中美澳初中數學教材統計內容比較研究

王建波，曹一鳴

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中美澳初中數學教材統計內容比較研究

王建波1，曹一鳴2

（1．北京師范大學出版集團，北京 100875；2．北京師范大學數學科學學院，北京 100875）

從中國、美國、澳大利亞3個國家共選擇4套現行的初中數學教材，以教材中的統計內容為研究對象，從內容設置、內容分布、體例欄目與活動設計、內容廣度與深度等4個方面進行比較研究，4個版本教材統計內容各具特色：IMPACT教材以探究為主線，注重培養學生的問題意識，統計內容占教材的比重最低、內容廣度居中、內容深度最大，呈現出典型的“精而深”的特點；Heinemann教材注重統計的概念和技能，統計內容占教材的比重最高、內容廣度最高、內容深度最小，呈現出典型的“廣而淺”的特點；BNUP教材和PEP教材注重“數據收集、整理與分析”的過程，統計內容占教材的比重居中、內容廣度最低、內容深度居中，對學生的要求介于IMPACT教材和Heinemann教材之間．得到如下啟示：適當增加比重，拓展知識點；優化知識的呈現方式；有效整合統計活動與統計內容．

初中數學教材；統計；比較研究；啟示

1 研究背景

在以信息和技術為基礎的現代社會里，人們身邊充滿著大量的數據[1]，需要從中作出恰當的選擇與判斷．為了更好地了解世界、適應社會，人們必須學會處理各種數據和信息，而統計正是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，統計的基礎知識成為每一個公民都應當具備的基本素質，正如英國學者威爾斯所說：“統計的思維方法，就像讀和寫的能力一樣，將成為效率公民的必備能力．”[2]統計內容在數學課程中也得到越來越高的重視．教育部2001年正式頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》將“統計與概率”作為4個內容領域之一，列入中國義務教育階段各學段的數學課程[3]．《義務教育數學課程標準（2011年版）》進一步將“數據分析觀念”作為數學課程的重要目標之一，明確數據分析是統計的核心[4]．很多國家都將統計內容列為初中數學課程的重要組成部分[5]．

選擇中國、美國、澳大利亞3個國家4套現行初中數學教材，以教材中的統計內容為研究對象，從內容設置、內容分布、體例欄目與活動設計、內容廣度與深度等4個方面進行比較研究，希望對中國統計內容教材的編寫和完善提供一些思考和啟示．

2 研究設計

2.1 教材版本的選取

選擇3個國家教育行政部門發布或推薦使用，且在統計內容的編寫上有一定特色的正式出版教材，情況如下．

中國：按照《義務教育數學課程標準（2011年版）》編寫審定通過的、北京師范大學出版社2012年出版的初中數學教材，該套教材共6冊，每學年兩冊，供7，8，9年級使用，以下簡稱BNUP教材；按照《義務教育數學課程標準（2011年版）》編寫審定通過的、人民教育出版社2012年出版的初中數學教材，該套教科書共6冊，每學年兩冊，供7，8，9年級使用，以下簡稱PEP教材．

美國：由McGraw-Hill Companies 2009年出版的，包括3本，分別是-、、，專為6~8年級學生設計．以下簡稱IMPACT教材．

澳大利亞：澳大利亞沒有全國統一的數學教材，選擇在維多利亞州廣泛使用的Pearson出版集團2008年出版的教材，共4冊．以下簡稱Heinemann教材．

考慮到3個國家的初中學制間存在差異，中國初中三年為7~9三個年級，澳大利亞四年為7~10四個年級．而美國的6，7，8年級剛好是初中階段，分別對應中國和澳大利亞的7，8，9三個年級．因此，選定BNUP教材、PEP教材、Heinemann教材的7，8，9年級和IMPACT教材的6，7，8年級進行比較研究．（為方便表述，以下統一記為7，8，9年級）

2.2 研究方法

采取定性描述與定量刻畫相結合的方法．定性描述包括對4個版本初中數學教材統計內容設置、教材體例欄目、統計活動設計等方面的比較研究，定量刻畫包括對統計內容分布、內容廣度與深度等方面的比較研究．

2.3 比較維度

2.3.1 內容設置

對比4個版本初中數學教材統計內容目錄及包含的章節情況．

2.3.2 內容分布

通過對內容所占的頁碼數（主要是正文內容，去掉了前言、目錄、后記等）進行比較，定量分析統計內容在4個版本教材中所占的比重．

2.3.3 體例欄目與活動設計

對比4個版本初中數學教材統計內容的教材體例欄目、統計活動設計．

2.3.4 內容廣度與深度

內容廣度是指教材所涉及的范圍和領域的廣泛程度，考慮到研究對象是4個版本初中數學教材統計內容，內容廣度用統計內容所包括的知識點個數來量化．

內容深度主要根據知識點所含概念的呈現方式進行刻畫，概念的呈現方式分為直觀描述、歸納、演繹3種類型，分別賦值1，2，3．

（1）直觀描述：僅僅通過一個案例的呈現描述相關概念．例如案例1“數據”，Heinemann教材開門見山、簡潔明了地呈現了數據的概念，讓學生對數據這一統計中的核心概念有基本的了解．

【案例1 “數據”】In this topic we talk a lot about data. Data is simply information that has been collected in some way.

譯文：在這個話題中我們討論有關數據的內容．簡單地說，數據就是能夠通過某種方式收集到的信息．

（2）歸納：至少通過兩個或兩個以上案例進行歸納，獲得一般結果．例如案例2“加權平均數”．

【案例2 “加權平均數”】BNUP教材在學習算術平均數的基礎上，通過某廣告公司招聘廣告策劃人員的例題，讓學生體會到在實際問題中，一組數據里的各個數據的“重要程度”未必相同，從而引入了加權平均數的概念，并讓學生體會平均數與加權平均數的區別與聯系．進而，教材又給出了學校進行廣播操比賽的案例，讓學生應用加權平均數解決實際問題，加深對加權平均數概念的理解，并在此基礎上讓學生自己舉出生活中加權平均數的實例．

BNUP教材采取歸納的方式幫助學生理解加權平均數的意義，并通過案例加深理解，進行應用．

（3）演繹：從普遍性的數學理論知識出發，去認識個別的、特殊的數學概念的一種邏輯推理方法．

3 研究結果與分析

3.1 內容設置

4個版本初中數學教材統計內容的設置如表1．

表1 4個版本初中數學教材統計內容設置

從表1可以得到：BNUP教材和PEP教材統計內容均按照“數據收集、整理與分析”的過程展開，BNUP教材共有兩章、8節內容、4個綜合與實踐活動，PEP教材共有兩章、6節內容（含兩節課題學習）、兩個數學活動；IMPACT教材以“探究”為線索展開，共有3章、5節內容、18個探究活動；Heinemann教材則以知識為線索展開，共有3章、18節內容、4個探究活動和3個任務設計．

需要說明的是，BNUP教材和PEP教材統計與概率內容都是分章獨立編寫，章名根據具體內容的不同而不同．而IMPACT教材和Heinemann教材統計與概率內容則是整體設計的，以更好地體現統計與概率之間的聯系：IMPACT教材3個年級統計與概率內容均是合在一章內，章名為“數據和概率”；Heinemann教材在7年級和8年級統計與概率內容是合在一章的，章名為“機會和數據”，9年級則是統計與概率內容分章獨立編寫的，章名分別為“統計”和“概率”．（考慮到篇幅，表1沒有呈現各版本教材中的概率內容）

3.2 內容分布

10個國家初中數學教材內容分布的國際比較研究顯示，“數與代數”、“測量與幾何”、“統計與概率”3部分平均各占的百分比為：56%，32%，12%，“統計與概率”內容分布比重最低[6]．中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》，“統計與概率”領域在第一學段（1~3年級）、第二學段（4~6年級）、第三學段（7~9年級）的內容條目數分別為3條、8條和11條，第三學段所占比重為7.33%．對美國數學課程標準內容分布的研究顯示，美國初中“統計與概率”內容條目數在7，8，9年級分別為5條、8條和4條，8年級所占的比重最高[7]．對澳大利亞數學課程標準內容分布的研究顯示，“數與代數”“測量與幾何”內容很多，雖然相比之下，“統計與概率”內容比重略少，但條目頻數累計達58 條，7，8，9，10年級條目數分別為6條、6條、7條、8條，足以見其對統計與概率知識的重視[8]．

分別統計BNUP教材、PEP教材、IMPACT教材、Heinemann教材“統計”內容在每個年級所占頁碼數，以及每個年級教材總頁碼數，并分別計算“統計”內容所占頁碼數與教材總頁碼數的比值，得到的結果如表2．

從表2可以得到：統計內容在4個版本教材內容中所占的總體比重都相對較低，均未超過10%．其中，Heinemann教材各年級統計內容占教材的比重比較平均，且總體比重最高；BNUP教材、PEP教材各年級統計內容占教材的比重差異最大，兩教材總體比重相當，在4個版本中居中；IMPACT教材統計內容占教材的總體比重最低．

表2 4個版本初中數學教材統計內容分布

表3 4個版本初中數學教材統計內容體例欄目與活動設計

3.3 體例欄目與活動設計

3.3.1 體例欄目相同之處

從表3可以看出：4個版本教材均按照章節順序呈現所學內容，欄目設置上有以下相同之處，即章前設置主題圖、章引言，節內容是教材的核心部分，且節內設置例題和習題，章末設置復習題．

3.3.2 體例欄目不同之處

BNUP教材、PEP教材和IMPACT教材每節內容均以問題情境或問題探究入手，通過設置問題或探究以及不同的欄目設計引導學生思考，引出要學的統計內容，如，BNUP教材設置“做一做”、“想一想”、“議一議”等欄目，PEP教材設置“思考”、“歸納”、“探究”等欄目，IMPACT教材設置“思考與討論”、“發展與理解”、“分享與總結”等欄目．Heinemann教材則通過直觀描述、類比歸納等方式呈現重要的統計知識和概念．

另外，在章前，BNUP教材明確提出了章學習目標；IMPACT教材有章目錄與學習指引；Heinemann教材有章學習目標，且設置了“預備區域”，幫助學生復習與本章內容相關的已學知識．在章末，BNUP教材設置“回顧與思考”欄目，引導學生梳理所學知識，建立符合個體認知特點的知識結構；PEP教材設置“小結”欄目，給出本章知識結構圖．

3.3.3 統計活動設計

對比4個版本教材統計活動的設計，IMPACT教材將統計內容的學習融入到統計活動的過程中，通過探究活動讓學生經歷討論、理解、總結等過程；Heinemann教材專門設計了與節內容并行的“探究”和“任務設計”兩類統計活動，分別以問題和任務的形式引發學生進行思考和設計，在解決問題和完成任務的過程中應用所學的統計知識和統計方法；PEP教材在章末設置“課題學習”和“數學活動”兩個欄目，分別以課題和活動的形式引導學生從事統計活動；BNUP教材則是在全書最后設置了與章內容并行的“綜合與實踐”，讓學生經歷“從具體問題出發，提出有價值的統計問題，并通過收集數據、整理數據、分析數據，從而作出合理的推斷”這一完整過程．

3.4 內容廣度與深度

4個版本初中數學教材統計內容的知識點及知識點所含概念的情況如表4（表格括號中的內容均為相應知識點所含的概念）．

表4 4個版本初中數學教材統計內容知識點及所含概念

3.4.1 內容廣度

根據表4中4個版本初中數學教材統計內容的知識點情況，以教材內容所包含“知識點”的個數來刻畫內容廣度，可以得到BNUP教材、PEP教材、IMPACT教材和Heinemann教材統計內容的廣度值分別為16，17，22，26．在內容廣度方面，Heinemann教材最高、IMPACT教材其次、PEP教材和BNUP教材排最后兩位．

3.4.2 內容深度

統計內容的知識點及其所包含的概念在不同版本教材中是如何處理的，不同教材采取什么方式呈現相應的統計知識和概念，這些均涉及內容深度問題．同樣的數學內容通過不同的呈現方式會導致不同的難度，對學生理解和掌握相應的知識和概念起著至關重要的作用，因此研究內容的呈現方式非常重要．內容深度泛指課程內容所需要的思維深度，較為抽象[9]，根據知識點所含概念的呈現方式進行刻畫，概念的呈現方式分為直觀描述、歸納、演繹3種類型，分別賦值1，2，3．

由此，可以得到表4中各版本教材每一個知識點的內容深度值，根據前文中內容深度的計算公式，可以求出BNUP教材、PEP教材、IMPACT教材和Heinemann教材統計內容的深度值分別為1.187?5，1.235?3，1.863?6，1.076?9．在內容深度方面，IMPACT教材最大、PEP教材和BNUP教材其次、Heinemann教材最小．

4 研究結論及啟示

4.1 中美澳3國教材統計內容各具特色并各有所長

IMPACT教材以探究為主線，注重培養學生的問題意識，將統計知識的學習融入統計活動及問題解決的過程之中，教材通過對問題情境的思考、討論和理解，引導學生進行交流與總結，在解決問題的同時掌握相應的統計知識，滲透相關的統計思想．IMPACT教材統計內容占教材的比重最低、內容廣度居中、內容深度在4個版本中排名第一，對學生的思維水平的要求也最高，內容呈現出典型的“精而深”的特點．

Heinemann教材注重統計的概念和技能，通過直觀描述、類比歸納等方式呈現重要的統計知識和概念，并通過大量的例題加深對相應內容的理解，同時給出解決一般問題的規范步驟和方法．此外，教材還通過大量與例題匹配度較高的習題進行復習與鞏固，以提升學生對知識的更高水平的理解[10]．Heinemann教材統計內容占教材的比重最高、內容廣度最高、內容深度在4個版本中最小，對學生思維挑戰性相對也最低，內容呈現出典型的“廣而淺”的特點．

PEP教材和BNUP教材在設計思路、內容設置和呈現方式等方面比較類似，均遵循“數據收集、整理與分析”的過程，強調在數據分析的過程中掌握統計的基本方法，體會統計對決策的作用，培養學生的統計意識．PEP教材和BNUP教材在統計內容所占比重、內容的廣度和深度方面指標也比較接近，統計內容占教材的比重居中、內容廣度最低、內容深度在4個版本中排名居中，對學生的要求也介于IMPACT教材和Heinemann教材之間．

4.2 對中國教材建設的啟示

（1）適當增加統計內容的比重，拓展知識點．

前面的研究結果與分析顯示：BNUP教材和PEP教材的統計內容分別以6.89%和6.41%的分布比重排名第二和第三位，比Heinemann教材分別少了3.05%和3.53%．同時，PEP教材和BNUP教材統計內容廣度最低，即知識點數量最少．如，4個版本教材在統計圖的內容中都設置了扇形圖、條形圖、線形圖和直方圖，而IMPACT教材和Heinemann教材還設置了雙條形圖、莖葉圖與盒式圖等．另外，統計與概率教學內容的研究表明，雖然一些教材的編排達到要求，但還有一些問題，如內容編排的層次、梯度不夠清晰[11]．因此，建議適當增加中國教材統計內容的比重，拓展相關知識點，并進一步加強統計內容的層次性，使學生在初中階段有機會了解更多的統計知識和統計方法，且更符合學生的認知結構與學習規律．

另外，教材中還應特別關注統計的核心概念．2010年由全美州長協會和美國各州教育長官委員會聯合推出的《統一核心州數學標準》[12]著重強調“突出重點（focused）”、“注重連貫（coherent）”兩個核心思想[13]．如，數據和分布是統計中的核心概念，在Heinemann教材和IMPACT教材中都有涉及．在生活、工作和學習中處處都有大量的數據，但數據并不等于信息，真正有用的信息是隱藏在這些數據之后的關于數據整體特征的描述及對其發展趨勢的預測[14]．而分布就可以用于描述數據的整體特征，一旦明確了數據的分布，也就對數據的規律有了全面把握．因此，建議在中國教材中增加數據與分布等內容，幫助學生發現數據的整體特征，并重視數據、分布與統計圖表和統計量的聯系，這將有助于學生整體理解數據和把握統計內容．

（2）貼近學生實際，優化知識的呈現方式．

進一步研究4個版本教材統計內容知識點的呈現方式，匯總情況見表5．美國IMPACT教材的22個知識點中，除3個是直觀描述外，其它19個均是歸納所得．教材一般是通過提出實際問題，讓學生進行自主探究和思考，并在解決問題的過程中學習統計的相關內容．在這個過程中，學生在探究、思考的基礎上歸納并掌握相關的統計知識．因此，IMPACT教材的內容深度以1.863?6排名4個版本第一位，對學生的要求也比較高．而Heinemann教材的26個知識點中，除兩個是歸納外，其它24個均是直觀描述的方式，且基本都是以例題的方式進行講解或歸納，從而呈現相應的統計內容．Heinemann教材的例題數量高達24個，遠遠高于其它3個版本教材，例題針對統計內容的學習給出了有效的指導，步驟也非常詳細，降低了學生學習的難度．因此，Heinemann教材的內容深度以1.076?9排名最后，對學生的要求也比較低．

表5 4個版本初中數學教材統計知識呈現方式匯總

中國的PEP教材和BNUP教材在內容深度上比較接近，均有13個知識點是直觀描述，分別只有3個和4個知識點是歸納，內容深度值在4個版本教材中排名中間，相比而言學生掌握起來比較簡單，但是對學生的挑戰性不夠，教材呈現的概念和問題大都比較簡單和直接，缺乏一些貼近實際又能引發學生進行思考與實踐的內容，難以激發學生的學習興趣．因此，建議優化中國教材統計知識的呈現方式，無論是直觀描述、還是歸納，均設計一些貼近學生生活實際或與其它學科相聯系的欄目和內容，通過直觀感受、思考操作、歸納等多種方式獲取新知，構建自己對相應知識的理解，并在此過程中不斷積累基本活動經驗．

（3）創新欄目設計，有效整合統計活動與統計內容．

數學的學習主要應是一個自發探究的過程[15]，統計的學習本質上是統計活動的學習，而不是概念和公式的學習．數學探究學習的開展應立足于過程知識的獲取，而不是一味地追求結果知識的掌握[16]．要特別注重統計的過程，即讓學生經歷“收集數據——整理數據——分析數據——作出推斷”的全過程．之所以如此，是因為處理統計問題的思維方式和傳統的數學思維方式有所不同，傳統的數學更強調演繹推理，而統計是根據具體東西概括出來的，所以更強調歸納的過程．

IMPACT教材統計活動與統計知識融為一體；Heinemann教材的統計活動與統計知識則是在章內穿插進行；而PEP教材和BNUP教材的統計活動是與初中階段“綜合與實踐”內容領域整體進行設計的，強調讓學生經歷設計解決具體問題的方案并加以實施的過程，反思參與活動的全過程，進一步獲得數學活動經驗，發展應用意識和能力．因此，統計活動都安排在全書的最后或統計內容的章末，讓學生相對完整地經歷統計活動的全過程．建議中國教材統計活動的設計可以在保持現有特色的基礎上，吸收借鑒其它兩個版本教材的處理方式，將統計活動的開展和統計內容的學習進行更有效地整合，使統計活動經驗的積累和統計知識方法的掌握相互促進．例如，可以在統計內容的章內創新設計與節內容并行的統計活動欄目，適當增加部分活動環節相對較少的統計活動．這樣的改進會帶來兩個好處：一是有更多從事統計活動的機會，這樣更有助于學生統計意識的培養，因為要使學生逐步建立統計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入到統計活動中[17]；二是在統計內容學習的不同階段，學生經歷的統計活動環節各有所側重，能夠幫助他們循序漸進地經歷統計活動的全過程，有利于他們掌握運用統計思想解決問題的方法．

[1] 童莉，張號，張寧．義務教育階段學生數據分析觀念的評價框架建構[J]．數學教育學報，2014，23（2）：45-48．

[2] 曲元海，項昭，李俊揚，等．初中生學習統計量理解水平的調查分析[J]．數學教育學報，2006，15（1）：50-53．

[3] 中華人民共和國教育部．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學出版社，2001．

[4] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[5] 曹一鳴．十三國數學課程標準評介[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[6] 吳立寶，曹一鳴．初中數學課程內容分布的國際比較研究[J]．教育學報，2013，（2）：29-36．

[7] 康玥媛，曹一鳴．中英美小學初中數學課程標準中內容分布的比較研究[J]．課程·教材·教法，2013，（4）：118-122．

[8] 康玥媛．澳大利亞全國統一數學課程標準評析[J]．數學教育學報，2011，20（5）：81-85．

[9] 周九詩，王延文.中英初中數學教科書難易程度的比較研究——以中國“人教版”和英國《數學連接》為例[J].數學教育學報，2013，22（3）：18-23.

[10] 吳立寶，曹一鳴，董連春．澳大利亞初中Heinemann數學教科書編排結構特點及啟示[J]．數學教育學報，2013，22（5）：21-26．

[11] 高海燕，鞏子坤．義務教育階段統計與概率教學研究的進展與問題[J]．數學教育學報，2010，19（3）：12-14．

[12] ?National Governors Association and The Council of Chief State School Officers. Common Core State Standards for Mathematics [EB/OL]. http://www. corestandards. org/ assets /CCSSI＿Math%20Standards.pdf, 2010.

[13] 張楠．中美義務教育數學課程標準“統計與概率”領域的比較研究[J]．數學教育學報，2014，23（1）：88-91．

[14] 李紅梅．數據分析觀念的認識及調查分析——以七年級為例[J]．數學教育學報，2014，23（4）：78-82．

[15] 寧連華．數學探究學習研究的特點及其思考[J]．數學教育學報，2005，14（4）：28-30．

[16] 馬一新．基于過程知識的數學探究學習展開的幾個環節[J]．數學教育學報，2008，17（6）：12-15．

[17] 張丹，呂建生，張春莉．統計觀念的發展和培養[J]．數學教育學報，2002，11（2）：61-63．

Comparative Study of Statistics in Junior High Schools Based on Mathematics Textbooks of China, the US and Australia

WANG Jian-bo1, CAO Yi-ming2

(1. Beijing Normal University Publishing Group, Beijing 100875, China;2. School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The content of statistics in current four versions mathematics textbooks used in junior high schools of China, the US and Australia, are chosen as the objects in this study. The paper conducts a comparative study in light of content, content distribution, style column and activity design, and content width and depth. This study shows that the content of statistics in the textbooks of four versions have their own characteristics: IMPACT textbooks follows the main clue of investigation, focus on training students awareness of the problem, the statistical content has the lowest proportion, the middle width of content, and the maximum depth of content, showing a typical “precise and deep” characteristics; Heinemann textbooks focus on concepts and skills of statistics, the statistical content has the highest proportion, the highest width of content, and the minimum depth of content, showing a typical “wide and shallow” characteristics; BNUP textbooks and PEP textbooks pay attention to the process of “data collection, collation and analysis”, the statistical content has the middle proportion, the lowest width of content, and the middle depth of content, the requirements to the students between IMPACT textbooks and Heinemann textbooks. Get some enlightenment: increasing the proportion and expand the knowledge points; optimize the presentation of knowledge; integrate the statistical activity and statistical content.

mathematics textbooks; statistics; comparative study; enlightenment

[責任編校：張楠]

G40-059.3

A

1004–9894（2016）03–0014–06

2016–01–10

國家社會科學基金“十二五”規劃教育學重點課題——中小學理科教材國際比較研究（初中數學）（AHA120008）

王建波（1976—），男，江西吉安人，副編審，博士，主要從事數學教材研究．