微積分基礎理論三個重要節點的研究

朱孝春[1]

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微積分基礎理論三個重要節點的研究

朱孝春[1]

（浙江同濟科技職業學院 基礎部，浙江 杭州 311231）

微積分的學習，需要改變原來的靜態思維模式，把握函數是微積分學科的研究對象，極限是考察數值變化的基本思想，導數是分析函數變化的主要工具．用動態的角度去探索量的變化關系，進而提煉為用哲學的理念去觀察事物的現象和發展規律，理解微積分基礎的理論結構，最終領悟微積分學的數學思想．

思維模式；數學思想；辯證法

微積分的學習不僅為后續課程的探究提供了有力的數學工具，它的思想對于學生一生的學習與工作將產生重要而深遠的影響[1]．要學好微積分這門課程，必須了解它的結構、原理和內在的關系，本文總結了微積分基礎理論的三個重要節點，并對其教學過程進行研究．

1牢記基本初等函數的圖像和性質

2熟練掌握導數的計算

導數是研究函數變化關系的最常用工具，因為微積分理論中處處都有求導的問題．如平面光滑曲線上切線的點斜式方程、洛比達法則的運算式、可導函數一階導數符號的單調判別及二階導數符號的凹向判別、不定積分概念和定積分牛頓-萊布尼茲公式中被積函數與原函數的關系、空間光滑曲線上切線的點向式方程及法平面的點法式方程、空間光滑曲面的切平面方程及法線方程、曲線積分中的格林公式、函數的泰勒級數展開式的通項等．在記憶公式和性質時，同樣需要運用記憶術．如三角函數和反三角函數的導數公式，需要模塊記憶，它們的符號依次是“先正后負、正負交錯”．反三角函數的導數公式分兩組，每組大小相等，形式另記．需要指出的是，公式和法則中出現的變量只是一個符號，表示一個元素，而等號的右邊正是說明左邊的表達式關于這個元素求導的結果．對于復合函數的導數問題，只要把中間變量整體看成為一個元素，先對原來的函數關于這個元素求導，再乘上這個元素關于最終變量（即自變量）的導數，即便是中間變量有許多，無非是重復使用該方法罷了．

3用哲學思想去理解和體會微積分學

數學和哲學的關系，猶如物理和數學，相互依賴，相互促進[4]．學習微積分，就是要學習它的嚴謹性、邏輯性和辨證性，它的靈魂便是哲學．數學的哲學思想是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁[5]，運用數學的哲學思想，能使學生對微積分的認識和理解，提升到更加宏觀和系統的層次[6]．

3.1運動與靜止

靜止是暫時的，運動是永恒的．初等數學中的觀點和方法，比較注重結果，通常可以用“靜止”兩個字來概述，是運動事物在瞬間的最簡單狀態．而微積分，因為有了極限的理論，它的思維模式完全發生了變化，更多的是研究事物發展的趨勢，需要用運動的角度去觀察問題，這就是微積分的深刻本質[7]．如果不能及時轉變觀念，學習過程將是非常痛苦的．如數列：0.9，0.99，0.999，0.999 9，…，它的每一項都是不變的常數，且不等于1，而它的通項又是一個關于的變化量．隨著的不斷增大，數列的通項越來越接近1，它與1的距離要有多小就有多小，說明在的條件下，的變化趨勢是一個靜止量1，用極限符號把它記為，換言之，0.999 9…=1．函數的定義域，雖然不能取1，但卻可以無限地靠近1，在靠近的過程中又始終不等于1．這時，即．

3.2一般與特殊

微分中值定理是體現一般與特殊關系的典例．可以知道，羅爾定理是拉格朗日定理在條件下的特殊形式，而拉格朗日定理又是柯西定理當的一個結果．說明同一事物（如拉格朗日定理）在一定的條件下是一般的，在另一條件下卻又是特殊的，一般和特殊都是相對的而不是絕對的，并且具有遞推性質，即是的特殊，又是的特殊，則也是的特殊．同時，事物與事物之間，在一定的條件下又可以相互轉化．若在羅爾定理中令，則可以推出拉格朗日定理，類似地，令，也可以由羅爾定理推出柯西定理．

3.3有限與無限

分析一個事物，可以通過研究它的對立面來解決，反例可以使學生比較直接地發現其中的區別與聯系，進而更好地理解這些內容[8]．對于無限區間的反常積分，因為積分區間是一個無限區間，無法直接應用牛頓-萊布尼茲公式，于是退一步，先討論相應的有限區間，求出，再考察極限．如果此極限存在，則，否則原反常積分發散．在無窮級數收斂和的計算時，先求出前個有限項的和，然后取極限．假設該極限存在，它的值為常數，那么收斂于，即，否則原無窮級數發散．這樣，先把無限化有限，再把有限變無限，通過極限理論，使兩個對立的事物得到了統一．

[1] 林喜季．高校微積分教學研究[J]．吉林教育，2012（8）：8-9

[2] 高本重郎．記憶術[M]．林懷秋，譯．長沙：湖南科學技術出版社，1982

[3] 張鼎．微積分教學方法探討[J]．試題與研究：教學論壇，2014（17）：21-23

[4] 張慧．高職微積分教學探索與實踐[J]．內蒙古電大學刊，2011（1）：99-100

[5] 顏有祥．微積分的基本數學思想[J]．學園·教育科研，2012（17）：61-63

[6] 李明，單連峰．簡論微積分中的四種數學哲學思想[J]．數理醫藥學雜志，2011（2）：250-252

[7] 湯彬如．蘇步青先生的數學哲學思想[J]．南昌教育學院學報，2006（3）：8-10

[8] 殷煒棟．微積分教學中的反例[J]．浙江科技學院學報，2014（3）：232-236

Research on basic theories of calculus from three important nodes

ZHU Xiao-chun

（Department of Basic Course，Zhejiang Tongji Vocational College of Science and Technology，Hangzhou 311231，China）

The thinking mode of learning calculus should be changed from the traditional mode to a new mode．In the new mode of learning，the function should be studied，the limit should be paid attention，and the derivative should be used as one of the main tools．The analysis of the change of the quantities should be observed in the dynamic perspective，so that the observation to the phenomenon and developing rules will be on the base of philosophy，and the learning of calculus will be happy．

thinking modes；philosophy of math；dialectic

1007-9831（2016）02-0059-03

O171∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.02.017

2015-08-10

朱孝春（1959-），男，浙江杭州人，副教授，從事數學教學與教研工作．E-mail：hz.zxc@163.com