期望序信息系統(tǒng)的優(yōu)勢粗糙集模型

劉真勃，代建華，張其來，高帥超，石紅

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期望序信息系統(tǒng)的優(yōu)勢粗糙集模型

劉真勃，代建華*，張其來，高帥超，石紅

(天津大學計算機科學與技術學院，天津300350)

對在實際應用中，信息系統(tǒng)的屬性通常具有期望，比如量器的測量誤差、產(chǎn)品質(zhì)量標準、醫(yī)療生理指標等，為此本文定義了期望序信息系統(tǒng)，在一定程度上將無期望的序信息系統(tǒng)推廣為期望序信息系統(tǒng)，并在期望序信息系統(tǒng)的基礎上，構建了基于距離的優(yōu)勢關系，使用辨識矩陣的方法進行了屬性約簡，最后經(jīng)過實例證明方法簡單可行。

粗糙集；期望序信息系統(tǒng)；優(yōu)勢關系

引言

粗糙集理論[1]是一種處理不確定、不完備、不一致數(shù)據(jù)的數(shù)學工具。近年來，粗糙集理論引起了國內(nèi)外學者的廣泛關注和研究, 應用在決策制定、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘等領域。經(jīng)典粗糙集理論以等價關系為基礎，沒有考慮屬性的偏好關系。Greco等人[2, 3]針對準則屬性的偏好關系問題，采用優(yōu)勢關系代替等價關系，為序信息系統(tǒng)的發(fā)展奠定了基礎。采用有效的排序方法是序信息系統(tǒng)的重要內(nèi)容，許多學者采用不同的排序方法建立了多種優(yōu)勢關系[2-7]。文獻[2,7]提出屬性值越大優(yōu)勢越大的排序方法，建立優(yōu)勢關系；Qian等人[4]利用有序區(qū)間值信息系統(tǒng)的屬性值有上界和下界的特點，提出了比較兩個區(qū)間值上界和下界數(shù)值大小的優(yōu)勢關系；Yang等人[5]將不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)轉化為完備信息系統(tǒng)，再采用文獻[4]方法構建優(yōu)勢關系的方法進行了研究；于瑩瑩[8]和楊青山[9]等人對區(qū)間值序信息系統(tǒng)提出了可能概率的排序方法建立優(yōu)勢關系，并用分辨矩陣方法進行了屬性約簡；曾雪蘭等人[10]提出了比較區(qū)間值半徑和中心的排序方法，構建優(yōu)勢關系。

上述排序方法的偏序關系都認為屬性值越大越優(yōu)或者越小越優(yōu)，忽略了屬性值有固定期望值的情況?，F(xiàn)實世界里，由于喜好的存在和對事物屬性的經(jīng)驗性認知，人們對大部分的事物屬性都有一定程度的期望，期望可能是越大越好的或者越小越好的基本描述，也可能是某個具體數(shù)值。對于含有期望屬性的有序信息系統(tǒng)，傳統(tǒng)的優(yōu)勢關系無法獲得與現(xiàn)實需求一致的分類與屬性約簡。例如某公司生產(chǎn)的便攜式電子秤的測量誤差的期望值是0，三個電子秤1;2;3的測量誤差分別為：2，-1，-3。根據(jù)數(shù)值越小越優(yōu)排序方法，它們的偏序關系應該是3最好，2次之，1最差，在實際的質(zhì)量檢測中，考慮產(chǎn)品測量誤差與期望值之間的差距，真實的偏序關系是2最好，1次之，3最差。針對實際應用中，屬性具有期望的特點，本文定義了期望序信息系統(tǒng)，構造了期望優(yōu)勢關系，并在一定范圍內(nèi)將期望的概念推廣至傳統(tǒng)的序信息系統(tǒng)，應用辨識矩陣的方法進行了屬性約簡。

論文結構安排如下：第2節(jié)介紹序信息系統(tǒng)的基礎知識和常見的優(yōu)勢關系；第3節(jié)定義期望序信息系統(tǒng)和基于距離的優(yōu)勢關系；第4節(jié)期望序信息系統(tǒng)的近似空間和屬性約簡方法；第5節(jié)進行實例分析；最后總結全文。

1 序信息系統(tǒng)的基本概念

本節(jié)回顧一般序信息系統(tǒng)的基本概念，分析序信息系統(tǒng)中常見的幾種優(yōu)勢關系。

定義1[6]信息系統(tǒng)是一個四元組，其中是非空有限的對象集，稱為論域；是非空有限的屬性集；，是屬性值的集合，是屬性值；是信息函數(shù)，，若表示對象在屬性上的取值。

Pawlak粗糙集理論的信息系統(tǒng)中，屬性集決定了信息系統(tǒng)的等價關系。在實際中，在考慮決策者偏好的情況下，很多屬性需要按照屬性值遞增或者遞減的偏序關系確立優(yōu)勢關系。

定義2[6]設信息系統(tǒng)=<,,,>，，∈，表示在屬性下至少與一樣好，若屬性的值域中有偏序關系，則稱是準則屬性。對于信息系統(tǒng)中的任意屬性都是準則屬性，則稱該信息系統(tǒng)為有序信息系統(tǒng)。

定義3[6]設有序信息系統(tǒng)=<,,,>，，,令，則稱是有序信息系統(tǒng)上的一個優(yōu)勢關系。

桂現(xiàn)才等人[11]使用單值信息系統(tǒng)中的優(yōu)勢關系如下：

Shao等人[12]在不完備信息系統(tǒng)中定義優(yōu)勢關系如下：

(2)

注：f(x)=*在信息系統(tǒng)中表示該屬性值缺失并且用*表示。

Qian等人[4]提出了區(qū)間值信息系統(tǒng)的一種優(yōu)勢關系如下：

從以上優(yōu)勢關系可以看出，研究者只考慮了數(shù)值越大越優(yōu)的偏序關系，忽略了部分屬性不是數(shù)值越大越好，也不是數(shù)值越小越好，而是越接近某個期望值越好。例如企業(yè)批量生產(chǎn)定重為1千克的袋裝面粉時，期望每袋面粉的重量為1千克，實際每袋面粉的重量在1千克左右浮動，一般認為面粉重量越接近1千克越符合企業(yè)利益。一般的信息系統(tǒng)無法準確體現(xiàn)屬性具有期望的特點，上述的優(yōu)勢關系不能處理具有期望值的信息系統(tǒng)。因此，定義一個具有期望值的信息系統(tǒng)是有必要的。

2 期望序信息系統(tǒng)及其優(yōu)勢關系模型

本節(jié)主要定義了期望序信息系統(tǒng)，分析對象屬性值與期望值之間的關系，定義基于距離的優(yōu)勢關系，在一定程度上對期望進行了推廣。

定義4期望序信息系統(tǒng)是一個五元組={}，其中是非空有限的對象集，稱為論域；是非空有限的屬性集；是屬性值和期望值的集合，是屬性的值域，是屬性期望值的值域，表示期望值為的屬性，表示屬性的期望值為；是信息函數(shù)，，若,表示對象在期望值為的屬性下的值，本文也簡寫為。

從定義可以看出，期望序信息系統(tǒng)是在一般的序信息系統(tǒng)增加了期望值，屬性具有期望值的特點。表1是一個期望序信息系統(tǒng)，對象集為{123456},屬性集為={1,2,3, a,5,6},從中可得a的期望值為2，。

表1 期望序信息系統(tǒng)

屬性值與期望值的分布的情況如圖1所示：f(),f(),f(),f()是期望值為的屬性上的四個不同的取值，具體情況有以下三種。

（1）屬性值f()與f()離屬性的期望值的距離相等，即()()，此時認為在屬性下與優(yōu)勢相等（或者等價)；（2）屬性值f()比f()距離屬性的期望值更近，即()(), 此時認為在屬性下比更優(yōu)；（3）屬性值f()比f()距離屬性的期望值更遠，即()()，此時認為在屬性下比差。因而，四個屬性值按照從優(yōu)到劣的偏序是：。

圖1 屬性值與期望值的位置關系

在有期望的屬性中，數(shù)值越接近期望值就越優(yōu)，因此需要充分利用期望值進行構建偏序關系。

定義5 設期望序信息系統(tǒng)={}，，，與期望值的接近程度表示為：。若，則稱在期望值為的屬性下不比差，記作。

在這種偏序關系下，優(yōu)勢關系和優(yōu)勢類可以定義為：

從定義容易證明：期望優(yōu)勢關系具有自反性和傳遞性，而不具有對稱性。優(yōu)勢關系的具體意義為：對象的距離越小，則越接近期望值，優(yōu)勢越大，符合設定期望值的實際。

為區(qū)分等式(1)和等式(4)兩種優(yōu)勢關系，本文將文獻[11]中的優(yōu)勢關系（等式1）稱為經(jīng)典優(yōu)勢關系，優(yōu)勢關系和優(yōu)勢類分別表示為，等式4表示的優(yōu)勢關系稱為期望優(yōu)勢關系，優(yōu)勢關系和優(yōu)勢類分別表示為。

性質(zhì) 1設期望序信息系統(tǒng)={}，，,∈，經(jīng)典優(yōu)勢關系可以轉化為期望優(yōu)勢關系。

證明 經(jīng)典優(yōu)勢關系可以理解為數(shù)值越大越優(yōu)，本文認為數(shù)值越大越優(yōu)的屬性期望為。為了計算方便簡單，取一個足夠大的數(shù)值將期望從替換為固定數(shù)值，本文選取替換為。

3 期望序信息系統(tǒng)的粗糙集方法

3.1 近似空間

定義6 設期望序信息系統(tǒng)={},，,是期望優(yōu)勢關系，上、下近似和邊界域定義為：

示例1 信息系統(tǒng)如表1所示，設={a, a}，={x, x}, 等價類可以表示為：={ x};={ x, x, x};= { x};={ x, x, x};={ x, x, x, x, x, x};= { x, x}。上近似、下近似和邊界域分別為：，={x},={ x, x,}。

3.2 屬性約簡

某些概念只需要信息系統(tǒng)的部分屬性就能表達，因此信息系統(tǒng)中往往存在大量數(shù)據(jù)冗余。在粗糙集理論中，通過屬性約簡可以得到屬性冗余較少的數(shù)據(jù)集，提高知識發(fā)現(xiàn)的效率。

定義7={},是期望優(yōu)勢關系，若是信息系統(tǒng)的一個約簡，記作()，當且僅當滿足以下兩個條件：

系統(tǒng)中可能存在多個屬性約簡，所有屬性約簡的交集就構成了信息系統(tǒng)的核，記作。

辨識矩陣[13]是Skowron提出的，是屬性約簡的重要方法之一。辨識矩陣具有容易理解，操作簡單的優(yōu)點，許多學者研究了辨識矩陣在屬性約簡上的應用。

定義8[10,14]設期望序信息系統(tǒng)={},是期望優(yōu)勢關系，分辨矩陣表示為：

定理 1期望序信息系統(tǒng)={}，是在期望關系下的一個約簡，當且僅當是滿足，的最小屬性集。

假設是的一個約簡，且存在, 使得, 則有且，與是的一個約簡矛盾；同時，對于任意=-{}，都不能得到，因此是滿足的最小屬性集。

定義9 設期望序信息系統(tǒng)={}，是期望優(yōu)勢關系下的可辨識屬性集，稱為可辨識函數(shù), 其中是指與相對應的布爾值。

定理 2 設期望序信息系統(tǒng)={}，是的一個約簡，當且僅當是辨識函數(shù)轉化為析取式的一個基本蘊涵。

其中() 是表示集合的秩。

根據(jù)分辨矩陣和分辨函數(shù)的定義，基于距離的優(yōu)勢關系的屬性約簡算法如下：

輸入：有期望的信息系統(tǒng)={}

輸出：屬性約簡

步驟1 將期望值為+∞和-∞的屬性的期望分別替換為屬性值域的上確界和下確界；

步驟2由優(yōu)勢關系計算可辨識屬性集M和可辨識函數(shù)；

步驟3計算可辨識函數(shù)，從合取式轉化為析取式；得到每一個基本蘊涵就是一個屬性約簡集。

4 實例分析

本節(jié)以某公司生產(chǎn)的便攜式電子秤質(zhì)量檢測信息為例，將一般序信息系統(tǒng)轉化為期望序信息系統(tǒng)，并進行屬性約簡。

表2 關于便攜式電子秤的期望信息系統(tǒng)

表2是一個關于便攜式電子秤的期望序信息系統(tǒng)，論域{x, x, x, x, x, x, x, x, x}代表抽檢的9個產(chǎn)品；,屬性集為={a, a, a, a, a}表示電子秤的相關信息，分別是重量、厚度、大小、測量誤差和最大承載重量。其中產(chǎn)品質(zhì)量檢測的標準是重量越小越好，最大承載重量越大越好，測量誤差、厚度、大小的期望分別為：0，3，2。因為屬性a和屬性a的期望都是無窮的，需要計算替代期望值，此例中選取屬性a值域的下界和屬性a的上界作為替代期望值。

設={a},={a}，經(jīng)典優(yōu)勢關系在屬性集下的優(yōu)勢類為：

表3 關于便攜式電子秤的辨識矩陣

期望優(yōu)勢關系在屬性集下的優(yōu)勢類為：

經(jīng)典優(yōu)勢關系在屬性集下的優(yōu)勢類為：

期望優(yōu)勢關系在屬性集下的優(yōu)勢類為：

從上面可以看出，對于屬性集，經(jīng)典優(yōu)勢關系和期望優(yōu)勢關系的得出的優(yōu)勢關系類是相同的，即兩者在期望為+∞的屬性的分類能力是相同的；而對于具有期望屬性集，經(jīng)典優(yōu)勢關系無法得到實際需求的分類，例如f4(1)=-3與f4(2)=-3，顯然兩者在期望為0的情況下兩者的優(yōu)勢對等的，經(jīng)典優(yōu)勢關系將兩者進行了“錯誤”的分類，而期望優(yōu)勢關系能夠很簡單的獲得實際希望的分類。

期望序信息系統(tǒng)關于期望優(yōu)勢關系在屬性集的優(yōu)勢類為：

由定義8可得可分辨矩陣如表3所示?？杀孀R函數(shù)化簡后可得

5 結語

在實際中，序信息系統(tǒng)中部分屬性具有期望值的特性，因此分析期望序信息系統(tǒng)具有一定的意義。論文定義了基于距離的優(yōu)勢關系，并將一般序信息系統(tǒng)在一定程度上轉化為期望序信息系統(tǒng)，解決了傳統(tǒng)的優(yōu)勢關系無法處理期望序信息系統(tǒng)的問題，同時用辨識矩陣的方法進行了屬性約簡，并用實例證明方法簡單可行。

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Rough Set Model Based on Dominance Relation for Ordered Information Systems with Expectations

LIU Zhenbo, DAI Jianhu, ZHANG Qilai, GAO Shuaichao, SHI Hong

(School of Computer Science and Technology, Tianjin University, Tianjin 300350, China)

In real world applications, the attributes with expectation, such as the measurement error, the quality standards of products and biological indicators for medical treatment, should be considered by decision makers. Therefore, the concept of ordered information system with expectations is proposed. Moreover, we extend the general ordered information systems to ordered information systems with expectations based on the dominance relation by the distance between the expectation and the real value. Consequently, attribute reduction of an ordered information system with expectations is investigated by discernibility matrix. Finally, an example illustrates that the method is simple and feasible.

rough sets; ordered information system with expectations, dominance elation

1672-9129(2016)02-0001-05

TP18

A

2016-08-28；

2016-09-21。

國家自然科學基金資助(No.61473259， No.61502335)。

劉真勃，男,碩士研究生，研究方向：軟計算、機器學習；代建華，男，教授、博士生導師,主要研究方向：人工智能、粗糙集、模糊集、機器學習、數(shù)據(jù)挖掘、智能信息處理，E-mail：david.joshua@qq.com；張其來，男，碩士研究生；高帥超，男，碩士研究生；石紅，女，副教授。

(*通信作者電子郵箱：david.joshua@qq.com)