從整數階微積分到分數階微積分

宋超

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從整數階微積分到分數階微積分

宋超

（南京工程學院 數理部，江蘇 南京 211167）

分數階微積分理論及其工程應用已經成為科研工作者關注的熱點課題之一．從經典的整數階積分和導數的定義談起，簡要介紹了如何從整數階微積分的概念推廣到一般的分數階微積分及其分數階微積分的基本性質．

整數階微積分；分數階微積分；分數階微積分的性質

作為一門古老的學科，分數階微積分已有300余年的發展歷史，它最早出現在1695年9月30日Leibniz的日記中，其誕生幾乎與整數階微積分同步，但由于缺少實際應用背景，長期以來發展緩慢[1-2]．分數階微積分準確地理解應該為非整數階微積分，它是整數階微積分的推廣，其階數不局限于整數而可為任意復數，它實現了連續階微積分，從而擴展了整數階微積分的功能．由于分數階導數包含了從初始時刻開始到當前時刻的所有信息（整數階導數只包含了當前時刻附近的信息），因而可以更加真實地刻畫實際物理系統．分數階系統和經典的整數階系統相比，最大的優點在于可以描述各種物質及其演化過程的記憶和繼承的性質，而在整數階系統中這些性質都被忽略了．已有的研究表明，分數階模型包含了經典的整數階情形，而整數階的情形可以作為分數階情形的特殊情況．正因為有了如此強大的應用前景，分數階微積分才重新回到人們的視野，受到來自各個領域學者的廣泛關注，成為國際上的熱點研究課題之一[3-4]．從整數階微積分講起，一步一步推廣到分數階微積分，并簡單地介紹了分數階微積分的基本性質，為認識分數階微積分的發展脈絡和應用提供了必備的基礎知識．

1　從整數階積分到分數階積分

2　從整數階導數到分數階導數

容易看出對于常數而言，它的Riemann-Liouville導數不為零，這與經典的常數的一階導數為零相矛盾．并且實際中Riemann-Liouville分數階微分方程的初值不易給出，它的Laplace變換較繁瑣復雜，于是有了另外一種常見的分數階導數——Caputo導數，其定義為[7]

性質2無論是Riemann-Liouville導數還是Caputo導數，一般情形下，不成立，其中：．

3　結束語

分數階微積分已在自然和社會科學的各個領域得到了廣泛的關注和應用，它正在影響和改變人們的思維方式[8]．也許不久的將來，分數階微積分理論將進入到大學數學的教材中，成為大學生所熟悉的工具．

[1] Cafagna D．Past and present-fractional calculus：A mathematical tool from the past for present engineers [J]．IEEE Industrial Electronics Magazine，2007，2（1）：35-40

[2] Ma C，Hori Y．Fractional-order control：theory and applications in motion control：past and present [J]．IEEE Industrial Electronics Magazine，2007，1（4）：6-16

[3] Ortigueira M D．An introduction to the fractional continuous time linear systems：The 21st century systems [J]．IEEE Circuits and Systems Magazine，2008，8（3）：19-26

[4] West B J．Colloquium：Fractional calculus view of complexity：A tutorial[J]．Reviews of Modern Physics，2014，86（4）：1169

[5] Diethelm K．The Analysis of Fractional Differential Equations--An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type[M]．NewYork：Springer，Lecture Notes in Mathematics，2010

[6] Podlubny I．Fractional differential equations： an introduction to fractional derivatives，fractional differential equations，to methods of their solution and some of their applications[M]．SanDiego：Academic press，1998

[7] Kilbas A A A，Srivastava H M，Trujillo J J．Theory and applications of fractional differential equations[M]．Amsterda：Elsevier Science B V，2006

[8] West B J．Fractional Calculus View of Complexity：Tomorrow′s Science[M]．Florida：CRC Press，2015

From integer-order calculus to fractional-order calculus

SONG Chao

（Department of Mathematics and Physics，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China）

The theory of fractional calculus and its engineering applications have become one of the hot topics for researchers．From the definition of the classical integer-order integral and derivative，briefly introduces how to generalize from the concept of integer-order calculus to general fractional-order calculus and basic properties of fractional calculus．

integer-order calculus；fractional-order calculus；basic properties of fractional calculus

1007-9831（2016）09-0015-03

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.005

2016-05-12

南京工程學院校級高等教育研究立項課題（2015ZC14）

宋超（1980-），男，山東臨沂人，講師，博士，從事分數階系統理論及其應用研究．E-mail：chaosong@njit.edu.cn