英國數學英才選拔考試MAT命題技術分析

廖運章，王華嬌

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英國數學英才選拔考試MAT命題技術分析

（1．廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州 510006；2．廣州大學附屬東江中學，廣東河源 517500）

數學入學考試MAT是英國重要的數學英才選拔考試，是牛津等大學數學、計算機及相關專業的入學條件之一，數學知識與方法相當于A水平核心數學C1和C2模塊水平，但問題設計卻不同，重在考查考生理解A水平數學的深度而非廣度．MAT的命題特征是：控制運算量，解題思維多樣；分層遞進設計，考查數學探究能力；構建新情境，滲透數學建模思想，考核信息加工能力；因循專業所需，甄別不同數學能力．

數學英才；牛津大學；MAT；命題技術

近年來，英國學生在國內GCSE和GCE-A水平數學考試獲或的人數屢創新高，如首次引入GCSE成績等級的1994年只有10.5%學生獲或，2013年這一數據則變為22.6%．但英國學生在PISA和TIMSS等國際學生能力評價中成績卻持續下降，不盡如人意，如英國15歲學生PISA數學成績排名2009年第28位，2012年第26位，用人單位和高校也抱怨學生沒有具備工作或進一步學習所必需的基本數學知識技能，中小學數學教育質量受到公眾的普遍質疑，引起英國朝野關注，并由此提出基于國際證據的改革教育新主張[1]．

為遴選數學英才，劍橋和牛津對報讀其數學、計算機及相關專業的申請人設置數學附加入學考試，劍橋的第六學期考試STEP（Sixth Term Examination Papers）[2]，牛津的數學入學考試MAT（Mathematics Admissions Test）正是英國兩項久負盛名的數學英才選拔考試（其他大學如帝國理工學院等也鼓勵申請者參加該兩項考試）．其中，MAT重在考查考生理解數學的深度而非廣度，對中國數學考試命題（尤其是大學自主招生考試）具有借鑒意義．以下依MAT官網公布的2007—2014年試題，從內容領域、題型題量、命題方法等方面，分析MAT試題的命題技術及其啟示作用[3]．

1 MAT試題的內容分布

MAT主要依據其2007年發布的考試大綱命題，內容要求相當于A水平核心數學C1和C2模塊水平[4~8]，但問題設計卻不同，考綱包括多項式、代數、微分、積分、圖象、對數和乘方、變換、幾何、三角函數、數列與級數等10部分內容．

MAT考試時長2.5小時，全卷滿分100分，共7大題．2007—2013年第1題為單項選擇題，含A~J共10小題，每小題4分，共40分，2014年起選項由4個變為5個；第2~7題為解答題，考生需根據申請專業選做其中的4題，每題15分，多做或做其他專業的題不得分；牛津大學的數學、數學與哲學、數學與統計學專業/課程做1、2、3、4、5大題，數學與計算機科學專業/課程做1、2、3、5、6題，計算機科學、計算機科學與哲學專業/課程做1、2、5、6、7題，帝國理工學院數學、計算機及相關專業做1、2、3、4、5題；考試不能使用計算器、公式表、詞典[9]．不難發現，題1、2、5共用，數學（含統計）和計算機科學兼有的共性題是3和6，區分兩者之差異的題為4和7，分層設計試題的理念顯而易見．

為合理統計選擇題的學科領域分布，采用主知識點劃分原則，即若題中涉及多個知識點以一個主要知識點所在領域為準，如2011年第1-F題：已知滿足0≤<，且方程表示圓，則取值范圍是，，，任意值．方程化為，由半徑有，又0≤<≥0，故，選．本題涉及多項式中的完全平方式、代數中的解簡單不等式、圖象中的用圖象解不等式、幾何中的圓方程、三角函數中的恒等變形等知識點，但主體應為三角，所有歸為三角函數領域．依此統計，第1題選擇題中，微積分19道（微分8道、積分11道）、方程和不等式17道（多項式12道、代數5道）、函數及其圖象19道（圖象9道、對數和乘方9道、變換1道）、幾何與三角18道（幾何7道、三角11道）、數列9道，內容布列均勻，體現了各專業對數學的共同要求．

統計顯示，解答題的內容領域是相對穩定的，一般地，第2題主要考查函數、方程、不等式與數列（2007、2012函數迭代，2008、2009遞推數列，2010、2011方程與圓，2013函數方程，2014方程和不等式），第3題以微積分為主，第4題重在三角、幾何，第5題是新信息遷移問題，第6題是邏輯推理問題，第7題是與計算機科學相關的問題．

2 MAT試題的命題特色

MAT試題的基本特點表現為題型題量保持相對穩定，背景單純、知識點不多、難度維持在0.5左右（近5年1~5題的平均分為），這得益于其命題設計上的持續創新．

2.1 控制運算量解題思維多樣

“減少運算量，增加思維量”一直是中國高考數學命題追求的理想愿景，多年命題亦不遺余力地付諸實踐并取得一定成績，但距離實現這一目標仍任重道遠，如何予以改善？MAT的積極探索，可謂他山之石．宏觀上，MAT把重思維輕運算理念作為貫穿整套試卷始終的設計原則，整體減少運算量，所有試題的解答無需繁雜計算，但要有數學的頭腦、嚴密的思維，解題思維多樣；微觀上，從隱性與顯性維度控制運算量，確保較好的區分度．

本題就是一道比較典型的隱性控制運算量問題，解題入口寬，方法多樣，思辨地解答則方便快捷，用算法化計算耗時費力、容易出錯．注意到對稱變換（反射）的保持長度不變之性質（和長度相等），以及是單位向量，易知為正確答案；也可用極端化思想，即若越來越大則直線越逼近軸，最終只有能取到點(-1, 0)．如若用常規方法，設點的坐標建立過兩對稱點且垂直于對稱軸的直線方程解聯立方程組求出垂線中點坐標再由中點公式求出的坐標（“垂直又平分”），過程冗長，即便利用的特殊值計算，出錯率也不低(不湊效)．

對于顯性控制運算量，指的是在題中明示不用計算，而是要求說理，“無需計算，解釋為什么……”、“解釋你的答案”、“無需求拐點坐標”等是常見的用詞，這種告白式減少運算量的做法，中國并不多見．

圖1 函數的圖象

如例2的問題，歷屆MAT試題數量不少，其目的是盡量減少無謂的運算，著眼于考量數學思維量．顯然，，該積分可化為，其中、分別是2次和3次多項式，若設其積分依次為、，則，易知這是次數不超過4的多項式．因無需進行定積分運算求，避免了因出錯而導致（ii）、（iv）、（v）的正確解答，各小問環環緊扣，層次分明，淋漓盡致地展現了少運算重思維的命題技術．當然，如果直接計算

那么題目就直白平淡了．

中國近年全國及分省命制的高考數學試題，每年幾乎都設有形如的含參函數問題，但試題設計與例2大相徑庭，形式單一，大都涉及利用導數解決有關函數單調性、零點、最值、不動點、不等式以及由衍生的數列迭代等問題，運算量大（如反復多次構造函數求導），往往作為壓軸大題出現，難度可想而知．

2.2 分層遞進設計考查數學探究能力

遵循數學思維的內在步驟，從特殊到一般、由易及難、分層布列試題，以探究數學對象的規律和解決數學問題的規律，考查學生數學探究能力，是MAT命題的常態，MAT解答題幾乎都如此設計，一題多問、一個關鍵思維節點設問、逐次遞進等是常用的命題手段，即前幾問較為簡單，但滲透著解決這類問題的思路或方法，并將這一思路或方法遷移到后面復雜問題的解決．這樣設計，既有利于學生在新情境中學習新方法，更重要的是考查申請者學習數學的潛力．

這是函數迭代問題，若只要求完成（iii）、（iv），需要重復使用和迭代，直接計算有難度，且不易發現兩小題間的內在關系，使人望題怯步、無從下手．通過（i）、（ii）小題的鋪墊和引導，就能逐次迭代得出結果，從而由推出（iv）．如果直接要求解決（iv），解題難度更大．可見，本題倘若沒有分層遞進設計，運算量“繁死你”、思維量“想死你”（想不出解題思路）難免發生．

2.3 構建新情境并滲透數學建模思想以考核信息加工能力

構建問題情境（實際情境和數學抽象情境）是MAT命題的重要特色，與STEP等其他測試不同，MAT試題涉及的實際情境（個人生活、公共生活與科學情境）數量有限，一般分布在第5、6、7題，除科學情境外大多平實簡單，滲透最基本的數學建模思想；而數學抽象情境屬于新概念、新運算、新定理等“新信息遷移問題”，重在考查學生在新的信息和情境下，獨立獲取、加工和運用新信息的能力，以及繼續學習數學的潛能和創新意識．面對數學新情境，無現成經驗借鑒，現場讀懂新概念、理解新原理、獲取新信息，恰當表征所定義數學概念或符號的涵義是正確解題的前提或關鍵．

例4（2012年第5題） 一特定機器人可執行以下3個命令，即：向前移動1個單位距離；：向左轉90°；：向右轉90°．程序就是一系列命令，程序≥0)定義如下：表示機器人只執行向前命令；≥0)表示先執行、繼而左轉、再執行、最后右轉，即，如．（i）寫出；（ii）執行程序后，機器人走了多遠？即它執行了幾次命令；（iii）設為程序中執行的命令總數，如，，建立與的關系方程，并寫出關于的表達式，不需證明（提示：考慮）；（iv）機器人面朝軸正向、從原點出發，執行程序后，面朝哪個方向？（v）圖2左是機器人執行程序的行走路徑，在圖2右中畫出機器人執行程序的行走路徑；（vi）設為機器人執行后的坐標，如，，求與的關系方程，并計算、的值．

圖2 機器人行走路徑

這道背景簡潔的數列新定義試題，蘊含著素樸本真的數學建模思想，準確把握程序的遞歸定義就不難解決，這也是衡量考生是否具備數學“可持續發展能力”的重要尺度．由遞歸定義易得：；若記為程序中執行命令的個數，則，而，故；同時，可求；因每個包含、的數量相同，機器人執行程序后仍面朝軸正向，路徑圖亦不難作出（此略）；，注意到，，，于是，．

2.4 因循專業所需甄別不同數學能力

除要求學生具有良好的共有數學基礎外，根據不同專業的數學需求，設置不同層次的數學試題以考查不同的數學能力是MAT命題的又一亮點．第4題主要針對數學專業（含統計），內容側重函數、三角與幾何的綜合，試題年年附有圖象，提倡數形結合；第7題是專為計算機科學專業設計的，一般不涉及高深的數學知識，往往與計算機科學中的編程等密切相關，如字符串排列、有限自動機理論等；第6題是數學與計算機領域兼有的邏輯推理問題，突出邏輯推理能力的考查，要求考生具備縝密的邏輯思維．

例5（2007年第6題） Alf、Beth和Gemma三人坐在同一房間里，他們中有一人只說真話、一人總說謊話、另一人有時說謊話有時說真話．在下列情形中，請你確定每個人話語的真實性．（i）假設Alf說“我總說謊”，Beth說“對，Alf總說謊”；那么誰總說謊話？誰總說真話？簡要解釋你的答案．（ii）若Gemma說“Beth一直說實話”，Beth說“這是錯的”；那么誰一直說謊？誰一直說真話？簡要解釋你的結論．（iii）假如Alf說“Beth有時說謊，有時說真話”，Gemma說“Alf一直說謊”，而Beth說“你所聽到的足夠判斷誰一直說真話”；那么誰一直說謊？誰一直說真話？簡要解釋你的答案．

這是一道邏輯判斷題，無需復雜的數學知識與方法，卻需要進行合理的邏輯推理．通過分析、判斷、推理易知，只有有時說謊話有時說真話的人才能說出“我一直說謊”，從而得出（i）中，Alf即是那個有時說謊有時說真話的人，由此推出Beth說謊，最后得知Gemma說實話．（ii）在（i）同樣的前提下，知道說真話的那個人不能說其他人只說真話，所以Gemma不是一直說真話的那個人；如果Gemma的話是對的，這與Beth說“這是錯的”矛盾，所以Gemma的話為假，即Beth不只說真話，于是可知Alf一直說真話、Gemma一直說謊．（iii）是最佳可能問題，設表示Alf只說真話，Beth總說謊話，Gemma有時說謊話有時說真話（以下雷同），考慮全部6種情形；Alf的陳述排除和,Gemma的說法又排除,“沒有”足夠的信息判斷誰一直說真話，故Beth說謊，排除、,只剩,即Alf只說真話、Gemma總說謊話．

從2007—2014年試題看，每年第6題都會出現類似試題，要求判斷涉及“邏輯學家”等簡單情境的說話真假、游戲真假問題，這似乎與大綱不符，其實這是考核基本的數學素養——邏輯推理能力，這是進一步學習數學與計算機科學所必需的．在中國，邏輯推理問題、數字與圖形推理、奇偶性分析、容斥原理、抽屜原理、極端原理等，大多屬于數學競賽范疇（初中數學競賽大綱就有明確規定），公務員考試也有所涉獵，但出現在正常的中小學數學課堂教學與考試中還不多見．

3 MAT命題技術的借鑒意義

2014年9月《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出，“自主招生主要選拔具有學科特長和創新潛質的優秀學生．……試點高校要合理確定考核內容，不得采用聯考方式或組織專門培訓．”在這一新背景下，自主招生如何甄別數學英才的獨立思考能力與解決問題能力？MAT命題技術提供了一個值得借鑒的可行路徑．

首先，分層設計試題，為數學英才發展營造良性環境、拓展成才渠道．多年來，中國數學英才的主要培養模式是數學競賽，實踐中帶有或多或少的功利性而備受社會質疑[10]，恢復或回歸數學競賽之數學英才培育本質，拓寬數學英才培育之數學競賽“華山一條道”，優化中國現行數學課程標準與教材，使學生聚焦核心數學，從日常教學中發現與培育范圍更廣、數量更多的數學英才，并通過高校自主招生（數學）考試如MAT的成功模式予以選拔，使之成為未來STEM（科學、技術、工程、數學）等領域的國家棟梁，是當下亟待解決的迫切問題[11~15]．因此，汲取MAT的命題技術，根據專業需求分層設計數學試題，如有可能可否建立更加專業的考試項目，為選拔數學英才服務，改進目前重點大學自主招生（數學）考試無專業針對性，缺乏公開透明而持續穩定的數學考綱等弊端，不失為一條行之有效的方法．

其次，題型題量相對穩定，保持運算量與思維量的和諧統一．運算量是控制試卷難度的主要手段，如何協調運算量與思維量的合理比例至關重要，需要正確處理思辨與算法的關系；思辨是思想的源泉，離開了思辨，創造性無從談起，分析問題的過程往往蘊含著許多思辨因素，數學教學與評價應引入思辨因素；數學課堂過分強調邏輯演繹能力與計算能力的培養，恰恰忽略了思辨能力的培養．弗賴登塔爾的《作為教育任務的數學》一書就給出若干值得稱道的例子，比如：“設有白酒與紅酒各一杯，兩者份量相同．現從白酒中舀一匙羹放入紅酒杯中，調勻后，舀回一匙羹放入白酒中。問白酒杯中所含紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒？”事實上兩種含量一樣多，其解題思路無外乎兩種：算法求解和思辨求解．前者先設酒杯、匙羹的容量分別為和，后列出方程求解，過程冗繁、容易出錯；后者考慮到兩杯最終所盛液體份量相同，分離各杯中的紅酒、白酒，則白酒杯中的紅酒來自紅酒杯中所失，反之亦然，答案自明．

第三，創設試題情境，強調數學理解，考核創新潛質．這是目前國內外包括MAT在內各類數學選拔性考試的共有特點與趨勢，其目的是考核學生的數學閱讀能力，學會數學閱讀，是數學教育追求的重要目標之一．數學閱讀能力是指從數學公式、圖形、符號、文字等數學材料中提取信息的心理過程能力，其核心是數學現場閱讀理解能力——面對新情境，能夠數學現場（臨場）地閱讀、理解與運用數學概念、原理解決數學問題的能力，亦即現場學習數學知識、現場解決數學問題，也就是數學上的“可持續發展能力”．與語文、外語等自然語言一樣，作為科學語言的數學也承擔著發展學生科學閱讀等數學素養的任務[16~17]．

[1] Gibb N. Reforming Education through International Evidence [EB/OL]. https://www.gov.uk/government/speeches/ nick-gibb-reforming-education-through-international-evidence, 2015-01-23.

[2] 陳昂，任子朝．英國數學英才選拔考試——第六學期數學考試簡介[J]．數學教育學報，2012，21（4）：64-67．

[3] MAT. Specimen and Past Tests [EB/OL]. https://www.maths.ox.ac.uk/study-here/undergraduate-study/maths-admissions -test, 2015-01-18.

[4] 龔益紅．英國GCE A-Level數學課程之核心數學（Core Mathematics）模塊解析[J]．當代教育論壇，2011，（11）：84-85．

[5] 王奮平，喻平．英國高中數學教材知識整體結構設計研究——以CIE考試委員會A水平數學教材為例[J]．數學教育學報，2013，22（5）：32-36．

[6] 王奮平．英國兩種高中數學教材比較研究——以英國Edexcel數學課本和CIMT數學課本復數為例[J]．數學教育學報，2013，22（2）：76-80．

[7] 王奮平．中英高中數學教材復數內容比較研究——以英國AQA數學課本和人教版A版數學課本為例[J]．數學教育學報，2011，20（3）：83-86．

[8] 王奮平．中英高中數學教材比較研究——以英國AQA考試委員會與北師大版高中數學教材平面向量為例[J]．數學教育學報，2011，20（6）：51-55．

[9] 盧建川，廖運章，王華嬌．英國數學英才選拔考試MAT綜合難度分析[J]．數學教育學報，2015，24（6）：31-34．

[10] 廖運章．美國基于CCSSM的高中數學課程設計模式[J]．課程·教材·教法，2012，（9）：113-121．

[11] 李亞玲，張英伯．數學英才教育的國際比較[J]．數學教育學報，2011，20（2）：102．

[12] 倪明，熊斌，夏海涵．俄羅斯高中課程改革的特色——數學課程普通教育與英才教育并舉[J]．數學教育學報，2010，19（5）：12-16．

[13] 游安軍．也論中國數學競賽的教育性質——與羅增儒先生商榷[J]．數學教育學報，2009，18（1）：48-51．

[14] 游安軍．如何正確認識“奧數”的教育價值[J]．數學教育學報，2009，18（5）：69-71．

[15] 張英伯，李建華．英才教育之憂——英才教育的國際比較與數學課程[J]．數學教育學報，2008，17（6）：1-4．

[16] 何小亞．學生“數學素養”指標的理論分析[J]．數學教育學報，2015，24（2）：13-20．

[17] 桂德懷，徐斌艷．數學素養內涵之探析[J]．數學教育學報．2008，17（5）：22-24．

Analysis on Propositions Technology of Mathematics Admissions Test (MAT) in British Mathematical Talent Recruitment Examination

LIAO Yun-zhang1, WANG Hua-jiao2

(1. College of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. Dongjiang Middle School Affiliated to Guangzhou University, Guangdong Heyuan 517500, China)

The Mathematics Aptitude Test (MAT) is one of the British mathematical talent recruitment examination, it also is a pre-interview test for applicants to the University of Oxford’s undergraduate courses in Mathematics, Computer Science and their joint schools. The mathematical knowledge and techniques required to do the questions are taken from a syllabus roughly corresponding to the C1 and C2 modules from A-level maths, though the questions are set more variously than A-level questions. It aims to test the depth of mathematical understanding of a student in the fourth term of their A-levels (or equivalent) rather than a breadth of knowledge. TMA’s propositions is characterized by: reducing the calculation cost, a variety of methods to solve problems; designing items in layered and progressively, to test applicant’s mathematical inquiry ability; building the new situation and penetrating mathematical modeling thought, to estimate applicant’s information processing ability; according to the professional, to distinguish the different mathematical ability of applicants.

mathematical talent; University of Oxford; Mathematics Admissions Test (MAT); propositions technology

[責任編校：張楠]

G633.6

A

1004–9894（2016）03–0034–04

2016–01–09

廣東省高校2014年度“創新強校工程”特色創新項目（教育科研類）——英國GCSE與GCE-AS/A數學“社會化一年多考”機制研究（2014GXJK058）；廣州市高等學校第六批教育教學改革立項項目——基于卓越數學教師培養的《數學教學設計》課程改革與實踐研究（2014-4）；廣州市教育科學“十二五”規劃2013年度課題——中小學幼兒園數學課程標準的國際比較研究（2013A012）

廖運章（1964—），男，仫佬族，廣西羅城人，教授，主要從事數學課程與教學論研究.