常數變易法求解常微分方程

李治遠，朱桂玲

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常數變易法求解常微分方程

李治遠，朱桂玲

（云南大學 數學與統計學院，云南 昆明 650500）

深入探討了常數變易法求解一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程，并將所探討的結果進行系統地分析、比較、歸納和總結，給出了每種解法的特點和使用條件．

常微分方程；常數變易法；二階非線性

常數變易法是求解微分方程的一種特殊方法，常數變易法在解決某些方程特解時簡便易用[1-7]．本文主要分析了用常數變易法求解一階和二階非線性常微分方程，輔以典型的例題，指出了利用常數變易法求解這２類非線性常微分方程的條件，分析其中的原因并給出相應的解決方法．

1常數變易法求一階非線性常微分方程

1.1基本類型I

一階非線性常微分方程的一般形式為

表示，則由于式（2）是可分離變量的常微分方程，可以用常數變異法來求解，因而可求出方程（1）的解．

1.2基本類型II

設方程（4）的通解為

將式（6）代入式（5）即可得方程（4）的通解．

1.3基本類型III

這是伯努利方程．

基本類型IV

1.5基本類型V

2常數變易法求二階非線性常微分方程

基本類型I

的一個不恒為零的解．

以下相應推論均可用此方法得到，不再一一證明．

2.2基本類型II

的通積分為

2.3基本類型III

的通積分為

2.4基本類型IV

的通積分為

基本類型V

的通積分為

[1] 徐澄波，張光天．微積分（下冊）[M]．杭州：浙江大學出版社，1988

[2] 譚信民．一階非線性常微分的三種可積類型[J]．韶關大學學報：自然科學版，1996，17（4）：13-19

[3] 湯光榮．常微分方程專題研究[M]．武漢：華中理工大學出版社，1994：103-115，157-198

[4] 陳肖石，湯光榮．利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程[J]．西江大學學報，2000（2）：12-15

[5] 李廣民，于力．一類二階非線性微分方程的求積問題[J]．純粹數學與應用數學，1996，12（1）：73-77

[6] 王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1983

[7] 彭向陽．二階二次微分方程的解[J]．長沙大學學報，1999，13（2）：18-20

The method of constant variation for solving ordinary differential equation

LI Zhi-yuan，ZHU Gui-ling

（School of Machematic and Statistics，Yunnan University，Kunming 650500，China）

Discusses deeply the method of constant variation for solving the first order nonlinear ordinary differential equation and the second-order nonlinear ordinary differential equation，explores the results by systematically analyze，compare and summary，and gives the characteristics and conditions of each method finally．

ordinary differential equation；method of constant variation；second-order nonlinear

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.002

2015-11-28

國家自然科學基金資助項目（11561075）

李治遠（1992-），男，河南信陽人，在讀碩士研究生，從事時間序列分析及其應用研究．E-mail：534838410@qq.com

1007-9831（2016）04-0005-06