基數意義下自然數的運算（一）

張新春

基數意義下自然數的運算（一）

張新春

基數意義下的自然數的運算是通過集合的運算來定義的，因此，我們先簡單介紹一下集合的運算。

（1）設給定的集合A和B，由至少屬于集合A或者集合B之一的元素組成的集合，叫做A與B的并集。記作A∪B。

（2）設給定的集合A和B，由集合A和集合B的所有共同元素組成的集合，叫做A與B的交集。記作A∩B。

“交”與“并”是集合間兩種基本的運算，它們都滿足交換律與結合律，即：

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

這些集合的運算律都是可以證明的。我們以證明A∪B=B∪A為例。

我們知道A∪B和B∪A都是集合。元素x是A∪B的元素（通常記作：x∈A∪B）指的是x是A的元素或者x是B的元素（也就是x∈A或x∈B）。為了證明A∪B和B∪A這兩個集合相等，我們通常用這樣的思路：證明集合A∪B的每一個元素都在集合B∪A中，同時，集合B∪A的每一個元素都在集合A∪B中。

設x∈A∪B，則有x∈A或x∈B。（并集的定義）

于是x∈B或x∈A。1

從而x∈B∪A（并集的定義）

以上即證明了A∪B的任意一個元素都是B∪A的元素。

（你可能覺得很無聊，不就是把“或”字兩邊的內容換一下位置嗎？的確是這樣，可數學有時候就是這樣的：定義是嚴格的，判斷需要根據定義并按照邏輯規則做出。根據定義，x∈A∪B是指x∈A或x∈B，x∈B∪A指的就是x∈B或x∈A，而“x∈A或x∈B”與“x∈B或x∈A”是一個意思，則正是我們所做的推理（使用了數理邏輯命題演算的公理進行推理）。數學推理的最開始幾步往往看起來就是這樣簡單，簡單得甚至有點讓人覺得不可思議，或者讓人覺得多此一舉。當你覺得某一步推理簡單得不可思議時，你應該提醒提醒自己，當前要證明的這個結論，只能根據已有的定義、被假設為正確的公理、已經被證明了的結論以及基本的邏輯規則來證明，而不能是想當然，也不能依靠直觀圖形（直觀圖形只能幫助我們理解，不能代替證明）。于是，你就應該追問：為了證明這個結論，我已知一些什么，我有些什么工具可以利用？當你發現其實此時你可用的工具非常之少、少得不可思議時，你就會覺得那個剛才還看起來不可思議的證明其實非常精巧。歐幾里得從幾個定義、幾條公理和公設出發，推導出歐氏幾何的參天大樹，其最初幾步就是這么精巧。）

完全類似的，可以證明B∪A中的任一元素都是A∪B的元素，于是A∪B=B∪A。

下面我們要利用集合的并來定義加法。

我們知道，集合A∪B的基數并不等于集合A的基數與集合B的基數之和（回憶一下，所謂基數就是指一類互相等價的集合的標志。說得這樣繞是為了數學定義的需要。數學中的新概念通常只能用已經被定義了的概念來定義。如果允許我們在還沒有定義自然數時就使用“個數”這樣的概念，我們一定會把這句話說成“所謂一個集合的基數就是這個集合中元素的個數”）。事實上，如果我們用|A|表示集合A的基數，則有：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

這是所謂的容斥原理，人教版小學數學教材的“數學廣角”中有這樣的內容。

這說明，我們不能簡單地用兩個集合的并來定義加法。我們討論一種特殊情況，即兩個集合沒有共同元素的情況。

定義：若自然數a，b，c分別是集合A，B，C的基數，而A與B沒有公共元素（即集合A∩B是空集），且A∪B=C，則把c叫做a與b的和，記作c=a+b。而求自然數a與b的和的運算，就叫做加法，a和b都叫做加數。

從以上的定義可以看出，加法是以兩個不相交的集合的并為基礎定義的。兒童用掰手指的辦法計算加法，其實就體現了這種定義加法的方式：比如計算4+5，先數出4個手指，再數出5個手指，然后一起數這些手指的個數，就得到4+5的和。

接下來討論加法的性質，此時，討論的依據只有加法的定義和前面討論過的集合的相關性質。

加法交換律：a+b=b+a。

我們要證明加法的交換律。就像以前討論的，此時的依據只有加法的定義與集合的性質。

按加法的定義，所謂a+b，指的是一個基數為a的集合A與一個基數為b的集合B的并（A∪B）的基數。當然，要求A∩B是空集。而b+a則指的是一個基數為b的集合B與一個基數為a的集合A的并（B∪A）的基數。當然，也要求B∩A是空集。簡單地說，a+b是A∪B的基數，b+a是B∪A的基數。由于集合的并滿足交換律，即有A∪B=B∪A，而相同的集合具有相同的基數，于是a+b=b+a。

同樣，由于集合的并滿足結合律，即（A∪B）∪C= A∪（B∪C），從而有：

加法的結合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

值得注意的是，按上面的方式定義了加法，并討論了加法的交換律之后，我們尚且不知道a+b+c是什么意思（別覺得奇怪，想想，加法定義不是只定義了a+b這樣兩個相加的情況嗎？或者說，按我們的定義，所謂加法，就是指兩個數相加，a+b+c還沒有什么意義）。我們想賦予a+b+c以意義，必須把它轉化為兩個數相加的情況，于是至少有兩種方式，一是規定a+b+c=（a+b）+c，即先把前兩個數相加，再加上第三個數；二是規定a+b+c=a+（b+c），而加法結合律則正好告訴我們：不管采用這兩種規定中的哪一種，最后的和都是一樣的。于是，我們就規定a+b+c=（a+b）+c。

1這里使用了邏輯推理的法則：“x∈A或x∈B”與“x∈B或x∈A”等價。這個推理法則是數理邏輯命題演算的公理。可參見有關數理邏輯書籍。