矩陣秩的新定義

劉忠志

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矩陣秩的新定義

劉忠志

（廣東白云學院 基礎教學部，廣東 廣州 510450）

論文對矩陣的秩有新的定義，這個新定義通俗易懂，有所創意，教學效果好，深受學生歡迎。

矩陣；矩陣的行初等變換；矩陣秩的新定義；齊次線性方程組；高斯消元法

1　傳統矩陣秩的定義

幾乎所有的線性代數教材中矩陣秩的定義都是這樣定義的。這樣定義矩陣的秩當然有它的好處。但是，對于應用型本科（二本、三本）學生來說認為比較抽象，較難理解。因此我們采用如下定義。

2　矩陣秩的新定義

我們先定義階梯陣和規范階梯陣，再定義矩陣的秩。

注：若矩陣的某行元素全為0，則該行稱為0行；至少有一個元素不為0的行稱為非0行。

定義2 （規范階梯陣定義）若階梯矩陣滿足下面兩條:

（1）每個非零行的首個非零元是1；

（2）每個非零行的首個非零元1所在列的其他元素全為0。

則這樣的階梯陣稱為規范階梯陣。

上例階梯矩陣(3)是規范階梯陣(是前一矩陣用行初等變換化來的)。

定理1 任何矩陣都可以通過單獨的行初等變換化為階梯陣，進而化為規范階梯陣。

同理可以考慮第二列，設第二列的第二個至最后一個數至少有一個非0（否則，考慮第三列，依此類推），則經過若干次行初等變換可以化為其中，，*表示數。同理可以考慮第三列，設第三列的第三個至最后一個數至少有一個非0（否則，考慮第四列，依此類推），如此繼續下去，經過一系列行初等變換，最終得到階梯陣。進而化為規范階梯陣（化法是用行初等變換把上述矩陣中化為1，再用行初等變換把這些1所在列的其他數化為0即可）。

可知這樣化出來的階梯陣非0行的行數與規范階梯陣非0行的行數相同。這個數其實就是矩陣的秩，但是這個數的唯一性還沒有得到證明，下面證明這個數的唯一性。

有的齊次線性方程組一眼看出有效方程的個數，例如線性方程組，第二個方程等號兩邊同除以2即為第一個方程，所以第二個方程是無效方程，只有一個有效方程。此線性方程組所對應的矩陣，只有一個非0行，“非0行的行數”=“有效方程的個數”，而有的齊次線性方程組一眼看不出有效方程的個數（因有時某一方程的左邊是其余若干個方程左邊的線性組合），可以用高斯消元法求出其有效方程的個數，進而求出方程組的解。通常首先把齊次線性方程組所對應的系數矩陣寫出來，再把用行初等變換化為階梯陣或規范階梯陣，以此階梯陣或規范階梯陣非0行的行數來確定有效方程的個數，進而求出方程組的解。

這樣我們可以定義矩陣的秩如下：

這樣定義矩陣的秩比較直觀，容易使學生弄懂。

本文認為矩陣秩的新定義，直觀易懂，容易使學生接受。

還有一點需要注意的是，高斯消元法的產生在前，矩陣的秩產生在后：高斯消元法是高斯（1777年生—1855年死）發現的，而矩陣產生公布于世的時間，是凱萊（1821年—1895年）在1858年（高斯去世后），發表了世界上矩陣第一篇論文“矩陣論的研究報告”，定義了矩陣運算法則，矩陣轉置及矩陣逆等一系列概念。但是矩陣的秩是弗羅伯紐斯（1849年—1917年）在凱萊發表矩陣論文之后引進的。在高斯消元法產生的那個時代，還沒有已公布的矩陣概念。所以我們利用齊次線性方程組的高斯消元法及其有效方程個數的唯一性來證明矩陣化為階梯陣或規范階梯陣后非0行的行數是唯一的，合情合理。

[1]同濟大學數學系.工程數學.線性代數[M].北京:高等教育出版社,2007: 65-66.

[2]上海交通大學數學系.線性代數[M].上海:上海交通大學出版社,2009:84-85.

[3]趙樹源.線性代數[M].北京:中國人民大學出版社,2007.

[4]吳贛昌.線性代數與概率統計[M].北京:中國人民大學出版社,2007:41.

（責任編校：何俊華）

2016－01－20

劉忠志（1959－），男，湖南永州人，廣東白云學院副教授，研究方向為教學研究。

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1673-2219（2016）05-0009-02