澳大利亞數學教材中的數學文化研究——以“整數”一章為例

唐恒鈞，張維忠，李建標，佘偉忠

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澳大利亞數學教材中的數學文化研究——以“整數”一章為例

唐恒鈞1，張維忠1，李建標2，佘偉忠3

（1．浙江師范大學教師教育學院，浙江金華 321004；2．余姚中學，浙江余姚 315400；3．墨爾本大學教育研究生學院，澳大利亞墨爾本 3800）

從文化的視角，分析澳大利亞初中數學教材“整數”一章中的數學文化類型、運用水平和文化功能，并從呈現更多樣的文化類型、采用更加內在而自然的運用水平、體現更全面的文化功能等3個方面提出思考與建議．

澳大利亞數學教材；整數；數學文化類型；運用水平；數學文化功能

從文化的視角研究數學課程已引起越來越多的研究者關注[1~3]．王建磐曾明確指出，“數學除了知識技能及應用以外，更重要的是它本身就是一種文化．從文化的高度來建設數學課程, 有利于提高學生的數學素養”[4]．與中國的數學課程注重數學文化一樣，澳大利亞數學課程也體現了這一特點[5]．吳立寶等對澳大利亞的初中數學教材[6]（下簡稱）的編制結構進行研究發現，“正文內容里面滲透大量的數學史內容，結合本國一些人文、自然景觀進行滲透，進行數學文化教育，此外還以開放的視野接受其他國家的文化元素”[7]．為進一步考察中“滲透了哪些數學文化”、“又是如何滲透的”、“滲透的目的是什么”等問題，這里將采取更為微觀的視角，以七年級“整數”這一章為個案進行剖析，以期為中國數學課程改革，尤其是教材編寫和教學資源的開發與利用提供更細致的借鑒．

1 數學教材中數學文化的分析框架

數學教材中的數學文化可以從數學文化的類型、在數學教材中的運用水平以及數學文化的功能等角度加以分析．

就數學文化的類型而言，汪曉勤曾將其分為數學史、數學與生活、數學與科學、數學與人文、數學與藝術、趣味數學等6類[8]，后又整合為數學史、數學與生活、數學與科學技術、數學與人文藝術等4類[9]．劉芳則將數學文化分為數學史料、數學與其它學科、數學與生活實際、數學與現代信息技術、數學游戲等5類[10]．以上述研究為基礎，將教材中的數學文化分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術、數學游戲等5類．其中前4類借鑒文[9]中的界定，第五類借鑒文[10]中的界定，在此不再贅述．

就數學教材中數學文化的運用水平而言，研究采用王建磐等在文[11]中所提出的框架進行分析．即，將數學教材中數學史的運用水平分為點綴式、附加式、復制式、順應式等4類；將其余類型的數學文化運用水平分為外在型、可分離型和不可分離型等3類．

就數學文化在數學教材中的功能而言，Dickenson-Jones[12]曾基于數學教材與文獻的分析，提出了“分離”、“轉化”、“整合”、“關聯”和“一體化”五環模型，并構建了數學教材中數學到文化實踐之間的價值連續統：提供背景性情境—提供應用性情境—拓展數學思維與方法—促進數學與文化交融—體驗文化實踐．研究以該價值連續統作為分析框架．其中“提供背景性情境”是指，文化素材為學校數學的學習提供一個背景性的素材，但不要求學生投入到這個背景素材的學習．比如，在教材中提供了一幅少數民族編織物的素材，但學習與這個背景無關，而只是討論了這個編織物上的圖形模式．“提供應用性情境”則需要學生參與一些文化實踐，讓學生意識到學校數學的作用，但不強調在不同文化中建構知識的多樣方法．比如，給學生一個日常生活中的問題情境，要求學生用學校中所學的數學知識加以解決．“拓展數學思維與方法”則是要求學生通過文化素材對學校數學與其它文化實踐中的數學進行理論上的比較，以此拓展學生的數學思維與方法．比如，學生通過討論、比較巴布亞新幾內亞傳統的測量方式與公米制之間的區別，但該活動的目的仍是學習學校數學，而對學生在傳統文化實踐上的表現沒有要求．“促進數學與文化交融”則要求學生通過體驗文化實踐與學校數學，建構起學校數學與文化實踐間的關系．比如，會要求學生體驗中國古代的記數系統與西方記數系統，并建立兩者間的聯系．“體驗文化實踐”則要求學生投入到文化實踐中，至少在某些方面要像其原來文化實踐中的形態一樣，其功能在于對文化的體認，而非數學學習．在Dickenson-Jones對7份教科書的分析中僅有一個例子體現了最后一種功能．即，按“Yolngu親屬關系”的要求讓學生扮演與真實的Yolngu親屬關系一樣的關系，而其目標是讓學生經歷這種文化實踐而不是學習數學．

在統計過程中，還有如下操作標準：首先，以文化元素與教材中設置的活動為共同的分析單元，即當一個活動中出現多種類別的文化元素時分別計數，當一個文化元素出現在不同活動時也分別計數．其次，在統計中把習題中的數學文化作單獨處理．這是因為教材中習題較多，且一個題目又常常會有若干個小題，所以上述統計方法所得到的結果會使例習題的份量過重，而偏離教材中數學文化的實際特點．第三，如果教材中插圖與相應文本主題相關，或是教材所設定的5位人物角色（4位學生、1位教師）時，該插圖不作統計．

2 “整數”一章中的數學文化

在整數一章中共包括89項有關數學文化的條目，其中出現在除例習題之外的欄目（記為C1）中22項，例習題（記為C2）中67項．

2.1 數學文化的類型

分析數學文化的類型發現（如圖1），教材特別強調數學與生活的關聯，同時也關注數學史、數學與科技等其它文化類型．

在該章共出現了39項數學與生活關聯的條目．從教材欄目看，C2比C1更多．這是因為，將練習題分為“技能型”、“應用型”和“分析型”3類，其中后兩類尤其是“應用型”練習題常以現實生活為背景．另外，C1中有6項為個體生活，兩項為公共生活；而在C2中有13項為個體生活，18項為公共生活．C1和C2之間的這種生活子類型的差異與其功能定位有關，這將在后文中作進一步討論．

該章出現數學史的次數達到了23項，其中C1有7項．比如，在該教材中單列一節內容介紹印度—阿拉伯、托雷斯海峽、埃及、羅馬、古巴比倫、古中國等不同文化中的記數系統．又比如，在探究欄目中介紹了“回文數字”的歷史．當然，更多的數學史出現在了C2中（16項），主要是“記數系統”的配套練習．

另外，在該章中不僅呈現了“幻方”這一數學游戲，同時還借助數字運算編制了兩個游戲．其中一個游戲是給定一些條件，要求學生根據整數運算順序，通過四則運算探索一些奇特的數字現象．比如，以問題解決的形式要求學生用“4”這一數碼進行四則運算，以此得到其它數．另一個游戲是關于奇數與偶數的數字黑洞問題，即給學生一個初始的數，并要求他們反復按照以下兩個方法之一進行運算，直到將這個初始的數轉化為1，并計算出轉化的步數：如果一個數是奇數，則乘以3再加1；如果一個數為偶數，則除以2．

盡管“數學與科技”在數量上不少，但主要是以問題情境的形式出現在C2中．而數學與人文藝術等方面的數量則較少．

可見，數學文化的類型還不太均衡，總體以數學與生活的關聯為主，其次是數學史，其它類型較少．

2.2 數學文化的運用水平

從圖2可以看出，中數學史的運用水平是比較高的，近70%的條目屬于順應式運用，尤其是在C2中強調通過問題讓學生在不同記數體系之間建立起關聯，比如要求學生用古埃及的記數體系寫出給定的阿拉伯數字．

圖2 “整數”一章中數學史的運用水平

就其它數學文化類型的運用水平而言，如圖3所示，有近四成的條目屬于不可分離型．如在學習“取近似數”這一內容時，用生活中確實存在的問題情境加以引入．具體地，以漫畫形式呈現學生Max的話：“我們學校有700名學生．”正文中則進一步提出問題：“Max的學校的學生數真的正好是700人嗎？”

當然也還存在超過半數的條目是可分離型的，尤其是C2中更為明顯．這主要是因為在例習題中出現了較多的可分離的應用情境，用情境掩飾數學問題，要求學生運用數學知識解決外在于情境的數學問題．比如，“小Lucy只有4周大．她出生多少分鐘了？”顯然這個問題是為了讓學生有練習時間換算的機會強加給這個情境的，在真實生活中沒有人會把小Lucy出生的周數換算成分鐘數的．

還值得注意的是，數學史的點綴式運用，其它數學文化類型的外在型運用的比例較低，這一方面表現出數學文化的運用水平較高，但另一方面也是由于在研究的統計標準中，并未計入那些在正文中有直接文本解讀的插圖．

進一步分析不同文化類型的運用水平可以發現（如圖4），數學游戲在這一章中的運用水平較高，以不可分離型為主．而數學與生活中有近60%屬于可分離型，出現了較多如上述“時間換算”的例子類似的情況．因此需進一步優化生活素材的運用水平．另外，其余兩類數學文化的運用水平偏低，多處于可分離型或外在型水平．

總體來說，的數學文化運用水平較高，數學史以順應式為主，其它數學文化類型不可分離型運用水平達到四成以上．但另一方面，數學與生活、數學與人文藝術、數學與科技等文化類型有相當比例屬于可分離型的運用水平，文化與數學的結合有待深化．

2.3 數學文化融入數學教材的功能

由圖5可知，數學文化功能主要體現在提供數學應用性情境上，這與該教材對數學應用的重視有很大關系．其次是促進數學與文化交融、提供背景性情境、拓展數學思維與方法等，這表明該教材也充分考慮了數學文化價值的豐富性．整章教材沒有出現只為了體驗文化實踐的條目，這是比較理性的．因為作為數學教材而言，其首要的功能定位應是數學或數學文化的傳承與發展，數學是核心的關鍵詞，因此單純為了文化而文化、并且缺少數學元素的文化條目是不恰當的．

比較C1和C2中的數學文化功能可以發現，兩者之間存在著明顯的差異．C1以提供背景性情境最多，其次是拓展數學思維與方法，再次是促進數學與文化交融，最后才是提供應用性情境．C2則是“提供數學應用性情境”一枝獨秀，是排在第二位的“促進數學與文化交融”的4倍左右．當然出現這一現象是與欄目本身的特點有關，在C2中應用型練習題數量較大，而且在技能型和分析型練習題中也有許多屬于應用數學的問題．

進一步分析各種數學文化類型的功能可以發現（圖6），數學史以“促進數學與文化交融”為主，其次是提供背景性與應用性情境，最后是拓展數學思維與方法．數學與生活的關聯主要作用在于提供數學應用性情境，其次提供背景性情境．值得注意的是，在C1中生活素材的功能以提供背景性情境為主（占62.5%），且更多地采用了個體生活素材（占75%），這似乎在表明其更適合于為學生數學學習興趣的培養與數學理解提供背景．事實上，數學游戲常以數學益智題的形式出現，其形式也更適合于發展數學思維．數學與科技、數學與人文藝術都主要是為數學問題提供應用情境．可見，目前后兩類數學文化的功能單一且還有待深化．

由此可見，較為豐富地展現了數學文化的功能，且針對不同的文化類型有不同的功能定位．相比較而言，在數學與科技、數學與人文藝術方面的功能定位略顯單一．

3 若干啟示

數學教材是“文化、課程文件與課程實施最為核心的匯合點”[13]．因此，從文化角度研究數學教材，這對于教材評估、使用及其發展都是非常重要的[14]．

3.1 呈現更多樣的文化類型

學校數學中強調數學文化觀念和數學文化的融入，這既是對數學哲學觀念發展的一種回應，同時也是在試圖破解傳統數學教育中存在的問題．傳統的學校數學常給人以數學的純粹性與先驗性印象，而數學文化觀則強調數學是人類的一種文化實踐，強調發展的歷史性與多樣性以及人類在其中的創造性作用等特征．因此，教材中多樣的數學文化類型有助于人們理解數學作為一種文化實踐所表現的方面，這既有助于人們形成較為全面的數學文化觀，也能拓展師生關于數學及其文化的視野．

從“整數”一章發現，該章呈現了多樣的數學文化．但從具體類型而言，出現了重數學內部文化輕外部文化、重理輕文的現象．即較多地體現了多元文化數學史、數學與生活的關聯、數學游戲等數學文化類型，在習題中也出現了一些數學與科技的關聯，但數學與人文、藝術的結合明顯不足．當然，出現上述現象與數學教材中可納入的文化素材多寡、難易有關，但如何納入更多的人文、藝術類的文化素材仍然是需要不斷探究的．事實上，在許多文化藝術作品中蘊含著數學元素，而且也是學校數學學習的良好載體[15~21]．

3.2 采用更加內在而自然的運用水平

有研究指出，當前中學對數學文化與數學史存在“高評價、低應用”的問題[8]．這其中一個重要的原因是教材中數學文化運用水平不高．具體而言，如果教材中的數學史多以點綴式、附加式，其它數學文化類型多處于外在型、可分離型的運用水平，那就無法真正讓學生感受到數學既根植于文化又促進了文化的發展，反而會給教師和學生一種從外部強加背景的感覺，因此數學文化也就變得可有可無．

“整數”一章中，在數學史、數學游戲等文化類型上體現了較高的運用水平，所呈現的生活情境也有近40%是問題內在于情境之中的，但在數學與科技、數學與人文藝術方面運用水平較低．因此，還需要挖掘與篩選更多的文化素材，以更加內在而自然的方式融入到數學教材中．

3.3 體現更全面的文化功能

數學文化融入數學教材必須以其功能的設定為基礎．不清晰或附屬化的文化功能是數學文化“高評價、低應用”的另一個重要原因．因為，當教師不理解甚至教材本身都不具有清晰的數學文化功能定位時，那么其實踐效果必然受到影響，教學中甚至會變成只是“正餐后的甜點”而已．此外，當數學文化的功能只是簡化為提供背景時，教師和學生體驗到的數學文化也必然會是狹隘的．

可喜的是，該教材呈現了除數學文化“體驗文化實踐”外的各類功能，有助于師生全面領略數學文化功能．更重要的是，正文中出現了較多的旨在拓展數學思維與方法、促進數學與文化交融的條目，這有利于數學文化由甜點變正餐，真正融入數學日常教學中．

可以看出，盡管從數學文化的視角看，還存在一些有待完善的問題，但總體上展現了多樣的數學文化類型，數學文化在教材中有著較高的運用水平，并體現了更全面的文化功能．當然這僅是以一個章節開展的試驗性研究，在其它章節是否具有類似的特點，這是需要進一步考察的．但無論如何，在這一章中所體現的特點值得中國教育工作者編寫教材或開發與利用教學資源時加以借鑒．

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[責任編校：周學智]

Cultural Study of Australian Mathematics Textbooks: Taking “Whole Number” as a Case

TANG Heng-jun1, ZHANG Wei-zhong1, LI Jian-biao2, Wee Tiong SEAH3

(1. College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China;2. The First High School of Yuyao, Zhejiang Yuyao 315400, China;3. University of Melbourne, Melbourne 3008, Australia)

isa set of mathematics textbooks wildly used in the state of Victoria, Australia. A chapter names “Whole number” from such textbook was analyzed from cultural perspective, which included categories, integrated level and function of mathematics culture. At last, some advice for reform of mathematics curriculum was promoted: with various mathematics culture in textbook, integrating mathematics culture more internally and naturally, and with comprehensive functions of mathematics culture..

mathematics textbooks of Australia; whole number; categories of mathematics culture; integrating level; function of mathematics culture

G423.3

A

1004–9894（2016）06–0042–04

2016–07–22

2014年教育部人文社會科學研究規劃基金項目——文化視野下中澳數學課程的比較研究（14YJC880066）；2015年教育部人文社會科學研究規劃基金項目——民族數學與數學課程改革（15YJA880107）

唐恒鈞（1979—），男，浙江余姚人，副教授，碩士生導師，主要從事數學課程與教學研究．