關于分裂凸可行性問題的粘性迭代算法

楊遠志，楊海元，李春，何振華

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關于分裂凸可行性問題的粘性迭代算法

楊遠志，楊海元，李春，何振華

（紅河學院 數學學院，云南 蒙自 661199）

研究了分裂凸可行性問題，給出了該問題的一個新的近似解算法，并證明該算法具有強收斂性，所獲得的結果改進了前人的工作．

分裂凸可行性問題；近似解；強收斂；粘性迭代方法

1引言及預備知識

找出一點，使得（1）

該問題在許多實際問題都有應用，如圖像恢復（重建）和信號處理等．當問題（1）解存在時，那么其解滿足一個不動點方程，其中：表示度量投影算子；表示的伴隨算子；是一常數．

為求解問題（1），Byrne在文獻[2]中建立了近似解算法：，其中：和分別表示投影算子；表示的共軛算子；是一個常數，，是的譜半徑．Byrne證明了該序列收斂到問題（1）的一個解．

找出，，使得（2）

文獻[3]的算法僅僅是弱收斂算法，在實際應用中，強收斂算法更為方便，而且，算法中僅僅簡單地使用投影方法計算問題的近似解，這有可能使得算法的收斂速度比較慢．針對這些問題，本文建立了粘性迭代算法，證明在適當的條件下，新算法強收斂到問題（2）的一個解．

定義1[4]107設是域上的線性空間，若對于任意，有一個中的數與之對應（用表示該數），使得對于任意，，有

定義2[4]59（1）設是內積空間，，如果對于任意，，，有，則稱是中的線性算子．若還滿足（），是與無關的常數，則稱是有界線性算子．

引理1[5]3310設為實Hilbert空間，則對于任意，有．

引理2[6]設是非負實數列，滿足，．若，，且，則．

引理3（半閉原理）[7]設為實Hilbert空間，，：是非擴張映射，若弱收斂到，并且，則．

引理4[5]3318設為實Hilbert空間，則對于任意，有．

2主要結果及證明

又

于是

雖然推論2是定理的特例，但是由于定理中包含的壓縮映射的值是隨著迭代過程一起變化的，因此其收斂速度會跟著受到影響．

本文討論了分裂可行性問題，給出了該問題近似解的一個新算法，并證明了該算法具有強收斂性，推廣了已有文獻的結果．與文獻[3]中的算法比較，雖然本文迭代算法也包含了投影算子，但是引入了壓縮映射．因此，建立的新算法可以通過壓縮映射調節其收斂速度，這樣可以實現更快速度的收斂．

[1] Censor Y，Elfving T．A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space[J]．Numerical Algorithms，1994 （8）：221-239

[2] Byrne C．Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem[J]．Inverse Problems，2002（18）：441-453

[3] Mouda A．A relaxed alternating CQ-algorithm for convex feasibility problems[J]．Nonlinear Anal，2013（79）：117-121

[4] 劉炳初．泛函分析[M]．2版．北京：科學出版社，2007

[5] Chang S S，Lee H W J，Chan C K．A new method for solving equilibrium problem fixed point problem and variational inequality problem with application to optimization[J]．Nonlinear Anal，2009（70）：3307-3319

[6] Xu H K．Iterative algorithms for nonlinear operators[J]．J London Math Soc，2002（2）：240-256

[7] Takahashi W．Nonlinear Functional Analysis，Fixed Point Theory and Its Applications[M]．Yokohama：Yokohama Publishers， 2000

[8] Marino G，Xu H K．Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces[J]．J Math Anal Appl， 2007（329）：336-346

A viscosity iteration algorithm for the split convex feasibility problem

YANG Yuan-zhi，YANG Hai-yuan，LI Chun，HE Zhen-hua

（School of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，China）

Studied the split convex feasibility problem，a new approximate solution algorithm for this problem was given，and show that the algorithm converges strongly to a solution of this problem．The results obtained in this paper improved previous works．

split convex feasibility problem；approximate solution；strong convergence；viscosity iteration method

1007-9831（2016）04-0022-06

O177.19

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.006

2015-12-10

紅河學院大學生創新創業訓練項目（DCXL1315）；紅河學院后備人才項目（2014HB0206）

楊遠志（1993-），男，云南保山人，在讀本科生．E-mail：1740993919@qq.com

何振華（1979-），男，廣西藤縣人，教授，在讀博士研究生，從事非線性分析研究．E-mail：zhenhuehe@126.com