基于Bayes混合驗前分布的成敗型產品可靠性評估

張文杰，楊華波2，張士峰2

（1.92853部隊，遼寧興城125109；2.國防科學技術大學航天科學與工程學院，湖南長沙410073）

基于Bayes混合驗前分布的成敗型產品可靠性評估

張文杰1，2，楊華波2，張士峰2

（1.92853部隊，遼寧興城125109；2.國防科學技術大學航天科學與工程學院，湖南長沙410073）

針對小子樣成敗型產品可靠性評估問題，引入混合驗前分布構造方法，推導了Bayes混合驗前分布下成敗型產品可靠度參數的驗后概率分布函數，研究了驗前分布參數對于驗后估計的影響，并總結了驗前分布參數選擇的一般性原則。分析對比了傳統Bayes方法和混合驗前分布方法的參數驗后估計，其結果表明后者能夠有效避免驗前信息淹沒現場信息的問題。對驗后均方誤差的分析表明混合驗前分布方法能夠一定程度上改善估計的效果。與冪驗前方法的對比結果表明，當驗前樣本容量較大時，混合驗前分布方法的估計效果優于冪驗前方法。

系統評估與可行性分析；可靠性評估；成敗型；Bayes方法；混合驗前分布

0 引言

成敗型產品通常是指每次使用都相互獨立，并且只有成功或失敗兩種可能結果的工業品［1］。在可靠性評定領域，涉及到大量的成敗型數據［2］，如固體火箭發動機可靠性試驗［3］，核電站的應急柴油發動機啟動過程［4］。對于一些造價昂貴、危險性高的工業設備，不可能做大量的現場試驗進行可靠性評估，這就面臨著小子樣情況下設備可靠性評估的問題［5］。

Bayes方法是研究小子樣問題的一種有效途徑，并且在很多領域得到了很好的應用［6］。Bayes方法綜合利用驗前信息和現場試驗信息以實現參數的統計推斷［7］。如何合理有效地使用驗前信息，是Bayes評定中的關鍵問題。由于驗前信息和現場試驗信息并不完全服從同一總體，如果按照經典Bayes方法不加區別地利用驗前信息，難免會出現大量的驗前信息淹沒小樣本現場試驗信息的情況。為此國內外專家學者進行了一系列研究。Zellner［8］通過引入數據質量因子來描述驗前信息和現場試驗信息的質量；Ibrahim等［9-10］研究了冪驗前分布，并將該方法應用于回歸估計中，取得了良好的效果；楊華波等［11］將修正冪驗前分布應用于成敗型產品的可靠性評估；張士峰等［12］、明志茂等［13］通過引入繼承因子，并將繼承因子看成隨機變量，從而實現可靠性參數的驗后統計推斷；Helminen［14］則利用Bayes網絡來描述不同來源驗前信息的差異；楊華波等［15］針對小子樣條件下制導精度評定問題，提出了混合驗前分布的方法，該方法能夠有效避免驗前信息“淹沒”現場信息的問題。

本文將混合驗前分布方法應用于成敗型產品的可靠性評估，詳細推導了Bayes混合驗前分布下產品可靠性參數的驗后概率密度函數，研究了混合參數的驗前分布參數對于驗后估計的影響，并總結了選擇這些分布參數的一般性原則，分析了驗前信息和現場試驗信息的差異對參數驗后統計推斷的影響。仿真分析表明，與傳統的基于似然函數的驗前分布構造方法相比，該方法能夠有效避免驗前信息淹沒現場試驗信息的問題。對驗后均方誤差（MSE）的分析表明，混合驗前分布方法能夠在一定程度上改善Bayes估計的效果。最后將本文所介紹的混合驗前分布方法與冪驗前分布方法進行比較，當驗前樣本容量較大時，混合驗前分布方法估計效果更好。

1 基于似然函數的驗前分布

對某成敗型產品進行可靠性試驗，其結果服從二項分布B（n，R），其中，n為試驗的次數，R為該產品的可靠度。基于Bayes方法的可靠性評估就是綜合利用產品的驗前信息和現場試驗信息實現R的統計推斷。假設該產品可靠性試驗存在驗前信息D0=（n0，s0），現場試驗信息D=（n，s），（n0，s0）和（n，s）分別表示驗前和現場的可靠性試驗次數以及成功的次數，并且D0和D相互獨立，L（R|D0）和L（R|D）分別為基于驗前信息和現場試驗信息的參數R的似然函數，即二項分布的似然函數：

則傳統的基于似然函數的驗前分布構造方法如下：

式中：π（R）為參數R的初始驗前，通常取為無信息驗前。則參數R驗后分布為

為得到解析的結果，R的無信息驗前通常取為二項分布的自然共軛分布：

即

式中：αR、βR為R的驗前分布參數；B（αR，βR）為Beta函數。將（1）式、（4）式代入（3）式，并忽略常數項，即可得

（5）式表明參數R基于似然函數的驗后分布仍是Beta分布。根據Beta分布的統計特性，可得R的驗后均值為

從參數R的驗后表達式（3）式中可看出，這種傳統的基于似然函數的驗前分布構造方法，實際上是將驗前信息D0和現場試驗信息D無差別對待，當D0和D不一致或者部分不一致時，上述方法的正確性值得商榷。

通常情況下，驗前試驗次數n0比現場試驗次數n大得多，分析（6）式可知，這種驗前信息構造方法，難以避免驗前信息“淹沒”現場試驗信息的問題。

2 混合驗前分布

針對上述方法存在的問題，引入混合驗前分布

π（R|D0，c）=c·π（R|D0）+（1-c）·π（R），（7）式中：π（R|D0，c）為混合驗前分布函數；π（R|D0）為根據驗前信息D0而構造的分布函數，對于成敗型數據D0=（n0，s0），則為Beta（s0，n0-s0）；混合參數c為驗前信息D0與現場試驗信息D的相容性，并且滿足c∈［0，1］，若c=0，則D0和D不相容；若c= 1，則D0和D完全相容；若0＜c＜1，則D0和D部分相容。

由Bayes公式，可得

將（1）式、（2）式、（4）式、（7）式代入（8）式，并結合Beta分布函數的形式，稍加整理，可得

式中：

通常混合參數c的確定比較困難，本文的做法是將其視為隨機變量，并假設參數c的驗前分布函數為π（c），由于c∈［0，1］，因此π（c）可以取為Beta（αc，βc），其中，αc、βc為混合參數c的驗前分布參數。則（R，c）的聯合驗后密度函數為

（10）式對R積分，即得混合參數c的驗后密度函數

（10）式對c積分，即得可靠度R的驗后密度函數

故參數R、c的驗后估計可以通過計算各自邊緣分布的期望來獲得。即

根據Beta分布的統計特性，對（13）式整理得

3 驗前分布參數的選擇

由（6）式可得傳統Bayes方法的可靠度驗后估計；由（15）式可得混合驗前分布下的驗后估計，為方便陳述，稱前者為傳統方法，后者為混合方法。

在前面的公式推導中分別引入了參數R和c的驗前分布參數αR、βR以及αc、βc.由（6）式可以看出，R的驗前分布參數αR、βR是有實際物理意義的，因此這里主要研究αc、βc的選擇問題，αc、βc的取值影響混合參數c的分布如圖1所示。

圖1　不同驗前分布參數下混合參數c的分布密度函數Fig.1 Distribution density function of hyprid parameter c with respect to different prior distribution parameters

為了說明參數αc、βc對于驗后估計的影響，作如下分析：

假設驗前信息由二項分布B（n0，p0）抽樣得到，現場試驗信息由二項分布B（n，p）抽樣得到，其中，p0和p分別為驗前信息和現場試驗信息可靠度真值。令n=10，n0=100，p=0.9，p0=0.5，0.7，0.9，而αc、βc取為不同的組合，仿真5 000次求均值，分別計算傳統方法和混合方法的可靠度、混合參數驗后估計值計算結果如表1所示。

對比分析表1和圖1，不難發現：

1）當驗前和現場信息相容性較差時，混合參數c應該適當小一些，這樣才能得到更加接近真實值的估計，如p=0.9，p0=0.5，則αc=2，βc=5對應的驗后估計0.816 3最接近真實值0.9，因為從圖1中可以看到αc=2，βc=5所對應的分布密度曲線的峰值處于（0，0.5）區間之內；相類似地，當驗前和現場信息相容性較好時，混合參數c應該適當大一些，如p=0.9，p0=0.9，則αc=5，βc=2對應的驗后估計0.884 9最接近真實值0.9，原因就在于αc=5，βc=2在圖1中所對應的分布密度曲線的峰值處于（0.5，1）區間之內。

表1　不同驗前分布參數下的驗后估計結果Tab.1 Results of posteriori estimation with respect to different prior distribution parameters

2）當αc=βc時，從圖1中可以看到，其分布密度函數關于直線x=0.5對稱，并且只要給定p和p0，無論αc（或者βc）取1還是2，其混合方法的估計值 ^R都相等，而且估計效果介于αc=2、βc=5和αc=5、βc=2之間。

如果已知驗前現場信息相容性較好，則應該適當增大βc，使得混合參數c的分布密度函數峰值處于（0.5，1.0）區間；相反，如果驗前現場信息相容性較差，則應該適當增大αc，使得混合參數c的分布密度函數峰值處于（0，0.5）區間；如果驗前現場信息的相容性并不確定，則應該選擇αc=βc，至于具體取何值，這對于可靠性參數的驗后點估計 ^R沒有影響。

這里給出工程上常見的一種選擇方法。參數αc、βc的物理意義不明確，考慮引入Beta分布函數的均值μ∈（0，1）和方差σ2＞0，均值和方差的數值大小反映了驗前信息和現場信息的相容程度。驗前信息由半實物仿真試驗獲得，根據半實物仿真系統與實際試驗系統的相似程度確定μ和σ2.若二者相似程度很高，則令均值μ取值稍大一些，方差σ2取值稍小一些；相反，若二者相似程度不高，則μ可取小一些，σ2取大一些。如某次半實物仿真試驗與現場試驗相似程度很高，則令μ=0.8，σ2=0.05.根據Beta分布的統計特性，αc、βc和μ、σ2滿足關系式：

可以反解出αc=1.76，βc=0.44.

4 仿真分析

本文主要研究驗前信息和現場試驗信息的差異對可靠度R統計推斷的影響。事實上，驗前信息和現場試驗信息的差異主要表現在樣本數目和可靠度兩個方面，下面分別分析這兩種差異對可靠度R驗后統計推斷的影響。

1）樣本容量差異對R統計推斷的影響。仿真參數設定為：αR=1，βR=1，αc=1.76，βc=0.44，n= 10，p=0.9，p0=0.4.令n0變化，可以得到傳統方法和混合方法下，可靠度R的驗后估計隨n0的變化情況，如圖2所示，圖中另一條曲線表示混合方法中參數c的驗后估計隨n0的變化情況。

圖2　樣本容量差異對驗后估值的影響Fig.2 Effects of different sample sizes on posteriori estimation

2）可靠度差異對R統計推斷的影響。仿真參數設定為：αR=1，βR=1，αc=1.76，βc=0.44，n= 10，p=0.75，n0=100，令p0變化，同樣可以得到可靠度R的驗后估計隨p0的變化情況，如圖3所示。

圖3　可靠度差異對驗后估值的影響Fig.3 Effects of different reliabilities on posterior estimation

分析圖2和圖3可得到以下結論：

1）圖2中，隨著n0/n增大，混合方法R的估值始終穩定在0.75～0.80左右（現場信息可靠度真值為0.90），而傳統方法R的估值一直減小，由于驗前信息的可靠度為0.4，可以預測，如果n0/n繼續增大，傳統方法 R的估值還會持續減小，最終趨近0.4.這充分說明了混合方法能較好地避免驗前信息“淹沒”現場試驗信息的問題。

2）圖3中，橫坐標p0-p表示了驗前信息和現場試驗信息之間的差異。當p0-p為0時，混合方法和傳統方法驗后估計結果相近，均在0.75（現場信息可靠度真值為0.75）左右，這說明如果驗前信息和現場試驗信息服從同一總體，則傳統方法和混合方法之間的差異并不明顯。隨著|p0-p|增大，兩種方法得到的估值差異變得明顯，其中傳統方法R的估值基本上和驗前信息可靠度真值p0相同，而混合方法R的估值在0.55～0.85之間變化，這也充分說明傳統方法不能避免驗前信息“淹沒”現場試驗信息的問題，而混合方法則可以較好地做到這一點。圖3中，混合方法中參數c的驗后估計曲線解釋了混合方法具有這種優勢的原因。當|p0-p|=0時達到最大值，即此時相容性最大；隨著|p0-p|逐漸增大，c的驗后估值減小，于是削弱了驗前信息對于R驗后估值的影響，因此混合驗前分布方法可以有效避免“淹沒”問題。

5 MSE分析

前面的分析表明，相對于傳統方法而言，混合驗前分布方法在一定程度上確實能夠避免“淹沒”的問題，但是其驗后估計特性還需要進一步分析。下面用Monte Carlo仿真方法來分析驗后估計的MSE.假設可靠度R的估值為其真值為p，則驗后

圖4　驗后MSE分析Fig.4 Analysis of posteriori mean square error

分析圖4可以得到以下結論：

1）驗后MSE的大小與驗前信息的可靠度有關。從圖4中可以看到，對于同一種方法而言，當樣本容量一定時，|p0-p|越小，其驗后MSE就越小，這說明無論是傳統方法還是混合驗前分布方法，驗前信息和現場試驗信息可靠度相差越小，其估計效果就越好，反之，估計效果就越差。

2）當|p0-p|=0，0.05時，兩種方法的驗后估計MSE均隨著n0/n的增大而減小；除此之外，其他情況都是隨著n0/n的增大而增大。這說明如果驗前信息和現場試驗信息的可靠度比較接近（例如本次仿真算例中|p0-p|≤0.05），則可以適當增大驗前信息的樣本容量來改善估計的效果；反之，如果驗前信息和現場試驗信息的可靠度相差較大（例如本次仿真算例中|p0-p|≥0.1），驗前信息樣本容量越大，其估計的效果反而變差。該結論與直觀上的認識是一致的。

3）當|p0-p|≥0.10時，傳統方法的驗后MSE普遍大于混合方法的MSE；這說明混合方法確實能夠改善估計的效果；而當|p0-p|=0.05時，兩種方法的驗后MSE基本相當；當|p0-p|=0，傳統方法的MSE普遍小于混合方法的MSE，造成上述現象的原因是混合參數c取值不合理，因為上述分析都是在 αc=1.76，βc=0.44的條件下進行的，而當|p0-p|=0時，驗前信息和現場試驗信息是完全相容的，理想情況下，應該有c=1，根據前面的分析可知，αc應該取較大的值，βc應該取較小的值，在這種情況下，兩種方法得到的驗后MSE是基本相當的。

美國學者Ibrahim等將冪驗前方法應用于線性模型的回歸分析［9-10］，同樣可以處理驗前信息與現場試驗信息不完全相容的情況。這里通過一個數值算例，將冪驗前方法與本文所介紹的混合方法進行對比。仿真參數設定為：αR=1，βR=1，αc=1.76，βc=0.44，n=10，p=0.9，p0=0.4.令n0變化取值，分別用混合方法和冪驗前方法對可靠度R進行估計，結果如圖5所示。

圖5　兩種方法的估計結果Fig.5 Estimated results of hyprid prior and power prior approaches

從圖5中可發現，兩種方法的估計結果較為接近，均在0.760～0.790之間變化。n0/n＞1.5后，冪驗前方法得到的估值趨于穩定；隨著n0/n增大，混合方法所得到的估值更接近于現場數據仿真設定的真實值（仿真真值為0.9），即本文所提出的混合方法具有一定的優勢。利用相同的仿真設定參數，對這兩種方法進行MSE分析，結果如圖6所示。

分析圖6，當n0/n＜3.0時，冪驗前方法的MSE小于混合方法的MSE；當n0/n＞3.0時，冪驗前方法的MSE迅速增大，而混合方法的MSE較為平穩。這說明當n0/n較小時，冪驗前方法的估計效果優于混合方法，當n0/n＞3.0以后，混合方法的估計效果則優于冪驗前方法。

6 結論

本文針對成敗型產品可靠性評定的問題，利用混合驗前分布的方法構造驗前分布，引入混合參數，并根據Bayes方法得到可靠度參數和混合參數的聯合概率密度函數，最后通過邊緣分布的方法獲得混合參數和可靠度參數的驗后估計值。研究了混合參數的驗前分布參數對于驗后估計的影響，并指出了這些分布參數選擇的一般性原則。仿真算例表明，與傳統Bayes方法相比，混合驗前分布方法能夠有效避免驗前信息“淹沒”現場信息的問題。對驗后估計的MSE分析表明，本文所提出的混合驗前分布方法能夠改善估計的效果。與冪驗前分布方法的對比結果表明，這兩種方法的估計結果相接近，當驗前樣本容量較大時，本文所提出的混合驗前分布方法更具優勢。同時也應該注意到該方法的局限性，在最后給出了工程上確定參數αc、βc的方法，但是該方法選擇參數μ、σ2需要憑借一定的工程經驗，這一不足之處不利于該方法的推廣應用，因此如何更加客觀合理地選擇參數μ、σ2，也就成為了下一步的重點研究方向。

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Reliability Assessment for Device with Only Safe-or-failure Pattern Based on Bayesian Hyprid Prior Approach

ZHANG Wen-jie1，2，YANG Hua-bo2，ZHANG Shi-feng2
（1.Unit 92853 of PLA，Xingcheng 125109，Liaoning，China；2.School of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，Hunan，China）

For the reliability evaluation of device with only safe-or-failure pattern，a hyprid prior approach is introduced，and the posteriori probability distribution function of reliability parameter is deduced by Bayesian method.The influence of prior distribution parameters on the posterior estimation is considered，and the general rules of choosing these parameters are summarized.The parameter posterior estimates of traditional Bayesian method and hyprid prior approach are compared.The results indicate that the hyprid prior approach can avoid the problem of that the prior data inundate the posteriori data effectively.The analysis of posteriori mean square error demonstrates that the hyprid prior approach can improve the performance of estimation to some extent.Through the comparison with power prior approach，it is proved that the estimation effect of hyprid prior approach is better than that of power prior approach，especially when prior sample size is larger.

system assessment and feasibility analysis；reliability assessment；safe-or-failure pattern；Bayesian method；hyprid prior approach

TB114.3

A

1000-1093（2016）03-0505-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.03.016

2015-03-22

張文杰（1991—），男，碩士研究生。E-mail：zhangwenjie_0731@163.com；張士峰（1971—），男，教授，博士生導師。E-mail：zhang_shifeng@hotmail.com