分數教學研究報告

長沙市丁麗小學數學名師工作室瀟湘數學教育工作室

分數教學研究報告

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小學階段對分數教學的研究一直是個熱點。無論是三年級的分數初步認識，還是五年級的分數再認識，抑或是六年級的分數乘除法及應用題的教學，都是一線教師及教學專家們研討的重要內容。本文是我們在分數教學這一板塊進行的一些研究嘗試，試圖在思考與實踐層面均有所突破。

一、不可小看的分數

與自然數、小數的教學相比，分數無論是教還是學無疑都是比較難的。難在哪里？師生們的共同體會至少有這么四點。

1.分數“長”得就和別的數不一樣。

孩子們的數學學習是從自然數（整數）開始的。后來接觸的小數，是他們在數的認識里第一次數域的擴充。由于小數沿用整數的位值系統和十進制，很多教學問題可以通過整數知識的正向遷移得以克服。

引入分數是孩子數學學習過程中第二次數域的擴充。但無論是數的表現形式（書寫）還是大小比較抑或是計算，分數都讓孩子們覺得與之前所學的整數、小數太不一樣，也就無法很好地從已學知識里獲得足夠多的經驗來類比，從而造成了很多認知困難。

2.分數的意義多樣。

張奠宙先生將分數的定義大致分為四種：

定義1（份數定義）：分數是把一個單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份。

定義2（商定義）：分數是兩個整數相除（除數不為0）的商。

定義3（比定義）：分數是整數q與整數p（p≠0）之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數對（p，q），其中p≠0。

如此豐富的內涵，對孩子來說，要能理解、掌握并能區分和應用，顯然是個難題。唐彩斌老師（浙江省杭州市上城區教育學院）做過一個關于分數問題的研究。

3.分數教學中量與率難以區分。

這里有一道測試題：一根長2米的鐵絲，將它平均分成5段，每一段是全長的（），每一段是（）米。學生的錯誤率之高讓之成為經典檢測題，一線教師看到這道題時都會會心一笑后再無奈一笑。

在分數教學中，對分數含義中量與率這兩個方面的辨析是一個重難點。學生學習時總是因不得法而難以掌握，教師只得采用“分數后面是否帶上單位”這一方法幫助學生進行區別，但是這種方法顯得十分機械，難以讓學生深入到含義層面的理解。

二、實例中找找難的源頭

由上面的問題呈現我們可以看到，分數的難有其客觀原因，即分數與生俱來就比之前學的數要難一些，同時也與教材編寫和教學處理有關。

案例：對分數除法應用題的講授，新教材回避了直接用除法的算術解法。比如這樣一道題：甲數是乙數的，甲數是20，請問乙數是多少？這道題孩子能從等分意義上迅速找到答案是60，列式為20÷=60。至于列式為何用除法，一線教師講得極其艱澀痛苦，孩子學得也非常困難。而對這一問題：甲數是乙數的3倍，甲數是90，乙數是多少？孩子會很輕松地列式并解說算理：求標準量（一倍量），用比較量（多倍量）除以倍數就可以了，即90÷3=30。對比一下這兩道題，我們能反思到什么教學問題嗎？很顯然，倍與率是同一種數量關系。我們在三年級之前教學加減法都是基于差比的數量關系進行列式運算，三年級時為學習乘除法引入了倍比關系，并把乘除法與倍比關系從算法與算理兩方面進行了對應。而引入分數之后，我們在教學分數的乘除法時竟然脫離了倍比運算的理解，取而代之的是我們研發的各種對算理的解釋。如此看來，我們并沒有保持原有的認知規律，把分數融入到原有數的系統中去認識，教材的呈現也沒有保持原有的數的認識的編排。

如何解決這個問題？如何讓分數的教學回到數的教學軌道上來？首先，所有的研究必須有一個共識：分數必須當作一類數來教！只有在一種正確的共識下，大家的研究才能壘土成臺，而非散沙千里，才能有效，從而實現質的飛躍。很多專家和老師都作過嘗試。比如分數意義的學習，有老師從率引入改為從量引入，然后進行量與率的對比，在此基礎上進行數的抽象。還有老師從分數的其他意義切入，比如從商的定義入手教分數，做了很好的突破。大量的實踐與反思讓我們看到了教學改變之后學生身上發生的可喜改變。這些都是國內的研究交出的最新答卷。

數來自于數（shǔ）。我們反思整數教學，孩子第一次對數有了整體認識是什么時候？是父母或者老師教會孩子0～9，然后教孩子數出十幾的數，再數二十幾的或更大一點的數之后，孩子會突然自己數到100，稍加提示，還能知道1000以內數的排列規律。這個時候孩子對自然數（非負整數）的整體建構就有了第一次的整體把握。而后教材中安排了若干次大數的認識，細化和擴充、完善了對自然數范圍內數域的若干問題的認識。數數成為了體會一類數的累計規則的最常見、最有效的學習方式。但是分數教學中我們幾乎摒棄了這個最有力的“武器”。

基于這樣的思考，我們以五年級分數的意義教學為契機，嘗試了一次關于分數的數數教學。課中就如何數數、如何突破其中的若干教學難點作了相應的教學嘗試。

三、教學實踐

片段一：

老師在黑板上手繪3個圓圈（如圖1所示），同時解釋：由于是手繪，大小形狀一定是有區別的，老師的本意是畫一模一樣的圓，大家就當作是完全一樣的圓好了。然后提問：你們能在我畫的圖里找到1嗎？3

圖1

圖2

圖3

圖4

師：很好，只要每一片都是等大的，這是關鍵對吧？那我將每一片都變成對應的圓形（如圖4所示），現在能看到嗎？生2：明白了！每一個圓都是這一堆圓的。

師：很厲害！我們不再需要考慮是否分割，只要能找到等量的一份又一份就能找到。那再來看看這幅圖（如圖5所示）里有嗎？

圖5

圖6

圖7

學生答能看到，老師請一生在黑板上畫一畫，讓大家能看得更清楚。生畫圖如圖6所示。

學生表示看不到。老師請一個女生上臺，拿出3根粉筆交給女生展示，抽出其中的1根問道：這根粉筆是這個同學手里粉筆的幾分之幾？生3：。

老師放回這根粉筆，抽出第二根繼續問：這根粉筆是這個同學手里粉筆的幾分之幾？

生4:。

老師用手提電腦的屏幕遮擋住學生和老師的手，然后去掉1根粉筆繼續問：這根粉筆是這個同學手里粉筆的幾分之幾？生5：。

老師同時把學生手里的3根粉筆和自己手中的粉筆都舉高再問：我這根粉筆是這個同學手里粉筆的幾分之幾？生6：。

圖8

生7：甲的圓圈數是乙的圓圈數的。

師：說得很好！那么乙的圓圈數與甲的圓圈數有什么關系？

生8：乙的圓圈數是甲的圓圈數的3倍。

師：很好！看來倍數關系和我們學的分數也是有聯系的，只要每一份的大小一樣，它們之間的關系就能用分數和倍數表示。

教學意圖：這一部分的教學設計將分數意義進行了倍率關系的溝通。強調平均分的含義是每一份的均等，而不是切分的過程。將單位“1”的強調轉移到分數單位（一份）的認識上。這樣一來，確立了一份（一倍）的標準，分數（倍數）就有了產生的可能。這樣的一份在分數里被稱為分數單位，分數單位的認識是數數的前提。任何一類數的累積都是有前提的，分數也必須由分數單位按照數的規則進行累積才能成為一類數。這部分教學是一個數數的預備動作，同時也是在分數意義教學上實現倍率關系的溝通。

片段二：

師：分數和整數一樣都是數，都能應用到我們的生活實際當中。那你們現在幫我解決一個實際問題吧。（將一根長3.8米的塑料水管放置在講臺上）給你一根尺子，你能幫我把這根水管截成1米1米的長度嗎？

一生上臺用米尺量出1米長的水管，老師按照預先截好的缺口將1米的水管截下。

師：再請一個同學幫我截第二根。

另一生上來，并索要米尺，老師不給。學生索要剛截好的1米長水管。老師幫忙截下第二根1米長的水管。

師：他用這根剛截好的水管截第二根，這個做法好嗎？

生（表示支持）：第一根水管已經是1米了，可以用它當尺子用。

師：是的，他的做法不但好，而且這在數學里也很高級。這個用來打樣的水管我們在數學里叫做“標準”。（板書：標準）

老師按照學生的截取方法截下第三根1米長的水管。

師：好了，我們一起數數有多少米長吧。1米，2米，3米。孩子們，剛才我們拿來做標準的這個1米的“1”，就是這些整數的計數單位（板書：計數單位），計數單位就是計數時的標準。有了1，才會數得出2、3、4……

師：現在我們這還剩下一節邊角料，很顯然已經不能截成1米1米的了，為了不浪費，我們可以怎么截取？

生1：截成1分米一段的。

生2：截成10厘米一段的。

師：還可以用小數和分數表示為多少米？

生3：0.1米或者米。

師：那請一個同學上臺來截一下吧。

老師協助學生截下數根0.1米長的水管，并且數出0.1米，0.2米，0.3米，0.4米……

師：這個時候0.1米就是我們截取的標準，也就是我們數數的計數單位。若是我們想繼續分割剩下的這節更小的邊角料，你們會怎么辦？

生4：用厘米、毫米來截。

師：很好，我們也可以表示為0.01米，0.001米，等等。孩子們，人類是很聰明的，在度量時遇到原來的單位不能計量的時候，我們往往有兩個方式來解決：一是改變度量的單位，二是改變計數單位。現在有一個真正難的問題需要大家幫助我解決，哪位同學愿意來嘗試？（請兩個孩子上臺）請幫我截出0.3米。（板書：0.3米）

孩子們迅速用米尺找出了相應長度，準備截取。

師：別著急，還要多一點。（板書：0.33米）

孩子們又迅速地找到了相應長度，準備截取。

師：別著急，別著急，還要多一點。（板書：0.333米）

孩子們有些遲疑，因為米尺上沒有毫米的刻度。

師：其實我是想要截出0.33333……米長的水管。（板書：0.33333……米）

臺上的孩子開始冥思苦想，下面的孩子開始議論，有孩子說不能截出來。

師：孩子們，這個長度確實難以用米尺測量，哪怕是給你一根更加精確的尺子，也難以完成任務。其實這根尺子是這樣來的：我將1米平均分成3份（板書：1÷3=_____米），用計算器一算，結果就是0.333……米。我那個計算器最多顯示15位數，實際上這個數小數部分的3有無窮多個，我們把這種小數叫做無限循環小數。這個數是一個無法通過測量得到的小數。但是，你們知道1米被平均分成3份，每1份是多少米嗎？生：米。

老師拿出三種顏色的橡皮圈，簡單套拴成一條橡皮筋并拉伸，交給兩個孩子。孩子通過拉伸橡皮筋至水管等長，找到米處，將米長的水管截下。

師：他們做得很棒，其實通過增加或減少橡皮圈的個數，我們還能找到其他分母的分數。現在我們截好了一個分數——米，用這個標準我們截出下面的長度，大家一起數數。

師：你們有些擔心是嗎？數起來有些不踏實？1 3米就是30多厘米，米是多少？米是多少？再加1個米有多長了，比1米多吧，米這個數用對了！現在心里踏實了吧！好，我們來數一遍：、、、米是多長？

生5：米是10米長。

生6：米是20米還多30多厘米。

師：說得很對！其實數學里存在這樣的分子比分母大的分數，我們稱之為假分數。但并非這些分數不真實，而是它確實和原來的分數不太一樣。那好吧，誰來幫我解釋一下個月餅是多少？

生7：個月餅是1個月餅還多一小塊。

師：月餅不是被分成了3塊嗎？如何取出4塊來了？

生8：1個月餅取完了，再取了第二個月餅的一部分，也就是個。

教學意圖：這一部分的教學是數分數的開始，力圖解決以下兩個問題。

第一個是分數單位。整體認識任何一類數時，計數單位這個概念的教學總是一個難以處理的問題。本節課從整數的數數開始，到小數的數數，再到分數的數數，利用類似的問題情境告訴孩子們什么是度量的標準。這個標準其實在計數系統里就是計數單位。通過問題情境的類比體驗，孩子會覺得分數中的數數就像自然數和小數一樣自然。至于什么是分數單位，那就只是一個統一累計的標準而已。

我們認為，橡皮筋這個學具是一個非常經典的分數模型的原型。橡皮筋的原型有線段模型的特點，其伸縮性對不同的單位“1”有了不言而喻的直觀詮釋。后面的教學環節有橡皮筋這個原型的數學提煉模型：可以縮放的線段模型。這個模型是個全新的更接近分數本質的創造。

片段三：

師：孩子們，請看屏幕（如圖9所示），老師這里有一根帶箭頭的線，線上已經標上了起點，還定好了一段線段長是“1”。請你們幫我找一找在哪。

圖9

老師在數軸下面的分格刻度線上截取3整格，通過橡皮筋的拉伸與縮放，將數軸上的單位“1”等分成3份。再請孩子指出所在的點并標示。

學生表達不一，有的認為可以，有的認為不可以。

生1：。

師：下一個點呢？

生2：。

生3：就等于1。

師：這個不是已經標好了“1”嗎？

老師一直未示意停止數數，但是學生慢慢停止了。

師：怎么了？你們怎么停止數數了？

生（笑）：這是數不完的，后面有無窮多個數。

師（豎起大拇指）：不錯，像整數一樣，分數也是數不完的。那你們能告訴我是多大嗎？

生4：是3還多。

生5：是100。

生6：600是200。

3

師：他們說得都很好。在三分之幾的這條數軸上，我們可以標示出三分之幾，這里面其實包含所有整數。三分之幾我們會在數軸上標示了，那四分之幾呢？誰來幫我找找怎么標示？

師：接下來四分之幾的其他分數怎么標示就很簡單了吧。老師這里還有一些標示其他分數的數軸，（課件出示圖10）大家認真看看這些分數數軸，是不是感覺數越來越密，分數單位越來小啊？假如我們繼續這樣將分母擴大，那在數軸上標示出來的分數是不是會更加密集？事實上，只要你的分母足夠大，分數單位就會足夠小，那在數軸上標示出來的分數就會越來越密。大家能想象得出嗎？

圖10

師：好了，我現在把三分之幾的數軸和六分之幾的數軸（如圖11所示）留下了，大家仔細對比一下，看看有什么發現。

圖11

生7：有一些點是公共的，比如和。

師：很好，那我們把兩條數軸合并成一條（如圖12所示），大家再觀察。請問和誰會大一些？

圖12

生8：會大一些，因為它在1的后面。

6

生8：。

師：這個你都知道，真不錯。最后我們討論一個問題。請看：我手里有3根橡皮筋。其中一根可以用什么分數表示，另外兩根呢？

生9：分別用、表示。

生10：2倍。

師：那反過來怎么說呢？

生11：是的。

師：你的回答太完美了！這節課大家的表現太棒了，下課！

教學意圖：筆者認為，只有將一類數“站”到數軸上，才能說在數的概念上取得了實質性的進展。所以這個環節中，當孩子們找到所對應的線段長之后，從0開始增長，找到等對應點就變得非常規范、自然。孩子在取的時候是在的基礎上再增加一個的線段長，這說明孩子們已經淡化了分數意義里的等分過程，在做有關數的有序累積，這是一個有效的教學體現。

四、不得不說的后話

1.關于橡皮筋這個分數模型的原型

我們之前的分數教學中，分數模型大多采用面積模型。張奠宙教授曾經非常精辟地論述了分數模型：在數直線上對分數作幾何解釋是非常重要的。這是一個半抽象的模型。線段模型是圓模型和其他平面模型的再抽象，可以充當分數的“份數模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。用線段的長度表示分數的大小，無論大餅、蛋糕有多大，這里的單位都是1。對于切下來的1份或2份，學生的腦子里不再局限地呈現1或2，而是一個新的數。這樣表示的好處有很多。首先，它的單位是抽象的“1”。雖與圓形、三角形相比要抽象，但仍然是幾何直觀，可以幫助學生感知分數的含義。其次，這是數軸的雛形，早在學習自然數的時候，已經用過這樣的表示方法。再次，通過操作可以看到分數是填在自然數之間的新數，位置在兩個相鄰的自然數之間，并和分數大小比較、約分、通分以及運算相呼應。

2.關于分數上數軸

分數上數軸這個教學環節，有幾個教學細節值得跟大家分享。

一是將同分母的分數完整地標示到數軸上。這個教學動作與之前有教師將不同分母的分數統一標示在同一條數軸上讓孩子觀察體驗是有區別的。后者實際上造成了學生的認知困難，他們會認為分數是一類極其混亂、難以判斷大小和次序的數。而按同分母的分類標準將分數標示在數軸上，孩子們通過數數認知到了一列又一列分數的有序，能直接感知分數的大小，對分數的數的認知形成了統一準確的表象。這節課在試教階段甚至有孩子有這樣的體會：分數是一類比整數大的數！孩子的意思是整數可以看作分母都是1的一列分數，整數是包含在分數范疇里的一類數而已。這是多么深刻的認識！這個教學動作實際上是異分母分數上數軸之前的一個必要和有效的教學動作分解，是讓學生建立完整的分數的數認識的一個非常關鍵的構建過程。

二是分數上數軸有一個小小的技術難題。很多教師直接把分數墻進行壓縮，成為一根數軸，用這個教學動作完成分數上數軸的意圖。這樣做不能回答一個問題，在數軸上，數是與數軸上的點集形成一一對應的。如何才能實現線段的線長到數軸上的點集的轉化？要完成這個轉化的過程，我們必須知道數軸建立的原則，數軸是一根規定了起點、方向和單位長度的直線（數軸的三要素）。所以我們可以看作所有數都是從原點0開始增長相應長度之后所到的點表示為該點所對應的數。

這節嘗試的課堂里容量非常大。比如，分數意義的溝通就可以好好上一到兩個課時；關于自然數、小數、分數的比較認識，用一整節課來讓學生感受估計都會覺得有些匆忙；數軸這個話題也有很多有趣的游戲可以和學生一起玩。但是這并非一節常規課，而是一堂教研課，想以“數一數”分數的形式帶領孩子體驗分數這一類數。數數并不是一件簡單的事情。為了能數得起來，數得順利，數出感覺，這堂課在這三個方面都必須做到位。數數對整個分數教學單元來說，只是其中一個非常小的教學動作。本文嘗試從這個角度講清如何從數的概念的高度落實到具體的教學環節，以達拋磚引玉的意愿。

分數的教學是很多有識之士研究的對象，每一個研究者的成果都是見仁見智的。我們之前的分數教學對分數這一類數的特殊屬性強調過多，而對它有關數的共同屬性卻認識不夠，導致學生對分數的認識產生割裂，學習分數的難度加大。把分數當作一類數來教，希望能成為研究這一類教學問題的基本共識，這是原有分數教學中一個需要調整的基本問題，也應該成為今后此類問題研究的一個核心和方向。分數教學是時候回歸數的本質進行審視了。

分數教學的研究是個系統工程，我們需要在數的教學的大前提下做好分數教學整體編排的重新建構，在這個建構下再落實知識點突破的細化。比如從分數意義的初步認識到多種意義的溝通，從分數的認識到小數、自然數的比較學習，從分數比較大小到四則運算再到解決問題。這些都需要我們做更加精細、更加科學的實驗和論證。

由于自身素養和認識水平的問題，我們的研究中難免存在問題，希望得到大家的批評與指正。但是我們意圖通過這種有限發聲吸引更多有關分數研究的新的聲音，渴望看到更有力的研究呈現，期待分數的教學出現更好、更新的面貌。

（執筆：汪松浩、徐旺、李闖）