基于耦合Duffing振子的微弱故障信號檢測

王曉東，趙志宏，楊紹普

基于耦合Duffing振子的微弱故障信號檢測

王曉東1，2，趙志宏2，楊紹普1，2

（1.石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院，石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點實驗室，石家莊 050043）

針對傳統(tǒng)信號處理方法在低信噪比條件下對微弱信號檢測的不足，提出一種對雙Duffing振子進行阻尼項耦合的方法，通過對此系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，比單個Duffing振子具有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為。闡述了基于相平面變化的微弱信號檢測原理，對時間進行尺度的變換，實現(xiàn)了未知頻率信號的檢測，最后對微弱脈沖信號進行檢測以及真實的故障軸承的早期診斷，取得了較好的效果，該方法在無線通信、雷達系統(tǒng)、旋轉(zhuǎn)機械早期故障診斷等領(lǐng)域具有廣闊的前景。

振動與波；雙耦合Duffing振子；混沌；周期信號；故障診斷

自1990年P(guān)ecora and Carrel提出混沌同步概念以來，混沌同步理論和應(yīng)用研究得到了迅速的發(fā)展［1］。相繼提出了完全同步、廣義同步、滯后同步、哈密頓系統(tǒng)的測度同步等同步概念。同步是耦合非線性系統(tǒng)的合作行為最基本的表現(xiàn)之一，同步是物理學(xué)、電子技術(shù)、生物學(xué)、化學(xué)、光學(xué)等學(xué)科在非線性問題研究中的一個非常重要的課題［2-4］。人們在尋找新的同步方式的同時，也嘗試著從更高的高度來研究這些同步形式。例如，從研究低維混沌發(fā)展到研究高維時空混沌就是一種新的嘗試。雙耦合Duffing混沌振子系統(tǒng)就是高維時空混沌系統(tǒng)。耦合振子系統(tǒng)的動力學(xué)行為遠比單振子系統(tǒng)復(fù)雜，它的同步和控制過程為在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用提供可能，同時也引起了世界各國學(xué)者的廣泛關(guān)注［5-8］。

本文研究的是雙耦合Duffing混沌振子在微弱信號檢測中的應(yīng)用。利用雙耦合Duffing振子混沌系統(tǒng)對微小信號敏感性和對強噪聲的免疫力［9-11］，以及兩個Duffing振子互相聯(lián)系互相控制的工作過程，提高系統(tǒng)在臨界分岔處的穩(wěn)定性，為混沌振子系統(tǒng)檢測微弱信號提供新的途徑。通過對雙耦合Duffing振子系統(tǒng)模型建立、動力學(xué)分析及應(yīng)用于微弱信號檢測的研究表明它在正弦信號、脈沖信號檢測方面具有很好的應(yīng)用前景，最后通過對真實故障軸承信號分析，獲得較好的效果，為工程實際中旋轉(zhuǎn)機械早期故障診斷應(yīng)用提供了一種可借鑒的方法［12-13］。

1　雙耦合Duffing振子模型的建立

根據(jù)文獻中出現(xiàn)過的對位移項進行耦合［14］的方式，本文對雙耦合Duffing振子采用以下特定的耦合方式，即對阻尼項進行耦合，建立數(shù)學(xué)模型如下

上式中k表示阻尼系數(shù)，一般取k=0.5，c表示耦合系數(shù)，γcos（ωt+θ）表示周期策動力。

1.1耦合系數(shù)與動力學(xué)行為的關(guān)系

c表示耦合系數(shù)，c的取值越大說明耦合的強度越高，不同振子間的同步性越強，若c=0，則兩振子之間的耦合作用消失，此時系統(tǒng)的動力學(xué)行為與單個Duffing振子系統(tǒng)相同。當(dāng)c≠0時，系統(tǒng)的變量會在耦合作用的影響下隨時間趨于同步。由圖1可以看出兩個系統(tǒng)在t=12 s后很快達到了同步行為，而且通過對阻尼耦合系數(shù)c取不同的數(shù)值進行大量實驗驗證表明對于阻尼耦合的情況與位移耦合情況正好相反，阻尼耦合系數(shù)越大，相同步的時間越長，這是合理的。

圖1　雙耦合系統(tǒng)變量（x-u）時間歷程圖

1.2雙耦合Duffing振子的分岔圖

分岔是指非線性系統(tǒng)定性行為隨著參數(shù)變化而發(fā)生質(zhì)變的現(xiàn)象，分岔研究不僅能揭示系統(tǒng)不同狀態(tài)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，而且是研究失穩(wěn)和混沌產(chǎn)生機理和條件的重要途徑，所以分岔與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有著十分密切的聯(lián)系。圖2是此雙耦合Duffing混沌振子系統(tǒng)在特定參數(shù)（k=0.5，c=2，ω=1.0rad/s）下的分岔圖，通過此圖可以看出隨著策動力γ的不斷增大，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌與周期的交替現(xiàn)象，當(dāng)γ比較小時，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期一運動；繼續(xù)增大γ，在γ=0.35附近時，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔，表現(xiàn)為周期二運動；再繼續(xù)增大γ，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，最終在γ=0.82附近，由混沌狀態(tài)又進入穩(wěn)定的周期一狀態(tài)。

圖2　雙耦合系統(tǒng)的分岔圖

1.3雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的檢測原理

通過上述方程式（1）的耦合模型，建立Simulink仿真模型，采用定步長4階Runge-Kutta方法進行研究，取步長h=0.01 s，耦合系數(shù)c=2，選擇其它參數(shù)不變時，改變策動力幅值γ，當(dāng)γ較小時，相軌跡表現(xiàn)為Poincare映射意義下的吸引子，相點圍繞焦點做周期振蕩，逐漸增加γ達到臨界值γ=0.826時，系統(tǒng)經(jīng)歷同宿軌道，倍周期分岔直至混沌運動（如圖3（a）所示），系統(tǒng)在混沌狀態(tài)的時間相對較長，而且相軌跡局限在某一個范圍內(nèi)，繼續(xù)增大策動力γ，系統(tǒng)進入到臨界大尺度周期狀態(tài)。此時γ略微增加超過閾值γd，系統(tǒng)將以外加周期力的頻率進行大尺度的周期振蕩（如圖3（b）所示），此后相軌跡不在雜亂無章，而是沿著固定的軌道重復(fù)下去。

2　雙耦合Duffing振子對微弱正弦信號的檢測

根據(jù)雙耦合Duffing振子的動力學(xué)行為特點，建立微弱信號檢測的數(shù)學(xué)模型如下所示。

其中γcos（ωt+θ）為內(nèi)置信號，acos（ωt+φ）為待測的信號，n（t）高斯白噪聲。對上述構(gòu)造的系統(tǒng)進行仿真實驗時，此系統(tǒng)檢測原理與單Duffing振子一樣（即選擇從臨界周期到周期的軌跡相變?yōu)榕袛嘞到y(tǒng)輸入是否帶有周期信號的依據(jù)），當(dāng)雙耦合Duffing振子系統(tǒng)調(diào)整到從混沌狀態(tài)到大周期的臨界狀態(tài)時，亦即γ將設(shè)置在臨界分岔狀態(tài)附近。然后加入待測的微弱周期信號，當(dāng)待測信號加入系統(tǒng)中經(jīng)過暫態(tài)過程以后，系統(tǒng)穩(wěn)定在某一運動形式上，計算機通過辨識系統(tǒng)容易得知系統(tǒng)是處于混沌還是大尺度周期運動狀態(tài)。由此，可判斷輸入信號是純噪聲還是混有微弱周期信號。

當(dāng)輸入待測信號后，整個驅(qū)動力變?yōu)?/p>

圖3　雙耦合Duffing振子系統(tǒng)相圖

由上述雙耦合Duffing振子非線性系統(tǒng)相態(tài)變化的仿真結(jié)果顯示，可求得此時信號的信噪比檢測門限為

對于傳統(tǒng)方法，很難檢測到信噪比-10 dB的信號，這也是一些傳統(tǒng)方法的局限所在，同時驗證了混沌檢測系統(tǒng)的優(yōu)勢，能夠?qū)崿F(xiàn)低信噪比下的微弱周期信號檢測。因此混沌系統(tǒng)具有很好的發(fā)展前景和研究價值。

當(dāng)相位θ=0時

其中

從上式可以看出系統(tǒng)相態(tài)和相位之間的關(guān)系。調(diào)整策動力可以使待測信號的相位滿足下式：π-arccos［（a/2γ）］≤φ≤π+arccos［（a/2γ）］使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，不產(chǎn)生大周期變化。

當(dāng)系統(tǒng)沒有同頻率待測周期的信號輸入時，系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)如圖4（a）雜亂無章的混沌現(xiàn)象。當(dāng)系統(tǒng)有相同頻率的待測周期信號acos（ωt），其中a=0.003，輸入系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)如圖4（b）的大周期現(xiàn)象（前期有個不穩(wěn)定的過渡狀態(tài)，隨后進入穩(wěn)定的大周期）。

圖4　雙耦合Duffing振子的系統(tǒng)相圖

2.1對未知頻率信號的檢測

上面只是研究了周期頻率ω=1rad/s的情況，對于實際工程信號而言，要想將某一頻率成分的信號檢測出來，就要將方程（1）的驅(qū)動信號頻率設(shè)置為該待測信號的頻率值。然而這個待測信號的頻率往往是很難確定的。為了減少計算的麻煩，可以對方程進行時間尺度的變換，改變信號的時間尺度，在不改變其離散數(shù)值的情況下，將其在時間尺度上進行壓縮或放大，這種時間尺度并不改變參與計算數(shù)據(jù)，只是在時間軸上對數(shù)值進行了重新排序。

令t=ωτ，則有：x（t）=x（ωτ）；

代入方程（1）整理得

這樣只需調(diào)整方程式（4）中的ω值，來適應(yīng)外界不同頻率的周期信號，從而實現(xiàn)對外界不同頻率微弱信號的檢測。由于狀態(tài)方程（4）是由上述方程派生出來的，只是從另一時間尺度觀察耦合非線性系統(tǒng)的動態(tài)，因此前面所討論的結(jié)果都是適用的。對于上述變形耦合非線性系統(tǒng)的模型，設(shè)置其它參數(shù)不變，進行不同頻率的周期信號檢測。在耦合方程改進后，可根據(jù)實際情況調(diào)整參數(shù)以進行系統(tǒng)各個狀態(tài)的仿真和計算。

3　微弱脈沖信號的檢測

脈沖信號是一種離散信號，形式多種多樣，波形在時間軸上不連續(xù)，但具有一定的周期性，因此也就為檢測脈沖信號提供了可能。最常見的脈沖信號就是矩形波（方波），脈沖信號可以用來表示的信號有：脈沖編碼調(diào)制、脈沖寬度調(diào)制、各種數(shù)字電路、高性能的時鐘信號，因此對于微弱脈沖信號的檢測是值得研究且有一定的應(yīng)用價值。

下面是基于Simulink中脈沖發(fā)生器模塊產(chǎn)生的一組信號（如圖5所示），然后把該信號和噪聲（此信號的信噪比為-14.8 dB）一起加入到雙耦合Duffing振子檢測系統(tǒng)中進行模擬實驗，檢測原理方法與微弱正弦信號是一樣的，通過大量實驗仿真表明此微弱脈沖信號檢測的內(nèi)驅(qū)動力依然可以是正弦信號（與脈沖信號同頻率），不再需要改變內(nèi)驅(qū)動力的波形，調(diào)節(jié)好此系統(tǒng)的臨界閾值，進行仿真實驗，觀察系統(tǒng)相圖的變化。

圖5　脈沖信號

圖6　加入噪聲的脈沖信號

通過系統(tǒng)相圖的變化（如圖7所示，從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)），可以看出此雙耦合Duffing振子系統(tǒng)能有效地檢測出混在噪聲中的微弱脈沖信號，為以后數(shù)字電路、雷達通訊等故障信號檢測提供了一種可能。

圖7　雙耦合Duffing振子系統(tǒng)相圖

4　軸承的早期故障診斷

軸承故障是旋轉(zhuǎn)機械中最為常見的故障，作為機械設(shè)備關(guān)鍵部件之一，早期故障發(fā)現(xiàn)顯得尤為重要，如何在故障早期發(fā)展階段及時發(fā)現(xiàn)故障，避免更大的損失，是故障診斷工作者一直研究的課題。

上面通過數(shù)值模擬實驗實現(xiàn)了強噪聲背景下的微弱周期信號的檢測，為了能夠在工程實際中得到驗證，本文采用美國凱斯西儲大學(xué)電氣工程與計算機科學(xué)系軸承中心在網(wǎng)絡(luò)上提供的實驗數(shù)據(jù)［15］進行分析，試驗臺由功率為1.47 kW的電動機、扭矩傳感器、測力計和電氣控制裝置組成。實驗使用的軸承型號是SKF6205-2RS深溝球軸承，其結(jié)構(gòu)參數(shù)見下表1。的特征頻率的方法。

表1　軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

通過對此軸承用電火花加工的單點損傷，加工的故障直徑為0.007英寸，采用16通道振動加速度傳感器進行信號采集，將振動信號導(dǎo)入Matlab中，下圖8分別是軸承內(nèi)、外圈的故障時域圖，很難觀測出其故障特征頻率。電機主軸轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，采樣頻率為12 000 Hz，由軸承的特性，專家們已經(jīng)根據(jù)經(jīng)驗、理論總結(jié)推導(dǎo)出了計算滾動軸承各個部位

圖8　軸承內(nèi)、外圈的故障時域圖

ft，f0分別表示內(nèi)圈、外圈故障頻率，其它參數(shù)含義已給出。根據(jù)表格中的各個參數(shù)可以計算出軸承內(nèi)外圈的故障頻率分別為：156.2 Hz和110.3 Hz。

通過以上實驗數(shù)據(jù)分析，當(dāng)系統(tǒng)輸入正常信號時，系統(tǒng)狀態(tài)沒有發(fā)生變化，而輸入內(nèi)、外圈故障信號時，系統(tǒng)相圖由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷跔顟B(tài)。由此可以說明系統(tǒng)相軌跡圖發(fā)生了變化，并不是因為信號中其它因素引起的，而是由于采集的信號中存在與系統(tǒng)內(nèi)置頻率同頻率故障信號的原因引起了系統(tǒng)相軌跡圖的變化，由此判斷出采集的信號是有故障的，并取得了較好的效果。

圖9　雙耦合Duffing振子系統(tǒng)相圖

5　結(jié)語

本文針對傳統(tǒng)的微弱信號檢測問題，提出一種基于雙耦合Duffing振子系統(tǒng)的檢測方法，并對時間尺度進行變換，實現(xiàn)了任意未知頻率周期信號的檢測。而且通過對微弱正弦信號、脈沖信號的檢測以及對實測故障軸承信號的早期診斷，取得較好的效果。為數(shù)字電路、雷達通訊等信號的檢測提供了一種可鑒的方法，也為工程實際中旋轉(zhuǎn)機械的早期故障診斷提供了有效的依據(jù)。

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Weak Fault Signal Detection Based on Coupled Duffing Oscillators

WANG Xiao-dong1，2，ZHAO Zhi-hong2，YANG Shao-pu1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China；2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control of Hebei Province，Shijiazhuang 050043，China）

For the shortage of the traditional signal processing method in weak signal detection in low SNR condition，a new system detection method based on a double Duffing oscillator is proposed.Through dynamic analysis，this system is found to have a more complex dynamic behavior than that of the single Duffing oscillator.The principle of weak signal detection based on phase plane changing is expounded.Through transforming the time scale，the unknown frequency signals are detected.Finally，the weak pulse signal is detected and the early fault diagnosis of a real bearing is realized，and good results are obtained.This method has broad prospects for application in early fault diagnoses of wireless communications，radar systems and rotating machinery.

vibration and wave；bi-coupled Duffing oscillators；chaos；periodic signal；fault diagnosis

TH163.3

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.036

1006-1355（2016）03-0174-05+209

2015-11-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（11172182；11227201；11472179）

王曉東（1989-），男，河北省滄州市人，碩士研究生，主要從事故障診斷與混沌理論研究。E-mail：wx_dong@126.com