微積分教學中關于多元函數極值的2個注記

金少華，陳秀引，臧婷

?

微積分教學中關于多元函數極值的2個注記

金少華，陳秀引，臧婷

多元函數微分學是一元函數微分學的一種自然延伸與發展，但由于涉及的變元從一個變為多個，變量之間的關系變得更為復雜，從而產生出一些與一元函數微分學顯著不同的性質和特點，把握這些新的特點是學習時應當特別注意的地方．

命題1[1]]如果函數在區間（開或閉，有限或無限）內連續、可導且在區間內只有唯一一個極值點，且為極大（小）值點，則該極大（小）值就是在區間上的最大（小）值．

問題是能否將命題1推廣到二元函數，即能否將命題1推廣為：如果二元函數在有界閉區域上連續、在內可微．若在內只有唯一一個極值點，且為極大（小）值點，則該極大（小）值就是在有界閉區域上的最大（小）值．

例1說明命題1不能推廣到二元函數．

命題2[2]可導且只有有限多個駐點的一元函數，在它的2個極小值點之間必定有極大值點．

例2表明，命題2結論對多元函數未必成立．

參考文獻：

[1] 同濟大學應用數學系．微積分[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010

[2] 陳啟浩．大學生數學競賽輔導[M]．北京：機械工業出版社，2014

（作者單位：河北工業大學 理學院，天津300401）

河北省高等教育學會“十二五”規劃教研立項課題（GJXH2015-269）；河北工業大學教研立項重點項目（201502022）；2016—2017年度河北省高等教育教學改革研究與實踐項目（2016GJJG024）