稠密集與疏朗集

蔣巧云，袁邢華

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稠密集與疏朗集

蔣巧云1，袁邢華

（南通大學 理學院，江蘇 南通 226019）

從定義、基數和測度等方面討論了稠密集與疏朗集之間的關系，使得學生更好地了解和掌握這個內容．

基數；測度；稠密集；疏朗集

實變函數是本科階段數學專業的一門重要專業基礎課，由于該課程具有概念性強、內容抽象、推理嚴謹、題目難做等特點．因此，成為數學系專業課程中公認的既難教又難學的一門課程．把握好教材教法是上好這門課的關鍵，本文就稠密集與疏朗集作出一些簡單的探討．

1　定義

定義1[1]設，若，則稱為中的稠密集；若，則稱為中的無處稠密集（疏朗集）；可數多個無處稠密集（疏朗集）的并集稱為第一綱集，不是第一綱集的集合稱為第二綱集．

定義2[2]設，若對于任意，有，則稱為中的稠密集；設，若，有，則稱為中的無處稠密集（疏朗集）．

2　稠密集與疏朗集的關系

定理疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集．

但稠密集的余集不一定是疏朗集．如直線上無理數全體所成之集為中的稠密集，但它的余集即直線上有理數全體所成之集也為中的稠密集． 證畢．

3　稠密集與疏朗集的基數

稠密集與疏朗集的基數有如下3種情況：

（1）稠密集的基數大于疏朗集的基數．直線上有理數全體所成之集為稠密集而，直線上有限多個孤立點所成之集為疏朗集而（有限數），則；直線上無理數全體所成之集為稠密集而，直線上整數全體所成之集為疏朗集而，則．

（2）稠密集的基數等于疏朗集的基數．直線上有理數全體所成之集為稠密集而，直線上整數全體所成之集為疏朗集而，則；直線上無理數全體所成之集為稠密集而，區間上的康托三分集為疏朗集而，則．

（3）稠密集的基數小于疏朗集的基數．直線上有理數全體所成之集為稠密集而，區間上的康托三分集為疏朗集而，則．

４　稠密集與疏朗集的測度

（1）稠密集的測度可能為零也可能不為零．直線上有理數全體所成之集稠密集而，直線上無理數全體所成之集為稠密集而．

（2）疏朗集的測度可能為零也可能不為零．直線上整數全體所成之集為疏朗集，區間上的康托三分集為疏朗集．而．

注類似作法[4]可構造一個疏朗集合，使為正數，

實變函數課程由于其抽象性，對于任課教師教好這門課是個挑戰，需要任課教師不斷改進教學方法，總結和梳理知識點之間的關系，努力提高自身的素質來更好地完成這個教學過程[5]．

[1] 程其襄，張奠宙，魏國強，等．實變函數與泛函分析基礎[M]．2版．北京：高等教育出版社，2003

[2] 周明強．實變函數論[M]．北京：北京大學出版社，2001

[3] 張喜堂．實變函數論的典型問題與方法[M]．武漢：華中師范大學出版社，2002

[4] 周明強．實變函數解題指南[M]．北京：北京大學出版社，2007

[5] 袁邢華，蔣巧云．《實變函數》課程教學的感受[J]．中國科學教育，2009（4）：26-27

Simple discussion about dense set and nowhere dense set

JIANG Qiao-yun，YUAN Xing-hua

（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

The relationship between the dense set and nowhere dense set is discussed from definition，cardinal number and measure，then makes students understand and master this content better.

cardinal number；measure；dense set；nowhere dense set

1007-9831（2016）09-0061-03

O17∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.018

2016-06-06

蔣巧云（1979-），女，江蘇南通人，講師，碩士，從事函數論研究．E-mail：ntsandy2004@ntu.edu.cn