基于逆運動學的下肢步態參數計算和測量*

王勇哲，沈林勇，章亞男，錢晉武

(上海大學機電工程與自動化學院，上海 200072)

1 引 言

臨床應用中，步態分析是研究步行規律的檢查方法，旨在通過生物力學和運動學手段，揭示步態異常的關鍵環節及影響因素，從而指導康復評估和治療，也有助于臨床診斷、療效評估及機理研究等[1]。不僅在康復評估方面，“關鍵轉變的早期預警”是當今國際研究的熱點，不同領域相關研究在《Nature》等國際科技刊物上多有發表[2-5]。這些研究表明，系統突變的早期預警信號是普遍存在的，不因系統的細節差異而異，神經疾病也存在早期信號，因此，應用步態分析研究早期預警信號是一種新的嘗試且具有一定的理論支持。

現階段的步態參數獲取方法很多，如基于特征融合的步態識別中利用圖像處理與關節點定位的方法獲取關節角度，該方法測量方便但計算復雜，由于關節點是根據比例來確定的，所以精度也會有所影響[6-7]。基于Kinect骨骼跟蹤功能的骨骼識別系統研究中，用Kinect和圖形處理的步態測量方法，由于Kinect主要應用在游戲方面，在人移動或者與Kinect距離變化均會導致人體下肢桿長變化和關節角度變化，數據精度能否用在神經疾病的康復與評估中還需要進行探究[8]。使用光學標記點來測量步態參數的方法也存在標記點滑移和遮擋等問題[9]。為了能夠精確、方便的測量步態參數，本研究提出基于機器人逆運動學的步態參數計算方法，解決了機器人逆運動學算法在人體上的應用問題，平衡了實驗方便性與精度。

2 下肢建模

2.1 下肢關節角度定義

圖1 人體下肢關節角度定義

2.2 逆運動學建模

本研究將人體下肢的大腿、小腿和足三部分分別簡化為三個剛體，各剛體之間均設為轉動關節聯接且在矢狀面中進行建模分析。康復醫學中描述的踝關節轉角的定義并不是腳與小腿之間的夾角，而是腳底直線與小腿之間的角度θAnkle，這與3連桿機器人結構有些區別。因此分析圖1中角度幾何關系，作過C點且平行于ED的直線CF，BC與CF即為踝關節夾角。由此可以得到人體下肢逆運動學計算模型，坐標系建立見圖2。

圖2 逆運動學建模坐標系

根據D-H參數建模法[12]可以得到機器人坐標變換矩陣T關系如下：

(1)

其中s代表sin函數，c代表cos函數，且S123=Sin(θ1+θ2+θ3)；由逆運動學幾何解法可推導出3個關節角度的計算公式，首先可以計算出膝關節角度：

(2)

膝關節角度公式有兩個解，選取符合人體下肢運動關系的角度進行計算(這里取正解)。髖關節角度計算公式：

θhip=±arctan(s1，c1)

(3)

其中s1和c1分別滿足公式(4)和公式(5)。

(4)

(5)

踝關節角度計算公式：

θAnkle=arctan(s123，c123)-θhip-θknee

(6)

3 實驗方案與計算原理

3.1 實驗方案設計

利用光學運動捕捉系統配套的Marker點做了符合實驗原理的腳剛體固定裝置，原理見圖3。裝置一共用6個標識點組成一個剛體，其中3個標識點在A面3個在B面，A與B面形成一定的角度能夠保證位置傳感器至少識別到3個標識點，從而解決遮擋丟點的問題。該裝置還增加了一個標桿，來設定每次試驗時標定圖2中C點的位置就在標桿的上端點，這樣對同一個人試驗能夠保證C點位置不變。

圖3 腳上剛體固定裝置原理圖

光學運動捕捉系統中腳剛體的局部坐標系的姿態見圖3。坐標系中Y軸垂直腳底面向上，Z軸平行于腳底面沿著腳尖方向。人體下肢標識點的設定方法有很多，如Helen Hayes標識點設定方法、3點組標識點設定和群點法設定等，本實驗標識點的設定參考Helen Hayes標識點設定方法。見圖4，根據實驗的設計需要在大腿旋轉中心(根據計算的位置標定)、股骨外髁、外踝、腳跟和第二跖骨處設定標識點[13-15]，由上述標識點使用向量法就可以算出下肢關節角度，但根據提出的逆運動學方法只需要大腿旋轉中心和外踝位置點。

3.2 下肢桿長計算原理

要計算出關節角度θHip、θKnee、θAnkle需要得到L1和L2的長度，即大腿長度和膝關節中心到C點距離。由于用尺子測量腿長會有較大的誤差，需要通過其他方法來測定。為了解決這個問題，在腿上固定一個標識點，根據標識點的運動軌跡間接的求出關節旋轉中心。

圖4 Helen Hayes標志點設置方法

圖5 測量腿長動作示意圖

首先在人體大腿偏下和小腿偏下各固定一個標識點，坐在椅子上依次進行抬大腿動作、大腿不動抬小腿動作，見圖5。這兩個動作算一次測量，在一次測量中需要人坐在椅子的同一個位置，期間不能使臀部產生位移。通過一次測量，可以得到2個標識點的空間軌跡，我們使用最小二乘擬合圓弧的方法擬合圓弧并求出圓弧中心，即髖關節旋轉中心和膝關節中心。

由圓的方程(7)兩式可知，求出參數a,b,c即可得到圓半徑和圓心參數。

R2=(x-A)2+(y-B)2
x2+y2+ax+by+c=0

(7)

其中x,y為變量，點(Xi，Yi)到圓心的距離為di，最小二乘法運算的樣本集可以表示為：

d2=(Xi-A)2+(Yi-B)2

(8)

則點(Xi，Yi)到圓邊緣的距離的平方與半徑平方的差為：

(9)

因此只需求解參數a,b,c使得公式(10)的Q(a,b,c)的值最小即可。

(10)

以上算法根據標識點運動數據可以擬合圓弧得到圓弧中心，大腿旋轉中心和小腿旋轉中心長度即為大腿長度L1，通過運動捕捉儀識別的點C坐標和小腿旋轉中心可以算出L2。

圖6 坐標變換原理圖

3.3 計算位姿矩陣

實驗設備不能夠直接得到腳剛體相對于髖關節旋轉中心的位姿矩陣，需要進行幾次坐標變換。坐標系變換原理見圖6，通過光學運動捕捉儀得到設備坐標系下坐標系0、坐標系3的位置與姿態，即可算出T1矩陣和T2矩陣，T1和T2滿足公式(11)如下：

T1為坐標系0相對于設備坐標系的變換矩陣，T2為坐標系3相對于設備坐標系的變換矩陣。因此坐標系3相對于坐標系0的變換矩陣T3為：

(12)

4 實驗對比分析

4.1 驗證實驗方案

為了說明上述方法計算出人體下肢關節角度的精度情況，用醫學專用人體骨骼模型進行對比實驗分析。首先人體骨骼較細，能夠通過光學運動捕捉儀精確的測量其下肢長度，其次，可以得到實際的人體下肢模型關節角度。對比實驗方法：通過光學運動捕捉儀獲取固定在骨骼上的虛擬點坐標(圖4所示)，通過點計算向量夾角得到實際的人體骨骼模型角度(簡稱向量法)，向量法算出的數據可以作為誤差分析的真值處理。

首先需要計算醫學骨骼模型的下肢桿長，為了說明下肢桿長計算方法的正確性，同時使用光學運動捕捉儀測量進行比較。實驗數據見表1，其誤差在3 mm左右，由于測量人體下肢長度范圍一般在400～500 mm之間，誤差大小只占有0.75%左右，影響較小。

表1 人體下肢桿長數據

實驗中，手驅動醫學骨骼模型下肢連續運動，連續采集5 s。獨立重復上述過程5次，通過逆運動學方法和向量法分別計算運動過程中髖關節、膝關節和踝關節角度的變化序列。以下對兩種方法算出的數據進行誤差分析和相關性分析。

(1)根據誤差數據分析方法[16]，我們認定向量法計算出的數據為接近真值A0的A，逆運動學計算出數據為測量值X。則相對誤d為：

d=X-A

(13)

算數平均誤差δ平和標準差σ分別為：

(14)

(15)

n為測量次數，di為第i次測量的誤差。

測量各個關節角度的算數平均誤差δ平和標準誤差σ見表2。此結果是每次實驗所有數據的算術平均誤差和標準誤差，但是人體下肢髖關節、膝關節和踝關節的轉角范圍不同，所以同樣的誤差對于不同關節的影響大小是不一樣的，一般人體下肢髖關節轉角范圍是-15°～ 35°、膝關節轉角范圍0°～ 65°和踝關節轉角范圍-10°～ 25°。

表2 基于逆運動學的誤差計算結果

最大引用誤差(又稱允許誤差)σmax，是測量值中的最大絕對誤差與測量范圍Y之比的百分數。

(16)

其中Y代表測量范圍。得到逆運動學計算下肢關節角度髖關節允許誤差σhip、膝關節允許誤差σknee和踝關節允許誤差σankle，見表3。

表3 逆運動學測量方法允許誤差

綜上分析，逆運動學方法計算出的最大算術平均誤差δ平為3.12°，且具有小于10%的最大允許誤差。

(2) 相關性分析是考察兩個變量之間的線性關系的一種統計分析方法，更精確的說當一個變量發生變化時，另一個變量如何變化，對于逆運動學方法和向量方法同時測量一次下肢關節角度時，理論上如果二者的方法準確，那么其測量的數據應該是完全正相關的，這里使用SPSS軟件計算Pearson相關系數[17]進行說明驗證。

圖7 逆運動學法與向量法的膝關節角度散點圖

首先作出散點圖大致判斷一下，這里以膝關節角度為例，見圖7，由散點圖可以清晰的看出，二者呈明顯的正相關。表4為通過SPSS軟件進行Pearson相關性分析的結果。結果顯示髖關節角度、膝關節角度和踝關節角度的計算，兩種方法的相關性為0.998或0.999，并且在0.01水平上是顯著相關的，換句話說具有99%的概率認為逆運動學法和向量法計算的角度存在著強正相關性。

決定系數是一個變量的方差可以被另一個變量的方差解釋的百分比，其值為相關系數的平方，計算為99.6%和99.8%，因此，相關性越強說明一個變量可以更多的解釋另一個變量表示的信息，即向量法的方差的99.6%或99.8%可以被逆運動學法來解釋，0.4%的方差由其他原因導致。

表4 相關性分析結果

4.2 實際人體關節角度測量

通過人體骨骼模型試驗說明，我們的實驗方法能夠測量模型的關節角度，我們在實際的人體下肢進行實驗。實驗中測試者穿戴設備進行反復抬腿動作，三維運動捕捉儀進行運動捕捉，得到原始數據后用編寫的VC++程序進行處理，可以直接算出下肢關節角度。逆運動學計算的關節角度隨時間變化的曲線圖，見圖8。

圖8 逆運動學計算關節角度時間序列

以上數據算出的是符合人體下肢逆運動學建模的角度值，其中膝關節算出為負值，這主要是因為坐標系的關系引起的，其大小就是人體膝關節角度值。其次逆運動學算出的踝關節角度是圖2中∠BCF，但是醫學中踝關節角度為圖2中標注的θAnkle，由幾何關系就可以算出θAnkle。數據再進行處理后可以得到符合醫學定義的下肢關節角度數據，見圖9。

4.3 討論與分析

基于逆運動學計算方法有效減少了需要點的數目，如果用固定在人體下肢向量來計算關節角度，3個桿需要用3個向量即至少5個虛擬點，如圖4所示。基于逆運動學方法一側腿只需要2個虛擬點，在實際應用時也增加了步態實驗的方便程度，更能減少由于不可預知的點滑移導致步態評估不準確。

向量法誤差主要來源于兩個方面：(1)實際實驗時，計算固定在大腿和小腿的向量共用一個點計算(股骨外髁，如圖4)，但股骨外髁點根據經驗不可能剛好標定在旋轉中心處，從而導致誤差，圖10即為標記點計算出的大腿長度和小腿長度值，其大腿長度為定值而小腿長度出現變化。(2)固定在人體下肢的向量屬于一條直線，但是人體下肢是有維度的，不能準確表現出下肢在長度維度的方向，具有較大誤差。

圖9 醫學定義關節角度序列

圖10 標記點計算腿長數據

與逆運動學計算方法進行比較，對向量法進行誤差分析，為了更加準確的通過向量法進行計算，分別在下肢剛體各固定兩個標志點，這樣就不會有共用標志點的誤差了，誤差來源主要都是向量表征人體下肢的誤差。理論上人體直立姿態站立時，各個關節角度都是0度，但由于標記點偏差所計算出的角度非0。以人體大腿長度為450mm,小腿長度400mm，標記點最大偏移誤差為20mm為誤差計算模型(有研究表明，人體運動時標記點滑移最大可達30mm[18]，這里以20mm計算)，由此可以算出標記點誤差導致的人體下肢關節角度的最大誤差。髖關節為3.81°、膝關節為6.67°和踝關節2.86°，根據上述各個關節的旋轉范圍可以算出其最大允許誤差，見表5。

向量誤差計算具有比例特性，因此以上數據具有普遍性，數據表明，髖關節角度中向量法比逆運動學方法計算允許誤差小，但向量法中膝關節由于受到大腿向量誤差和小腿向量誤差的雙重影響其最大允許誤差相對于逆運動學方法較大，踝關節角度計算二者方法誤差水平相近。向量法如果考慮共用標記點的影響其誤差可能更大，且不可預知。

表5 向量法測量方法允許誤差

5 結束語

本研究提出的基于逆運動學計算下肢關節角度的方法具有小于10%的最大允許誤差和3.12°的最大算術平均誤差，誤差主要來源于實驗裝置的設計和實驗時參數的設定，如系統設置的腳剛體局部坐標系的Z軸不可能完全平行于腳底面(見圖3)，再者由于髖關節、踝關節轉角范圍相對較小，分別為50°和35°，因此，得到最大允許誤差相對較大，最大值為髖關節的9.8%。

本方法未計算人體下肢內、外翻及旋轉角度的數據，因此，還具有改進空間，在該研究的實驗后期，可以不斷完善計算人體關節參數的機器人模型，如增加髖關節和踝關節的自由度等，制定一套符合原理的實驗裝置，完善腳上Marker點的固定方法，并增加其他的步態參數，包括步長、步速和步頻等。未來測量步態只需要穿上腳剛體固定裝置就可以完成整個的步態測量，方便實驗人員采集多樣本數據。本實驗方法可以為步態與神經疾病的預警與評估研究提供實驗基礎[19-21]。