯(cuò)誤的原因都在于把兩事件互斥與兩事件相互獨(dú)立混同。兩事件A，B互斥與A，B相互獨(dú)立，這兩個(gè)概念有何關(guān)系？.A，B互斥，則P（A︱B）=0，P（A︱）= P（A）從而A發(fā)生的概率與另一事件B是否發(fā)生密切相關(guān)。而那種認(rèn)為“兩事件相互獨(dú)立必定互斥”的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的。因?yàn)樵赑（A）>0，P（B）>0的條件下，若A，B相互獨(dú)立，則P（AB）=P（A）·P（B）>0；而若A，B互斥，則P（AB）=0，兩個(gè)概念出現(xiàn)矛盾，這就說明在P（A）>0，P（B）>0的情況下，相互獨(dú)立不能互斥。

因此，在一般情況下，互斥與相互獨(dú)立是兩個(gè)互不等價(jià)，完全不同的概念。

四、混淆互斥與對(duì)立的概念

例5：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）

（A）至少有1個(gè)白球，都是白球

（B）至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球

（C）恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球

（D）至少有1個(gè)白球，都是紅球

錯(cuò)誤答案（D）。

分析 本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同

要準(zhǔn)確解答這類問題，必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，這二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（1）兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；

（2）互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件；

（3）兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生。

正解（A），（B）不互斥，當(dāng)然也不對(duì)立，（C）互斥而不對(duì)立，（D）不但互斥而且對(duì)立，所以正確答案應(yīng)為（C）。

五、元素相同與不同的判斷

例7；將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)編號(hào)的盒子中去（每個(gè)盒子容納球的個(gè)數(shù)不限），求事件A=“某指定的n個(gè)盒子中恰好各有一球的概率”。

錯(cuò)解：將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)編號(hào)的盒子中，所有可能的結(jié)果數(shù)為Nn，而事件A含有n！種結(jié)果。

分析：這種解法不全面，如果球是編號(hào)的（即可辨認(rèn)的），則答案是對(duì)的；若球是不可辯認(rèn)的，則答案完全錯(cuò)了。因?yàn)榍蚴遣豢赊q認(rèn)的，故只考慮盒子中球的個(gè)數(shù)，不考慮放的是哪幾個(gè)球。我們?cè)诖擞梅?hào)“□”表示一個(gè)盒子，“○”表示球，先將盒子按號(hào)碼排列起來1 2 3 4 5…N

這樣的N個(gè)盒子由N+1個(gè)“|”構(gòu)成，然后把n個(gè)球任意放入N個(gè)盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號(hào)“|”和“○”共占有：N+1+n個(gè)位置，在這N+1+n個(gè)位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個(gè)位置上“|”和“O”可以任意次序排列。則N-1個(gè)“︱”和n個(gè)“○”在中間的N+n-1個(gè)位置上的可以區(qū)別的所有可能結(jié)果數(shù)是，將n個(gè)不可辨認(rèn)的球放入指定的n個(gè)盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個(gè)結(jié)果，從而正解：分兩種情況：

（1）當(dāng)球是可辯認(rèn)的，則 P（A）=n！/Nn

（2）當(dāng)球是不可辨認(rèn)的，則 P（A）=1/

以上是學(xué)生在學(xué)習(xí)概率中經(jīng)常出錯(cuò)的地方，老師在教學(xué)中應(yīng)該針對(duì)以上的問題進(jìn)行教學(xué)，希望我們?cè)诮虒W(xué)中積極的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，為B版教材的完善做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。