空心線圈電感量計算公式的推導與驗證

丁琬清

【摘 要】為準確計算空心線圈電感量，本文采用控制變量法的思路設計了一個實驗，分別分析線圈匝數N，線圈直徑D以及線圈長徑比i對空心線圈電感量的影響規律，并在此基礎上進一步推導并驗證了空心線圈電感量計算公式。

【關鍵詞】線圈匝數；線圈直徑；線圈長徑比

0 緒論

電感線圈是一種由一圈靠一圈的導線繞在絕緣管上而制成的，依靠電磁感應原理進行工作的電氣元件，導線之間彼此互相絕緣。電感線圈在電路中主要起著一個穩流作用，抑制電流的變化，防止電流突變。

電感線圈的電特性正好與電容器相反，即“通低頻，阻高頻”。高頻信號通過電感線圈時會遇到很大的阻力，很難通過；而對低頻信號通過它時所呈現的阻力則比較小，即低頻信號可以較容易的通過它。因此，電感線圈對交流電的電阻是隨著頻率的增加而變大的，而對直流電的電阻幾乎為零。而對于電感線圈在電路中所表現出的對交流電的阻礙作用，我們稱之為線圈的感抗，與電容的容抗以及電阻的阻抗相對應。感抗的單位是歐姆，其大小由電流的頻率和線圈的電感量決定。其中電感量作為線圈本身的固有特性，可以用來衡量線圈產生電磁感應能力的大小，是電感器工業生產中的關鍵參數。所以，如何準確計算電感線圈的電感量對于電感元件的發展有著極為重要的意義。

因此，為進一步了解線圈電感量的變化規律以及計算方法，本文設計了一個實驗用以探究空心線圈電感量與各參數之間的變化關系，并且在這些變化關系的基礎上對空心線圈電感量的計算公式進行了推導與驗證。

1 實驗方案

為設計一個探究空心線圈電感量的變化規律的實驗，首先，需要確定本實驗中所涉及的實驗變量以及所采用的實驗方法；其次，需要選用相應的實驗器材以及設計實驗電路；最后，需要確定實驗的測試原理。

1.1 確定實驗變量

通過對現有資料的查閱，可以發現空心電感線圈電感量主要與線圈的匝數N、線圈的直徑D以及線圈的長徑比（線圈長度l與線圈直徑D的比值，i=L/D）i有關。因此，本實驗中所研究的實驗變量分別為線圈的匝數N、直徑D以及長徑比i。

1.2 選取實驗方法

為分別研究上述3個變量對空心線圈電感量的變化規律，本文采用控制變量法。即保持其中兩個變量不變，通過改變另一個變量的方式來研究此變量對空心線圈電感量的影響規律。

1.3 選用實驗器材

由于線圈電感量不方便直接測量，所以本文通過間接測量線圈感抗的方式來計算線圈的電感量。因此，本實驗所需要的器材如下：

①一個5V的交流電源，電源頻率為100kHz；

②一根橫截面為4mm2，長度為3m的銅芯導線；

③一個量程為3V的電壓表；

④一個量程為0.6A的電流表；

⑤阻值范圍為0～50Ω的滑動變阻器一個；

⑥開關一個，導線若干。

1.4 設計實驗電路

針對上述所選用的實驗器材，本文所設計的實驗電路圖如圖1所示。

1.5 闡述實驗原理

影響空心線圈電感量的參數主要有線圈的匝數N、直徑D以及長徑比i，本文研究這3個參數分別對線圈電感量的影響規律，并推導出空心線圈電感量的計算公式，本文所設計的實驗原理如下：

①依據控制變量法設定實驗數值，即在研究某一參數對線圈電感量的影響規律時，保持另外兩個參數不變，僅改變此參數的大小；

②用一根橫截面為4mm2，長度為3m的銅芯導線按上述實驗參數繞制出相應電感線圈，并將繞制成的電感線圈接入如圖1所示的實驗電路中；

③通過圖1中的電壓表以及電流表，計算出空心線圈的感抗，其計算過程如公式（1）所示。

④依據所得的感抗值進一步計算出線圈的電感量，其計算過程如公式（2）所示。

⑤分別繪制出電感量L隨匝數N、直徑D以及長徑比i變化的關系曲線，并通過相應曲線得出匝數N、直徑D以及長徑比i與電感量L之間的函數關系式分別公式（3）所示。

⑥綜合分析這3個參數與線圈電感量之間的函數關系式，并從中推導出空心線圈電感量的計算公式公式（4）所示。

2 實驗分析與數據處理

采用控制變量法做三組實驗分別分析線圈匝數N、直徑D以及長徑比i對線圈電感量的影響規律：

2.1 線圈匝數N

保持線圈的直徑D為10mm，長徑比i為10不變，令線圈匝數N在20～60圈的范圍內變化，步長為5圈。根據上述數據繞制線圈，并將線圈接入電路中可以得到實驗數據如表1所示。

以線圈匝數N為橫坐標，電感量L為縱坐標將表1中實驗數據描于網格圖上，并以一條平滑的曲線將數據連接起來，如圖2所示。

通過觀察圖2中的數據與曲線，可以發現本次試驗結果接近一條二次曲線。這說明當線圈直徑D與線圈長徑比i保持不變時，線圈電感量L與線圈匝數N之間是一種二次函數關系，即L∝N。因此，電感量L與線圈匝數N之間的函數關系式可以表述如下：

2.2 線圈直徑D

保持線圈匝數N為15圈，長徑比i為5不變，令線圈直徑D在10～50mm的范圍內變化，步長為5mm。根據上述數據繞制線圈，并將線圈接入電路中可以得到實驗數據如表2所示。

以線圈直徑D為橫坐標，電感量L為縱坐標將表2中實驗數據描于網格圖上，并以一條平滑的曲線將數據連接起來，如圖3所示。

通過觀察圖3中的數據與曲線，可以發現本次試驗結果與一條通過零點的直線相接近。這說明當線圈匝數N與線圈長徑比i保持不變時，線圈電感量L與線圈直徑D之間是一種正比例函數關系，即L∝D。因此，電感量L與線圈匝數N之間的函數關系式可以表述如下：

2.3 長徑比i

保持線圈匝數N為20圈，線圈直徑D為10mm不變，令長徑比i在1～10的范圍內變化，步長為1。根據上述數據繞制線圈，并將線圈接入電路中可以得到實驗數據如表3所示。

以線圈長徑比i為橫坐標，電感量L為縱坐標將表3中實驗數據描于網格圖上，并以一條平滑的曲線將數據連接起來，如圖4所示。

為確定公式（8）中常數a、b的具體數值，選取兩個已知參數的標準空心線圈接入實驗電路進行測量。為提高實驗結果的準確性，采用多次測量取平均值的方法降低實驗誤差。兩標準空心線圈參數如表4所示。

將兩線圈分別接入電路進行多次測量，并取平均值得到結果如表5所示。

將表5中的測量平均值代入公式（9）中可以得到常數a、b的具體數值分別為a=0.47，b=0.0011。將常數a、b的數值代入公式（9）中可以進一步得到空心線圈電感量L的計算公式如下：

將本文所推導出的空心線圈電感量L的計算公式（10）與現有的空心線圈電感量L的經驗公式（11）對比，可以發現本文所推導的公式與現行經驗公式極為接近。這表明本文的推導過程具有較高的可信度，所得出的結論具有一定的理論價值。同時，本文所推導出的計算公式也反過來驗證了現行經驗公式的準確性。

3 結論

在本文推導空心線圈電感量L計算公式的過程中可以得到以下結論：

（1）當線圈直徑D與線圈長徑比i保持不變時，線圈電感量L與線圈匝數N之間是一種二次函數關系，即L∝N；

（2）當線圈匝數N與線圈長徑比i保持不變時，線圈電感量L與線圈直徑D之間是一種正比例函數關系，即L∝D；

（3）當線圈匝數N與線圈直徑D保持不變時，線圈電感量L與（i+a）之間是一種反比例函數關系，即L∝（a為常數）。

【參考文獻】

[1]劉修泉，曾昭瑞，黃平.空心線圈電感的計算與實驗分析[J].工程設計學報，2008，02：149-153.

[責任編輯：朱麗娜]