概率論與數理統計教學探討

余國勝

?

概率論與數理統計教學探討

余國勝

（江漢大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056）

概率論與數理統計是大部分工科學生的必修課，結合教學實踐，對如何提高概率論與數理統計的教學質量提出幾點措施．

普通高等學校；概率論與數理統計；教學質量

概率論與數理統計課程是研究隨機現象的統計規律性，因此，它的思維方法有別于學生之前所學習的高等數學和線性代數等數學課程的思維方法．在學習過程中往往不適應，甚至感到非常困難．如何激發學生的學習興趣，調動他們學習的積極性，成為普通高等學校概率論與數理統計教師面臨的頭等問題．本文就此提出幾種常用的概率論與數理統計教學方法．

1　激發學生學習興趣，加深對概率論與數理統計知識的理解

教授隨機事件頻率前，可以講述歷史上許多“數學瘋子”做過“拋硬幣”的實驗，然后讓學生與書上的數據進行比較，從而加深對頻率穩定性的理解，學生的學習效果就會大大提高．如講授不獨立性不符合傳遞律[1]，即不獨立，不獨立，則可以獨立．可以結合實際例子，設試驗是擲3個均勻的硬幣．定義事件=“全為正面或全為反面”；=“至多2個正面”；=“至少2個正面”．容易算出，，，，，．于是有，，．從而不獨立，但與卻獨立，這樣可以加深對概率論與數理統計知識的理解．

2　通過辯證思維，加深對概率論與數理統計課程的理解

將陌生的問題遷移轉化為熟悉的問題[2]．如獨立同分布中心極限定理是已經熟悉的，而棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是陌生的．要想證明后者，就要想辦法借助前者，既要把陌生的轉化為熟悉的，也要把改造成相互獨立的隨機變量之和，從而得證這種方法是提高解決問題能力的重要途徑．此外，為了解決問題，有時可以先“退”一步，先研究生活中的簡單實例．如最大似然估計的思想很抽象[3]，學生理解起來有困難，這時讓學生先考察一個簡單的例子．一車上裝有大小不同的２筐水果．第1筐中80%是蘋果，20%是桔子；第2筐中20%是蘋果，80%是桔子．忽然從車上掉下一個蘋果，此時估計它是從哪一筐里掉出來的．學生認為蘋果從第1筐里掉出的可能性大，因為它在第1筐中所占比例比在第2筐中的比例大．最大似然估計的基本思想就是根據這種想法引申出來的，接下來再闡明最大似然估計的基本思想．辯證法在解決概率論與數理統計問題中有著十分廣泛的應用．“一般”與“特殊”總是相對的，對于“一般”問題來說，“特殊”問題的解決往往是比較容易、比較簡單的，通過類比思維和歸納思維來得出“一般”問題的解決方法．最后，一般概率論與數理統計問題中涉及“高維”情形時，都是通過“降維”的思想方法來解決的．然而，有很多問題若從“升”的角度來考慮，也能使問題得到更快更簡便的解決．如設隨機變量是以點，，為頂點的三角形區域上服從均勻分布，試求隨機變量的方差[4]．依題意設的聯合概率密度為，計算，顯然可直接應用公式來計算．本題相當于解決一維隨機變量的問題，可將其“升維”至二維，利用二維隨機變量的分布來求的方差．這在概率論中是一個重要的思想方法，其依據就是表示定理．本題既是一個基本題，也是一個典型題[5]．可以設想當拋擲次數較多時，一般不再將樣本空間中的樣本點一一列出，而是利用排列或者組合來計算．事實上，可以用更一般的方法來計算．一枚硬幣連拋3次相當于同一試驗做了3次，且3次試驗互不影響，即3次試驗是相互獨立的，試驗可獨立重復進行，其為三重伯努利試驗．，，，這種思維方法可概括為“表示問題、分解問題、轉化問題”，它是處理更一般問題時常用的方法．由此可見，通過小結可以使學生做到舉一反三．

3　反例教學加深對基本概念的理解

反例是推翻錯誤命題的手段[6]，在概率論與數理統計中，有時恰如其分地舉出一個反例，對于說明一個陳述的不真會收到意想不到的效果．蓋爾鮑姆B R和奧姆斯特德J M曾說：“一個數學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲?。比缡录蓛瑟毩ⅲ⒎窍嗷オ毩⒌睦樱谙嗤瑮l件下將一顆骰子擲2次．=“第一次擲得偶數點”．=“第二次擲得奇數點”．=“2次擲得奇數點或偶數點”．，，．于是兩兩獨立，但，因此不相互獨立．在教學過程中，學生第一次作業時，遇到，就認為．此時可以告訴學生學了連續隨機變量后，它取任何實數值的概率均為0，但它并非不可能事件．學生知道原來概率為0的事件并非不可能事件，概率為1的事件并非必然事件，也為后面內容的學習打下了伏筆[7]．

4　綜合運用數學中各分科知識

遇到概率論與數理統計問題時，要靈活運用基礎知識，善于發現問題中的各種信息和隱含條件，全面觀察問題的特點，溝通各科知識之間的內在聯系．如一道概率論與高等數學的綜合題[8]：設隨機變量在上取值，證明不妨以連續型隨機變量為例，設的概率密度為則而且，于是有，，從而有．即令，則再令得．而，故，在處取得極小值且唯一，所以此時也即取得最小值，最小值為．將一個概率問題歸結為一個高等數學極值問題，取則有，問題迎刃而解．

此外，一道概率論與線性代數的綜合題[9]，已知隨機變量，，且與相互獨立，又維向量線性無關．求向量線性相關的概率．先用線性代數中的基本概念與充要條件，將事件“線性相關”表示出來，而后應用隨機變量之間的關系、計算概率的方法求解．令，即由于線性無關，所以必滿足．

綜合利用數學各分支的知識解決概率論與數理統計問題，可以達到觸類旁通的效果[10]．

參考文獻：

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數理統計學習[M]．北京：高等教育出版社，2008

[2] 沙秀艷，辛杰．《概率論與數理統計》教學實踐與探索[J]．大學數學，2013，29（4）：9-12

[3] 高晴，徐全智，黃廷祝．概率統計課程中數學創新思維訓練方法及實踐[J]．大學數學，2014，30（3）：51-56

[4] 許靜，蘇燕玲．《概率論與數理統計》應用實例選講[J]．大學數學，2014，30（4）：123-126

[5] 黃麗容．普通高校概率論與數理統計教學之體會[J]．高教學刊，2016（4）：95-98

[6] 申廣君．概率論與數理統計課程中反例教學的例證研究[J]．大學教育，2013，29（2）：84-85

[7] 黨瑋．關于概率論與數理統計教學的幾點認識[J]．數學教學研究，2006，25（1）：20-21

[8] 徐群芳．《概率論與數理統計》課程教學的探索與實踐[J]．大學數學，2010，26（1）：10-13

[9] 王劍凌．概率論與數理統計課程的教學創新[J]．福建教育學院學報，2015（1）：62-64

[10] 孟憲勇，馮巍．概率論與數理統計入門教學的實踐與探索[J]．大學數學，2013，29（4）：139-141

Preliminary study of probability and mathematical statistics

YU Guo-sheng

（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，China）

Probability and mathematical statistics is a common compulsory course for undergraduates majoring in engineering．Unifies teaching practice，provide several measures to improve the teaching quality about probability and mathematical statistics．

common colleges and universities；probability and mathematical statistics；teaching quality

1007-9831（2016）10-0058-03

O21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.017

2016-07-16

2015年武漢市教育局市屬高校教學研究項目（2015057）

余國勝（1980-），男，湖北武漢人，講師，博士，主要從事隨機動力系統和金融數學方面的研究．E-mail：1976859950@qq.com