基于混合耦合與未知擾動(dòng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究

常安成　紀(jì)曉燕 田時(shí)宇

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基于混合耦合與未知擾動(dòng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究

常安成紀(jì)曉燕 田時(shí)宇

（湖南信息學(xué)院，湖南 長沙 410151）

文章主要討論了一類帶有外部擾動(dòng)和混合時(shí)滯耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，為了克服未知的外部對網(wǎng)絡(luò)部分節(jié)點(diǎn)的擾動(dòng)，并實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步，通過設(shè)計(jì)一款自適應(yīng)控制器，構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，利用穩(wěn)定性理論，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步進(jìn)行了嚴(yán)密的論證，證實(shí)了該理論成果的有效性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；自適應(yīng)性；同步；魯棒性

文章介紹了一類具備混合時(shí)滯和未知外部擾動(dòng)的混合耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，通過設(shè)計(jì)一款簡易的魯棒自適應(yīng)控制器來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步。網(wǎng)絡(luò)被擾動(dòng)是復(fù)雜的，我們考慮的是網(wǎng)絡(luò)部分關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)被擾動(dòng)，即使先前不知道被擾動(dòng)的強(qiáng)度。必須強(qiáng)調(diào)的是，我們并沒有假定耦合矩陣為對稱矩陣或?qū)蔷仃嚒５摽刂破魅跃哂性鰪?qiáng)魯棒性，降低復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的脆弱性的特點(diǎn)，因此具備很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

1　預(yù)備知識與假設(shè)

一類由N個(gè)相同的節(jié)點(diǎn)同時(shí)具有混合時(shí)滯與外部擾動(dòng)的混合耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，其公式如下：

無外部擾動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)孤立節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)描述為：

如果系統(tǒng)（1.2）被擾動(dòng)時(shí)，則（1.2）就轉(zhuǎn)向下面的系統(tǒng)：

一般來說，一個(gè)系統(tǒng)被擾動(dòng)則該系統(tǒng)的狀態(tài)將會(huì)被改變。我們假設(shè)該系統(tǒng)（1.3）的狀態(tài)仍是前面所提到的三種狀態(tài)之一，但不一定是最初的那一種狀態(tài)。

下面我們做出以下本文所需的假設(shè)必要條件：

注1.1 在其它文章中所研究的混沌系統(tǒng)（如：Lorenz系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)、混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等）與我們所研究的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1.2）沒有沖突，因此，本文的結(jié)果具有一定的通用性。

本文的目標(biāo)就是證明所有形式的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1.1）都是同步的。

就在這時(shí)，磚子和趙仙童的手機(jī)幾乎同聲響起，一個(gè)是小鳥叫，一個(gè)輕音樂，兩人查看信息時(shí)，頭顱同時(shí)伸向?qū)Ψ降氖謾C(jī)，同聲說，女兒發(fā)來的，老爸，你和老媽沒什么問題吧？老媽，你和老爸沒什么問題吧？

引理1.1（Schur 因式分解）見文[4]。

引理1.2 見文[5]。

引理1.3（Barbalat 引理）見文[6].

2　部分節(jié)點(diǎn)被擾動(dòng)情況下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步

通常復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)只有部分節(jié)點(diǎn)被擾動(dòng)的情況，如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的一些重要節(jié)點(diǎn)被擾動(dòng)，就會(huì)使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)不能正常工作，進(jìn)而影響到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。理論上講大的無定向網(wǎng)絡(luò)或更大的定向網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)比小的無定向網(wǎng)絡(luò)或更小的定向網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)更容易受到擾動(dòng)的影響，這是由節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)決定的。另一方面,現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通常有大量的節(jié)點(diǎn),若對網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點(diǎn)都添加控制器加強(qiáng)穩(wěn)定性,這通常是不切實(shí)際的，也是無法控制的。因此，從實(shí)踐的角度和控制成本的角度出發(fā)，我們可以應(yīng)用牽制控制方案（見文[1-3]）來防止外部擾動(dòng)影響，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步。

在本文中，我們假設(shè)矩陣U是不可約矩陣，那么網(wǎng)絡(luò)就不存在網(wǎng)絡(luò)隔離集群，當(dāng)?shù)诠?jié)點(diǎn)在外部擾動(dòng)下受到影響時(shí)，為了不失一般性，我們重新組合網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的順序，取第個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制，因此，針扎控制下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以描述為：

由定理1.1，可以使得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到目標(biāo)（1.4）穩(wěn)定同步。我們只需要證明系統(tǒng)（2.2）是在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(2.1)與自適應(yīng)控制器（2.4）同步

證明：構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

從0到t對上述不等式兩邊積分得：

3　結(jié)　論

通過本文以上的證明，可以得到以下兩個(gè)推論：

本文中新的自適應(yīng)控制器具有良好的魯棒性。這可以分別通過比較引理1.1和引理1.2以及推論3.1和推論3.2得到。然而，自適應(yīng)控制器在（文[1-2]）中沒有這樣的屬性，因此，新的自適應(yīng)控制器是優(yōu)于（文[1-3]）中的控制器。

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（責(zé)任編校：何俊華）

2016－03－03

常安成（1979－），男，山東定陶人，碩士，講師，研究方向?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)與動(dòng)力系統(tǒng)和大學(xué)數(shù)學(xué)教育。

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1673-2219（2016）05-0108-04