在“二次模糊”中建構知識

于正軍

學生對數量關系的掌握與理解，僅僅依賴于數量關系概念表象的清晰認知，而不經過對概念本質“二次模糊”的“徹悟”過程，一般是不能真正實現對數量關系概念內涵與外延的厘清與內化的。因為學生在理解概念內涵的過程中其內在的思維與外顯的行為會在“斷裂”與“鏈接”中交替出現，即學生的數學思維方法和解決問題的行為方法會出現不一致的現象，需要在“二次模糊”的再認知過程中走向再度清晰，繼而達到對數量關系含義的真正掌握和真實建構。

筆者近日聽了蘇教版一年級下冊“求兩個數相差多少的實際問題”一課。

紅花片比藍花片到底多幾個？始終有學生用“8+5=13（個）”的算式進行列式解答。不管教師怎么著急，怎么強化，甚至規定算法，還是有學生依然如故。學生為什么會如此“執著”？筆者以為，數量關系的概念建構需要適時引領學生經歷“二次模糊”的認知過程，使學生在“初次模糊”中走向概念感知，在“二次模糊”中走向知識建構。

一、知識建構，需在“初次模糊”中激發思考

在解決問題的過程中，由于低年級學生的思維方式以具體的形象思維為主，一旦所求問題中的已知信息過早地清晰化或直觀化，就會導致學生通過觀察直接“觸摸”所求問題的結果，使學生丟失了必要的數量關系分析的過程，阻礙了學生解決問題過程中的數學思考，抑制了學生應有的解題技能的形成。因此，在教學實踐中，當學生初步感知數量的多少關系時，需要呈現給學生“模糊”的數學信息情境，學生無法直接“觸摸”所求問題的結果，從而激發學生自然地展開數學思考，主動探究所求問題的思維路徑和解題方法。

課堂上，教師一旦如圖出示：

紅花片比藍花片多幾個？學生很可能會“無視”教師的“強調”與“強化”，毅然用“8+5=13（個）”進行解題，并在集體交流時異口同聲回答“多5個”。究其原因：（1）學生用加法算式解答此問題，說明他們還未能體會到求“兩數相差問題”的數量關系中所蘊含的減法意義，對減法意義的理解只僅僅停留在“去掉”的含義上。因而，此時學生對于兩數相差關系不能直接運用減法算式進行解答，符合學生已有的知識經驗和學習現實。（2）學生在列出“8+5=13（個）”的基礎上，能異口同聲地回答“多5個”，是因為他們通過直觀觀察這些擺放整齊、清晰的花片后數出來的，此時學生的思維方式與所求的問題方法路徑是“斷裂”的。即在這一數學活動中，得出的“多5個”與“8+5=13（個）”這個算式之間沒有對應關系，“多5個”是學生數出來的，“8+5=13（個）”是學生在得出“多5個”結果的基礎上列出的算式。由于此算式的結果與所求問題的結果并不對應，學生的思維路徑和解題方法未能有效“鏈接”，這兩步思路之間沒有必然的因果聯系。因此，學生此時的思緒是無序的，思維是低效的。導致學生思維如此低效的原因恰恰是教師給予了學生清晰的花片個數，未能激發學生產生有效的數學思考。

故而，教師教學時，需要呈現給學生模糊的信息圖，可以不出現具體數量的花片圖，如下圖。通過觀察，激發學生展開有序思考。（1）你能看出是紅花片多還是藍花片多？是怎么看出來的？（引導學生說出是比出來的）（2）進一步追問：紅花片比藍花片多多少？（課堂上學生此時無語，知道多但無法用語言表達）（3）進一步引導：你能指出多的部分嗎？學生上黑板指出多的部分后，教師順勢引導：你能給大家指得明白一點嗎？從哪兒到哪兒是多的部分？為什么這部分就是多的呢？（引導學生說出另一部分是和藍花片同樣多的）（4）教師緊接追問：這部分是多的，那另一部分就是……生：和藍花片同樣多的部分。師：也就是誰的個數？生：藍花片的個數。（5）教師趁勢點撥：要算出紅花片比藍花片多幾個，可以從紅花片中把哪一部分去掉？生：左邊部分去掉。師：這部分的個數也就是誰的個數？生：藍花片的個數。（6）教師引導學生共同得出結論：求“紅花片比藍花片多幾個”，就是要從紅花片個數里去掉藍花片的個數。這樣教師只呈現給學生模糊的圖形信息，學生根本無法用具體的數列出無效算式，而是在教師的引導下展開有效的、積極的數學思考，進一步探索“兩數相差關系”的數量概念含義，形成解決此類問題初步的方法模型。

二、知識建構，需在“一度清晰”中引發認知

在知識建構的過程中，學生的求知欲望將在建立數量關系概念表象的基礎上被自然激發，迫切產生從概念表象走向知識本質的認知渴望。此時，對兩數相差數量關系的理解需要從“初次模糊”走向“一度清晰”，讓學生在清晰的數量信息中直接感知數量之間的大小關系，促進學生對相差數量關系結構的把握和內涵的理解。

學生在通過自己的觀察和思考后，已經初步感知了兩數相差多少的數量關系的含義，關于兩數相差多少的數量關系的結構模型在他們的腦海里初步建立了，其數學概念也得到初步表征。所以，此時學生急需知道具體的紅花片和藍花片的個數，以便得到清晰的兩數相差的結果，滿足自身的學習需求。課堂上，當教師順勢在課件上引出紅花片和藍花片的清晰實物圖后，學生集體興奮起來，爭先恐后搶著列式解答。為了滿足他們的學習需求，促進全體學生理解兩數相差關系中所蘊含的減法的意義，并掌握利用減法算式解決兩數相差關系的數學問題，教師通過課件的展示，不斷變化紅花片和藍花片的個數，引導學生進行搶答。此時學生都是用紅花片的個數直接減去藍花片的個數，再沒有學生用加法算式列式解答了。這樣從相差關系的模糊概念中抽象出具體的數的大小關系，既順應了低年級學生“數數”的認知特點，也符合他們的生理和心理特征，有效促使他們對兩數相差關系的理解由感知走向感悟，在清晰的具體的數量關系情境中，感悟到減法算式的結果所表示的“紅花片比藍花片多幾個”的實際含義，引發學生從認知模糊走向認知清晰，實現了學生的數學思考與學習行為的有效統一。

三、知識建構，需在“二次模糊”中生發技能

學生的思維經歷了從模糊走向清晰的認知后，看似在課堂上能夠順利根據具體的情境信息進行列式解答，然而此時還是有部分學生的學習更多地表現為一種課堂模仿，并未真正達到理解與內化，更未形成相應的解決問題的技能。因此，還需要教師再次引導學生走進“二次模糊”的認知過程中，深入地理解相差數量關系的概念內涵，促進學生對兩數相差關系結構模型的建構，使他們在“二次模糊”中真切感悟兩數相差數量關系的結構特征，形成解決此類問題的必要技能。

所以，在利用清晰的花片實物圖搶答的時候，為了使學生在解決問題的過程中，逐步建構兩數相差關系的數學模型，教師教學時要巧妙利用課件隱去具體的、可數的實物圖形，只留下一些諸如示意圖、數學符號或語言文字等“模糊信息”，引領學生在這些“二次模糊信息”中探尋數量關系的共性特征，掌握解決問題的基本技能。

例如：

（1）

（2）

（3）哥哥比弟弟大幾歲？

所有這些圖形、符號以及文字中所隱含的“多與少”“長與短”“大與小”等相差關系，都呈現給學生模糊的信息，而不是具體清晰的數量個數，學生無法直接“數數”“觸摸”兩數比較的結果，必須通過列出相應的數量關系式才能得出結果。因而，學生在如此“模糊”的信息中，必須尋找題中共同的結構特點，探索同類的解題方法的規律。他們要通過探索明白：要知道“蘋果比梨多幾個”，就得用蘋果的個數減去梨的個數；要知道“紅彩帶比綠彩帶長多少”，就用紅彩帶的長度減去綠彩帶的長度；要算出“哥哥比弟弟大幾歲”，就用哥哥的歲數減去弟弟的歲數。只有這樣，才能真正在主動探索實際問題中理解相差數量關系的含義。教師要促使學生主動建構模型，助推學生解題技能的形成，比如可以引出一些思維的擴散題：○比□多幾個，大數比小數大多少，可以怎樣直接列式解答？引導學生直接列出算式：○-□=（ ），大數-小數=（ ）。讓學生經歷了“二次模糊”的探索過程，學生不僅對兩數相差多少的數量關系的思考方法以及解題思路有了切身的體驗與深刻的理解，而且可以直接用減法算式來表示兩數相差關系的意義，他們的數學學習就會逐漸從教師反復灌輸的被動接受轉為自主探索的主動內化，他們對數學知識的建構就會經歷從直觀圖形的感知到符號語言的抽象過程，實現從數學認知的“二次模糊”到數量關系的本質“徹悟”。

綜上所述，小學階段學生對數學概念的掌握和數量關系的理解，并不是在清晰中順利接受，也并非在模糊中被動強化，而是需要我們讓數學概念在“模糊之模糊”中引領學生經歷“二次模糊”的認知過程。只有這樣，才會切合學生的認知特點和心理特征，促進他們積極思考、主動建構，繼而實現真正的認知清晰。endprint